1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 41
Текст из файла (страница 41)
24.10. Доказать, что линейное преобразование и-мерного линейного пространства, имеющее п различных собственных значений, диагонализируемо. 24.11. Пустыр — линейное преобразование конечномерного линейного пространства .С. Доказать, что следующие высказывания равносильны: 1) у диагонализируемо; 2) в,С существует базис из собственных векторов преобразования у; 3) обьединение базисов собственных подпространств является базисом в С; 4) кратность каждого корня Л характеристического уравнения равна размерности собственного подпространства Сх, 5) С является прямой суммой собственных подпространств. 24.12.
Доказать, что; 1) в комплексном линейном пространстве каждое характеристическое число матрицы линейного преобразования является собственным значением, так что произвольное линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор; 2) в вещественном пространстве каждое вещественное характеристическое число является собственным значением. 24.13. Доказать, что линейное преобразование нечетномерного (например, трехмерного) вещественного линейного пространства имеет хотя бы один собственный вектор.
218 Гл. У. Линейные отобраокенил и преобразования 24.14. 1) Доказать, что характеристический многочлен, определитель и след матрицы линейного преобразования не зависят от выбора базиса. 2) Найти выражение коэффициентов характеристического многочлена, в частности следа и определителя матрицы порядка н, через характеристические числа. 24.15.
Найти собственные векторы и собственные значения каждого из следующих преобразований: 1) нулевого; 2) тождественного; 3) гомотетии. 24.16. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе и-мерного линейного пространства матрицей Ае1о = 1„(Л). 24.17. Пусть матрица линейного преобразования в некотором базисе — верхняя или нижняя треугольная с диагональными элементами Ам ..., А„.
Найти все собственные значения этого преобразования. 24,18. Пусть Е = С 9 С', где Е', Ео — ненулевые подпространства. Найти собственные значения и собственные подпространства линейного преобразования у; доказать, что у имеет базис из собственных векторов, и указать диагональный вид его матрицы, если у есть: 1) проектирование на подпространство,С' параллельно Ео; 2) отражение в подпространстве С параллельно а.о. 24.19. Найти собственные значения и собственные подпространства, привести к диагональному виду матрицы линейных преобразований, определенных в задаче 23.65.
24.20. Найти собственные значения, собственные подпространства, привести к диагональному виду матрипу линейного преобразования, определенного в задаче: 1) 23.9, 1); 2) 23.9, 2); 3) 23.9,3); 4) 23.9, 4); 5) 23.10, 1); 6) 23.10, 2); 7) 23.10, 3); 8) 23.10, 4); 9) 23.12, 1); 10) 23.12, 2); 11) 23.12, 3); 12) 23.13, 1); 13) 23.13, 2). 24.21. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, определенного в задаче; 1) 23.14, 1); 2) 23.14, 2); 3) 23.14, 3); 4) 23.66, 1); 5) 23.66, 2); 6) 23.66, 3); 7) 23.66, 4); 8) 23.66, 5). Можно ли из собственных векторов преобразования составить базис? 24.22.
1) Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования у, заданного матрицей г с.(. Собственнме венторм и собственные значения 219 А = (аы ..., а„)~ (Ьы ..., Ь„) ~ О. 2) Найти необходимое и достаточное условие диагонализируемости преобразования ~р.
3) Выяснить, диагонализируемы ли преобразования, заданные матрицами: а) Азы; б) Аззз. 24.23. Пусть |с, т, и — натуральные числа, 1 < Ь < т < и. Привести пример линейного преобразования и-мерного линейного пространства, для которого данное число Л является корнем характеристического многочлена кратности т, а отвечающее ему собственное надпространство имеет размерность Ь. 24.24. Пусть линейное преобразование р трехмерного комплексного линейного пространства в некотором базисе имеет вещественную матрицу и по крайней мере одно характеристическое число этой матрицы не является вещественным.
Доказать,что ~р диагонализируемо. 24.25. Пусть х — собственный вектор линейного преобразования р, отвечающий собственному значению Л, а р (с) — многочлен. Доказать, что вектор х является собственным для преобразования р (у) и принадлежит собственному значению р (Л). 24.26. Пусть Лм,..., ˄— характеристические числа линейного преобразования у в и-мерном линейном пространстве. Чему равны характеристические числа (с учетом кратностей) преобразования: 1) (р) ~р~; 2) (р) ут (ги — натуральное число); 3) ~р 1 (при условии, что у обратимо); 4) р(у), где р(с) — произвольный многочлен (при условии, что Лм ..., Л„различны)? 24.27. Пусть характеристические многочлены квадратных матриц А и В имеют простые корни Лы ..., Лт и дм ", рн соответственно.
Найти характеристические числа кронекеровского произведения АЗ В матриц А, В. (См. введение к 9 15.) 24.28. Пусть линейное преобразование р линейного пространства с; диагонализируемо. Доказать утверждения: 1) 1щр есть линейная оболочка множества всех собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям; 2) с, = 1ппр®Кегр. 24.29. Привести пример линейного преобразования ~р пространства Я.„, для которого Я ф 1пгр+Кегр. 24.30.
Линейное преобразование вещественного и-мервого линейного пространства задано своей матрицей. Вычислить 220 Гя. У. Линейные отаобразееения и преобразования 13) Агдо; 18) Агдв; 23) Агдв' 28) Агдд, 12) Аг,з; 17) Агд4,' 22) Агдт', 27) Агзт', 2) Аво; 3) Авг' 4) Атд (е=ег 'уз); 6) Атт; 7) Атв (е = ег 'уз). 8) Авт, собственные значения и найти максимальную линейно неза- висимую систему собственных векторов преобразования.
Ес- ли найденная система векторов образует базис, записать в нем матрицу преобразования и выяснить геометрический смысл преобразования: п=2: 1) Аев; 2) Апб 3) Азв; 4) Аат~ 5) А4в; 6) Атз; 7) Аиб 8) Аз; 9) Азо', 10) А4д,' п=З: 11) Агв1; 14) Агдт; 15) Агдг; 16) Агдз' 19) Аггт, 20) Агвт', 21) Агдв,' 24) Агтз, 25) Агзз, 26) Агзо; 29) Агат; 30) Агвз; п= 4: 31) Аатт,' 32) Авто, ЗЗ) А4во', 34) А4в1', 35) А4вг; 36) Аеад; 37) А4вз', 38) Аавтб 39) А4вв; 40) Аевд.
24.31. Линейное преобразование комплексного и-мерного линейного пространства задано своей матрицей. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования в этом базисе: п=2; 1) Аго; 5) Ад4', п= 3: 9) Агзд, 10) Агвг; 11) Агвз; 12) Азоо; 13) Азот; 14) Агво; 15) Азез (ю = е~~'7~); 16) Азтв; 17) Азтт' п=4; 18) Аазг', 19) А44т', 20) Аевв, 21) А4тг.
24.32. Найти собственные значения и максимальную ли- нейно независимую систему собственных векторов линейного преобразования, заданного своей матрнцей. Объяснить, поче- му преобразование не диагонализируемо: 1) Аы; 2) Азг; 3) Агав; 4) Азов; 5) Агвд, 6) Агзв; 7) Аевт', 8) Аевт', 9) Ав4в. 24.33. Найти характеристические числа линейного преоб- разования, заданного своей матрицей. Выяснить, диагонализи- руемо ли преобразование: а) в вещественном пространстве, б) в комплексном пространстве. Если да, то найти базис из соб- ственных векторов и записать в нем матрицу преобразования; в противном случае указать, какое из необходимых условий диа- З 24.
Собственнъье вентпорн и свбственнне значения 221 гонализуемости не выполнено: 1) Авь; 2) Атт, 3) Азьд; 4) А44; 5) Азьз, 6) Адз' 7) Авзь; 8) А4зо 9) А47з' 10) Автв. 24.34. Решить задачу на собственные значения и собственные векторы и указать диагональный вид матрицы линейного преобразования, заданного в стандартном базисе: вещественного и-мерного арифметического пространства: 1) Аьо4; 2) Аьз1 (и = 2т); 3) Аьзь; 4) Аозт', 5) Аььо; 6) Аьзд', 7) Аьз4; 8) Аьзо' 9) Авоь (Л1=" =Л =1,Л .ь1=...=Лп=2; т=[(и+ + 1)/2]); 10) Аьоь (Л1 =... = Лтн = 1, Лтл-~-1 =...
= Лн = 0; т = [(и+ + 1)/2!); комплексного и-мерного арифметического пространства: И) А„, (Л, = ... = Л„= 1, Л +, — ... - Л„= -1; т = [(и+ 1)/2]); 12) Аьы, 13) Аьзь. 24.35, Найти характеристические числа матрицы: .- 1) Авдо; 2) А4щ, 3) Авдо; 4) Аь4д, 5) Аььо1 6) Аьзз; 7) Аьвз; 8) Аьвз', 9) Аь4ь (и — нечетно). 24.36. Вычислить; в 1) 2"+1П сов —; 2) ~ ~соз— ь=1 и+1' и+1' в=1 в 3) ь е", где е = ез"'7", и = 2т+ 1; (е" — еб), где е = ез'*~н, и = 2т+ 1.
4) П о<з<ь< -1 24.37. 1) Одна из матриц Аззи Аззд подобна матрице Р = = йай(1, 1, — 1). Какая именно? Ответ обосновать, не находя собственных векторов и характеристических чисел. 2) Матрица Р=йай(1, 1, 0) подобна одной из матриц Аззо, Азь4. Выяснить, какой именно, не находя собственных значений и собственных векторов. 3) Из двух матриц Азов, Азоь одна подобна матрице .01 = = йа8(1, — 1, О), а другая — матрице Рз = йа8(1, 1, О). Выяснить, какая именно, без вычисления собственных значений и собственных векторов. 24.38. 1) Матрица Аззз подобна одной из матриц; — Е, ,Уз( — 1), йа8( — 1,,7з( — 1)). Какой именно? 222 Рл. в.
Льнейние отображения и преобразования 2) Одна из матриц А4зт, А4зз, А4зз подобна матрице,Х4(0). Какая именно? Задачи 24.39 — 24.41 решить как задачи на собственные векторы и собственные значения 24.39. Треугольники АВС и А'В'С' подобны (с коэффициентом подобия Л). Если длины сторон треугольника АВС равны а, Ь, с, то соответствующие стороны треугольника А'В'С' имеютдлнныЗа+Ь+с, а+ЗЬ+с, а+Ь+Зс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
