1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Пусть для некоторого преобразования ~р евклидова пространства нашлось преобразование у' такое, что (<р(х), у) = = (х, у*(у)) для любых векторов х и у. Доказать, что оба преобразования являются линейными. 28.11. Найти преобразование, сопряженное произвольному преобразованию <р одномерного евклидова пространства. 28.12.
Найти преобразование, сопряженное преобразованию из задачи 28.8. 28.13. Доказать, что два преобразования перестановочны тогда и только тогда, когда псрестановочны их сопряженные пРеобразования. 28.14. Пусть преобразование ~р нильпотентно.
Доказать, что его сопряженное преобразование также нильпотентно с тем же показателем нильпотентности. 28.15. Доказать, что для двух преобразований у и Ф произведение у*ф = о тогда и только тогда, когда 1гп ~р ортогонально 1ш4. 28.16. Пусть у — поворот плоскости на угол о. Найти сопряженное преобразование <р*. б 26. Примеры преобразований евклидова иространстава 269 28.17.
Пусть а — фиксированный вектор трехмерного геометрического пространства. Преобразование <р сопоставляет каждому вектору я векторное произведение [а, У]. Найти ~р'. 28.18. В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением преобразование и7 переводит векторы а1, аз, аз соответственно в векторы Ь1, Ьз, Ьз. Найти матрипу сопряженного преобразования от*: 1) а1 = сов, аз = сзз, аз =сш; Ь1 = смо, Ьз = сво, Ьз = св4,' 2) а1 = 0140, аз = свв, аз = с1441 Ь1 = свз, Ьз = с109, Ьз = = С104,' 3) а1 = сот, аз = стт, аз = св4, Ь1 = С140, Ьз = 0101, Ьз = Сот. 28.19. Дана матрица А преобразования у в базисе е с матрицей Грама Г. Найти матртшу сопряженного преобразования ~р*: 1) А=Аво, Г=Аш, 2) А=Ам, Г=Ап14; 3) А=Азо, Г=А104; 4) А=Азво, Г=А1тв; 5) А=А100, Г=А1тв', 6) А=Азв1, Г=А170; 7) А=Азов, Г=А1тт; 8) А=Атво, Г=А170; 9) А = Азво Г = Азвв.
28.20. В трехмерном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти преобразование, сопряженное проектированию на прямую я = 2у = Зг параллельно плоскости е = О. 28.21. В пространстве Рз многочленов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением преобразование 6 сопоставляет многочлену его производную. Найти сопряженное преобразование 6*.
Написать матрицу 6*: 1) в базисе 1, е, ез, 2) в базисе 1, е, (Зев — 1)/2. 28.22. В пространстве Рз многочленов степени не выше 2 со скалярным произведением, определенным в задаче 25.8, 3), преобразование 6 сопоставляет многочлену его производную. Найти сопряженное преобразование 6'. Написать матрипу 6*: 1) в базисе 1, е, ез, 2) в базисе 1, е, (Зе~ — 1)/2. 28.23. Пусть А — квадратная матрица порядка п. Любой квадратной матрице Х того же порядка сопоставляется матрица у(Х) = АХ. Этим определено линейное преобразование пространства квадратных матриц со стандартным скалярным произведением.
Найти его сопряженное преобразование у'. 28.24. Пусть А — невырожденная квадратная матрица порядка и. Любой квадратной матрице Х того же порядка сопо- 270 Гл. 11. Преобразования евнлидовнх и унитарных простпранотв ставляется матрица ~р(Х) = А 'ХА.
Этим определено линейное преобразование пространства квадратных матриц со стандартным скалярным произведением. Найти его сопряженное преобразование ~р'. 28.25. Доказать следующие свойства операции перехода к сопряженному преобразованию в евклидовом пространстве: 1) (1о+ф)*=со" +ф*; 2) (рЯ'=ф'~р', 3) (шр)*=а<р*; 4) Если у имеет обратное, то ~р' также обратимо, и (р*) '=(р ')* 28.26. Доказать, что у сопряженных друг другу преобразований евклидова пространства совпадают: 1) ранги, 2) характеристические многочлены, 3) собственные значения, 4) размерности собственных подпространств. 28.27. Пусть преобразование из днагонализуемо. Доказать, что у* также диагонализуемо. 28.28.
Пусть е — базис из собственных векторов преобразования ~р. Доказать, что его биортогональный базис е* состоит из собственных векторов сопряженяого преобразования со*. 28.29. Пусть преобразование <р в базисе е имеет матрипу А. Доказать, что со" в биортогональном базисе е* имеет матрипу Аз . 28.30. 1) Доказать, что множество значений линейного преобразования у совпадает с ортогональным дополнением ядра сопряженного преобразования ~р'. 2) Убедиться, что утверждение 1) равносильно теореме Фредгольма для систем линейных уравнений. 28.31.
Найти множество значений преобразования б* из задачи 28.21 и непосредственно проверить, что оно совпадает с ортогональным дополнением ядра р. 28.32. Найти ядро преобразования у из задачи 28.17 и непосредственно проверить, что оно совпадает с ортогональным дополнением множества значений ~р*. 28.33. 1) Пусть Лс и Ла — различные собственные значения преобразования у евклидова пространства. Доказать, что Кег(~р — Лсс) С 1пс(~р — Лос). 2) Верно ли такое утверждение для преобразования линейного пространства? 28.34. 1) Пусть подпространство с".
С Е инвариантно относительно преобразования у. Доказать, что .С-~ инвариантно относительно <р*. г е9. Самоеопрлженные н ортогоналъные преооддазооанил 271 2) Пусть преобразование ег имеет вещественное характеристическое число. Доказать, что у него есть (и — 1)-мерное инвариантное подпространство. Верно ли обратное утверждение? 3) Пусть все корни характеристического многочлена преобразования <р вещественны.
Доказать, что найдется такой ортонормированный базис, в котором матрица преобразования верхняя треугольная. 28.35. Преобразование о задано в ортонормированном базисе матрицей А. Найти ортонормированный базис, в котором его матрица А' верхняя треугольная, н написать матрипу А'. 3 1-1 О 2 2 ; 2) А = Аггд; 3) А = Агзг; — 1 — 1 1 гво; 5) А = Агед. 1) А= 4) А=А 28.36. Пусть у — линейное преобразование евклидова пространства.
Доказать, что корневые подпространства <р и ад', принадлежащие неравным собственным значениям, ортогональны. 28.37. Пусть ео — линейное преобразование евклидова пространства. Как связаны жордановы формы преобразований ег и у*? 3 29. Самосопряженные и ортогональные преобразования Самосопряженные преобразования (29.1 — 29.37) 29.1. Может ли матрица самосопряженного преобразования в каком бы то ни было базисе быть: 1) не симметричной; 2) кососимметричной.
29.2. Доказать, что матрица А является матрицей самосопряженного преобразования в базисе е тогда и только тогда, когда матрица ГеА симметрична. 29.3. Доказать, что все собственные значения самосопряженного преобразования равны нулю тогда и только тогда, когда зто — нулевое преобразование. 29.4. Найти все самосопряженные нильпотентные преобразования.
29.5. Найти все самосопряженные ортогоналъные преобразования. 272 Гя. 11. Преобразования евкяидовых и унитарных пространств 29.6. Найти все самосопряженные идемпотентные преобразования. 29.Т. Пусть у — самосопряженное преобразование пространства Е. Доказать, что: 1) Š— прямая сумма подпространств 1щу и Кета, и эти подпространства ортогональны; 2) в 1пз~р существует базис из собственных векторов <р, соответствующих ненулевым собственным значениям. 29.8. Преобразование со задано в ортонормированном базисе матрицей Ааьо.
Найдите какой-нибудь ортонормированный базис, векторы которого лежат в 1щ р и Кету, и матрицу преобразования в этом базисе. 29.9. Сколько существует ортонормированных базисов из собственных векторов данного самосопряженного преобразования, если оно: 1) не имеет кратных характеристических чисел; 2) имеет кратные характеристические числами 29.10. Может ли самосопряженное преобразование иметь базис из собственных векторов: 1) не ортонормированный; 2) не ортогональный. 29.11. Пусть в пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов преобразования у. Доказать, что преобразование у — самосопряженное. 29.12.
Пусть Лм ..., ˄— собственные значения, а ем ... ..., е„— ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования р (е; принадлежит Л;). Найти р (х) для произвольного вектора х. 29.13. Доказать, что матрица А может бьггь матрицей самосопряженного преобразования ~р в некотором базисе тогда и только тогда, когда найдется такая невырожденная матрица 5, что Я ~АЗ диагональная матрица. 29.14. Может ли самосопряженное преобразование в каком бы то ни было базисе иметь матрицу: 1) Аэв 2) Аэо, 3) Аза 4) Ааэ. 29.15. Пусть Е =,С~ 9Ез. Доказать, что проектирование на Е~ параллельно Ез является самосопряженным преобразованием тогда и только тогда, когда Ез = Е~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
