1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 47
Текст из файла (страница 47)
введение к $15 з 25. Скалярное произведение. Матрица Грома 247 25.42. Две упорядоченные системы векторов еы ..., еь и ~1, ..., ~ь в евклидовом пространстве называются биортогональными, если (е;, 71) = 0 при 4 ф д, а (е;, Д) = 1 для всех 4. Доказать, что каждая из двух биортогональных систем линейно независима.
25,43, Для системы векторов хм ..., хр евклидова пространства составляется матрица С с элементами с; = (х;, х ). Пусть Н8С = к и минор порядка к в левом верхнем углу— базисный. Указать какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов. 25.44. Используя свойства матрицы, составленной из всевозможных скалярных произведений, доказать, что для любой матрицы А выполнено В.8АтА = К8А. Ортогональные матрицы (25.45 — 25.58) 25.45.
Какие из следующих матриц являются ортогональными: Я' 1) Азз', 2) Азз; 3) А1е', 4) А1з', 5) Азе, б) Ае4, 7) А24з; 8) Аззз; 9) Абазе, 10) Аззо; 11) Аззо', иц 12) А4зз; 13) А4зз, 14) А44з; 15) Аезе. Л' 25.46* Останется ли ортогональная матрица ортогональНеай если: и 1) переставить ее строки; 2) переставить ее столбцы; 3) написать элементы строк, имеющих нечетные номера, в фатном порядке; ' 4) транспонировать; ,, 5) повернуть вокруг побочной диагонали; 6) умножить одну из строк на число; 7) прибавить одну из строк к другой. 25.47.
Пусть А и  — ортогональные матрицы одного порядка. Являются ли ортогональными матрицы: 1) А+В; 2) АВ; 3) АВт; 4) аА; 5) А", к целое. 25.48. Найти все такие пары ортогональных матриц второго порядка, сумма которых — ортогональная матрица. 25.49. При каком условии для ортогональной матрицы А найдется число ее -6 0 такое, что матрица А+аЕ также является ортогональной? Существуют ли такие матрицы, отличные от Е и — Е, для п = 2, 3, 4? 248 Гл.
10. Евклодовы и унитарние пространства 25.50. Может ли ортогональная матрица четвертого порядка содержать строку: Ц ))1 о 1 оф Е (,-',-' о — '( У 25.51. Дана строка длины и, сумма квадратов элементов которой равна 1. Существует ли ортогональная матрица порядка и с такой строкой? 25.52. Найти все ортогональные матрицы, имеющие первую строку ~~— 25.53. 1) Могут ли все элементы ортогональной матрицы быть положительными? 2) Доказать, что ортогональная матрица, все элементы которой неотрицательны, получается из единичной матрицы перестановкой столбцов. 25.54. Найти все ортогональные матрицы, являющиеся верхними треугольными.
25.55. При каком условии подматрица ортогональной матрицы также будет ортогональной? 25.56. Допустим, что все элементы ортогональной матрицы порядка и равны между собой по абсолютной величине. Чему равна абсолютная величина элемента? 25.57. Доказать, что ортогональные матрицы, описанные в задаче 25.56, существуют, если и = 2", /с — натуральное число. 25.58. 1) Даны два ортонормированных базиса еы ..., е„и ~ы ..., ~„. Доказать, что матрица из скалярных произведений (е;, Д) — ортогональная.
2) Даны две ортонормированные системы по й ( и векторов в и-мерном евклидовом пространстве. При каком условии ортогональна матрица из попарных скалярных произведений векторов этих систем? 8 26. Геометрия евклидова пространства Ортогональное дополнение подпрострвнства (26.1 — 26.21) 26.1. Пусть а — ненулевой вектор и-мерного евклидова пространства. Доказать, что уравнение (а, т) = 0 определяет подпространство размерности и — 1. З 26. Геометрия евклидова пространства 249 26.2. Пусть множества Р и Я векторов евклидова про- странства таковы, что (х, у) = 0 для любых х й Р и у е Я. До- казать, что линейные оболочки этих множеств ортогональны.
26.3. В евклидовом пространстве Е найти ортогональные дополнения 1) нулевого подпространства; 2) пространства Е. 26.4. Пусть подпространства Еы ..., Е, евклидова прост- ранства попарно ортогональны. Доказать, что Е1 +... + Е,— прямая сумма. 26.5. Доказать следующие свойства операции перехода к ортогональному дополнению: 1) (Е1+ Ео) = Е~1 О Е~~; 2) (Е ПЕ2)~- = С~+С~1, 3) (Е1)1 Е 26.6. Подпространства .С1 и Ез ортогональны. Обязатель- но ли ортогональны Е~~- и Е~~? 26.7.
Найти нормированный вектор, ортогональный заданным: 1) 9404 9, '926 59, базис ортонормированный; 2) 9232 Ц(~, '910129~, '901009~, базис ортонормирован- ный; 3) 93 Ц~, базис с матрицей Грама Аве; ' 4) )! — 1 109, '90 1 Ц(, базис с матрицей Грама Азот. 26.8. Подпространство Е задано в ортонормированном ба- зйсе системой линейных уравнений АЕ. = о. Найти: 1) базис в Е~-; 2) систему уравнений подпространства Е~.. 26.0.
Пусть аы...,аь — базис подпространства Е, и ко- ординатные столбы векторов аы..., аь в ортонормированном базисе пространства Е составляют матрипу А. Найти: 1) базис в Е~-; 2) систему уравнений подпространства Е~, 26.10. Решите с помощью геометрических соображений задачу 18.20. 26.11. Подпространство Е задано в базисе е с матрицей Грама Г системой линейных уравнений А» = о.
Найти: 1) базис в Е~", 2) матрицу системы уравнений подпространства Е ~. 26.12. Пусть аы ..., аь — базис подпространства .С, и коор- динатные столбы векторов ам ..., аь в базисе е пространства Е составляют матрицу А. Дана матрица Грама Г базиса е. Найти: 1) базис в Е~-; 2) матрицу системы уравнений подпространства Е~-.
Гл. 10. Евклидовы и унитарные пров>пранства 1 3 — 1 2 2-1 35 1 10 — 61 1) )(32 Ц); 2) 1 — 5 — б 11 5 1 — 4 3 1 8 715 5) Аыо', б) Аззз; 7) Аз1з', 8) Аыв. 4) 26 15. Подпространство С задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений Ас = о.
Найти систему уравнений подпространства С~-: 1) х1 — хз+хз+х4 = 0 8х1 — хз+2хз+4х4 = 0; 11хз+2хз — хз — х4 = О, 2) 8х1 — хз+2хз — 4х4 = О, — бх1+Зхз — 4хз+бх4 = О; 3) Зх1+ 5хз+хз+Зхв+11хз = 0> 4х1+7хз+2хз+бх4+1бхз = 0> 4) 5х1+24хз — 7хз — Зхв = 0 > — х1 — 2хз + 7хз + Зхв = 0; 5) Система уравнений имеет матрицу а) Азтз, б) Аззз. 26.16. Подпространство .С задано в базисе е с матрицей Грама Г системой линейных уравнений АЕ, = о 1) А=))12Ц), Г Азот; 2) А= 3) А=,Г=Азм; 4) А= 101 1 1 О, Г=Аззь; -1 101 О, Г = А424. Найти: а) базис в Сз-; б) матрипу системы уравнений подпро- странства С~-.
.е" 26.13. Подпространство С задано как линейная оболочка ,,йекторов, имеющих в ортонормированном базисе координаты и столбцы: 1) ((312((; 2) Й1 — 511), Й вЂ” 1 1Ц~ 3) )(3 — 15 9 1~~, (~3 — б — 3 2~~ 4) 543 -3 Ц~, ~~-132 -З~~', ~~291 — Ц~~. Найти: а) матрипу системы уравнений, определяющей С~, б) базис в С"-. 26.14. Подпространство С задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений АЕ, = о. Найти базис подпространства С~., если матрица А равна: Э 26. Геомстарив евквидовв арвстараттстава 251 26.17.
Пусть ап ..., аь — базис подпространства .С, и координатные столбцы векторов ап ..., аь в базисе е пространства Е составляют матрицу А. Дана матрица Грама Г базиса е: 1 1 1) А=~~112~~т, Г=А,е,; 2) А= 26, 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 3) А= 1 1, Г=Азве; 1 2 4) А= Г = А4ы. Ортогональные проекции (26.22 — 26.41) 26.22.
В евклидовом пространстве Е задан вектор х. Найти его ортогональную проекцию и ортогональную составляющую при проектировании 1) на нулевое подпространство; 2) на Е. 26.23. В подпространстве .С с Е задан базис ап ..., аь. В ортонормированном базисе пространства Е координатные вй Найти а) базис в С~", б) систему уравнений подпространства С 26.18. В пространстве квадратных матриц со стандартным скалярным произведением найти ортогональное дополнение надпространства 1) матриц со следом, равным нулю; 2) верхних треугольных матриц.
26.19. В пространстве многочленов степени не выше и со стандартным скалярным произведением найти ортогональное дополнение надпространства многочленов четной степени. 26.20. Пусть евклидово пространство Š— прямая сумма подпространств С; (1 = 1, ..., в), и х = ~ , 'х; у = ',т" у; (х;, у; 6 б С;). Доказать, что подпространства С; попарно ортогональны, если (х, у) = ~(х;, у;) для любых х и у. 26.21. 1) Для нахождения коэффициентов разложения вектора Ь по векторам ат и ат составлена система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными.
Установить, что теорема Фредгольма для этой системы равносильна следующему (геометрически очевидному) утверждению: вектор 6 раскладывается по 67 и ат тогда и только тогда, когда он ортогонэлен каждому вектору у, ортогональному этим векторам. 2) Доказать теорему Фредгольма, пользуясь результатом задачи 26.5, 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
