1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 37
Текст из файла (страница 37)
23.27. Линейное отображение и-мерного арифметического пространства в гп-мерное задано матрицей А. Числа т и и определяются размерами матрицы. Вычислить образы указанных векторов: 1) А=Азо7, а=(4, — 1, — 1,3)т; 2) А=А4зз а=(-1 1 1 -1)т 3) А=Аззз, а=(-2,1,3, -1)т; 4) т=п, А=Азот аэ=(1,1,...,1)т, аз=(1,— 1,0,... ..., 0) ..., а„ = (1 О, ... 0 -1) 23.28. Линейное преобразование и-мерного линейного пространства С задано матрицей А в базисе е. Число и определяется порядком матрицы. Найти ядро и множество значений преобразования. Выяснить, является ли оно иэоморфиэмом, если; 1) А=Азо', 2) А=Аззе' 3) А=Азее; 4) А = Аеез; 5) А = Аеее; 6) А = Азет.
23.29. Линейное отображение и-мерного линейного пространства в т-мерное задано матрицей А в базисах е и К. Числа гп и и определяются размерами матрицы. Найти ядро и множество значений отображения. Выяснить, является ли оно сюръективным, инъективным, если: 1) А=Аые, 2) А=А4оз', 3) А=А40е, 4) А=Аэто; 5) А = Аезо, 'б) А = Аззз 23.30. Линейное отображение и мерного арифметического пространства в т-мерное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей А.
Числа гп и и определяются размерами матрицы. Вычислить полный прообраз вектора а, если: 1) А = Аыз, а = (-1 0 )т. 2) А = Азз1, а = (1, 2, 1) 3) А =А4зь а=(4, 2, 9, -20, — 3)т; 4) А = Аезм а = (О, 1, 1, 2, — 1)т. 23.31. Линейное отображение и-мерного арифметического пространства в гп-мерное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей А. Числа т и п определяются размерами матрицы. Найти полный прообраз подпространства М С Я., если: 1) А = Азте, М натянуто на вектор (3, — 1)т; 2) А =Аыт, М задано системой уравнений хг+хз= О, хд — хз =0; з ео. Основные свойства линейных отображений 199 3) А = Аззз, М задано системой уравнений 2х1 — хз = О, 2хз+хз — 2х4 = 0; — хз+2х4 — хв =О, ха = О. 23.32.
Доказать, что пространство Я „„вещественных матриц размеров т х п (задача 20.5) изоморфно арифметическому пространству Л 23.33. Пусть а = (ао, ам ..., ав)~. Показать, что отображение 1(а) =ао+а~$+...+а„Ф" устанавливает изоморфизм 1п+1)-мерного арифметического пространства и линейного пространства многочленов степени,не превосходящей п. 23.34. Отображение двумерного вещественного арифметического пространства в линейное пространство вещественных квадратных матриц второго порядка задано формулой д ~~ Й = й ~ ~~. Доказать линейность и инъективность отображения у. Вычислить его матрицу в стандартных базисах пространств. 23.35. Отображение трехмерного вещественного арифметического пространства в пространство матриц второго порядка сопоставляет вектору (хм хз, хз)т матрицу ~~ ~ з ~~.
До— хз х1 казать линейность и инъективность отображения. Вычислить его матрицу в стандартных базисах пространств. 23.36. Пусть Мз„з — множество комплексных матриц второго порядка, рассматриваемое как вещественное линейное пространство со стандартным базисом Е1 и 1Ем, Езм 1Езм Епп 1Епп Езз, 1Езз (см. задачу 22.12).
Отображение со: Яз — + Мо~з хз х1+ зх2 сопоставляет вектору (хмхз|хз)т матрицу ~~ ~ х1 — зхз — хз Доказать, что отображение у линейно и инъективно. Найти его матрицу в стандартных базисах пространств. 23.37. Отображение со: Ял — > Мз„з (см. задачу 23.36) заа 6 дано формулой у(х) = — „, где (хм хо,хз,х4)~, а = х1+ зхз, а = х1 — зхз, Ь = хз+1х4. Доказать, что у линейно и инъективно, найти его матрицу в стандартных базисах пространств. 23.38. Доказать, что данное множество квадратных матриц является вещественным линейным пространством, изоморфным арифметическому пространству Кз: 1) множество всех вещественных матриц второго порядка с нулевым следом; 200 Гя. У.
Линейные отображения и преобразооания 2) множество всех вещественных кососимметрических матриц третьего порядка; 3) множество всех комплексных матриц вида где хс, хз, хз — вещественные числа. 1- ° схз хс + схз — хс + схз — схз сс 23.39. Пусть 1с = — — операция дифференцирования, сой поставляющая функции Д1) ее производную у'(1). Показать, что В является линейным преобразованием линейного пространства функций, бесконечно дифференцируемых на интервале (а,(з).
23.40. Пусть Р< ) — линейное пространство вещественных многочленов степени не выше пс. 1) Проверить, что дифференцирование (определенное в задаче 23.39) есть линейное преобразование В с Рс"'1 -+ Р("'1, найти его ядро и множество значений. Вычислить матрицу преобразования Р: а) в стандартном базисе 1, 8, ..., $™; б) в базисе 1, Ф вЂ” 1о " (1 — со) с в) в базисе 1, —, ..., —. 1! т! 2) Найти матрицу дифференцирования как линейного спВ отображения В: Р1т1 -+ Р1 сс базисах 1, 1, ..., —, и 1, 1, ... С~о — 1 (т — 1)! 23.41. Показать, что дифференцирование (задача 23.39) определяет линейное отображение: 1) пространства четных многочленов степени не выше 2п в пространство Р нечетных многочленов степени не выше 2гс — 1; 2) пространства нечетных многочленов степени не выше 2п+1 в пространство Я четных многочленов степени не выше 2п.
Найти ядро, множество значений и ранг отображения. Записать его матрицу А в стандартных базисах пространств. 23.42. Проверить, что функции елср(1), где Л вЂ” фиксированное число, р(Ф) — многочлен степени не выше тс, образуют линейное пространство, а дифференцирование является его линейным преобразованием. Вычислить матрицу преобразования лс в базисе — е"~ (й = 0,1,...,и). /с! я ео. Основные свойстава линейных отобраэкений 201 ' ' 23.43.
1) Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства тригонометрических многочленов Х(1) = ае+ а1сояФ+ Ь1 я1пФ+... + а„сояпФ+ + Ь„я1пп1 порядка не выше и (см. задачу 20,8.4). Найти матрипу преобразования Р в стандартном базисе 1, соя1, я1п1, ... ...соя п$, я1пп1 этого пространства. 2) Доказать, что дифференцирование Р устанавливает изоморфизм между линейными пространствами нечетных тригонометрических многочленов Ь1 ьйп1+ Ьояш21 +...
+ Ь„я1ппФ и четных тригонометрических многочленов вида а1 соя 1 + + азсоя21+... + аосояп$ (и — фиксированное число). Вычислить матрицы отображения Р и обратного отображения в базисах яш~, ..., вшпп и соИ, ..., сояп1. 23.44. Пусть 1(е) — непрерывная функция ($ Е К). Рассмотрим операцию интегрирования 1: Щ -+ ДС)аС. о 1) Проверить, что интегрирование определяет линейное отображение 1: Р~" 11 -+ РОО (и > 1), найти его ядро, множество значений и ранг. Записать матрипу отображения в стандартных базисах.
2) Интстрирование рассматривается как линейное преобра;ювание пространства Р всех вещественных многочленов. Найти его множество значений. Является ли это преобразование сюръективным, инъективным, изоморфизмом? 3) Пусть М вЂ” пространство многочленов с нулевым свободным членом, 1:Р— ~ М вЂ” операция интегрирования и Р: Л4 — ~ 'Р— дифференцирование. Доказать, что эти линейные отображения взаимно обратны. 23.45.
Пусть У -- линейное пространство функций 1(1), непрерывных на отрезке [-1,1], У вЂ” линейное пространство непрерывно диффереицируемых на [ — 1,1) функций у(Ф) таких, что 1(0) — О, м и Я вЂ” подпространства четных и нечетных функций в У соответственно. 1) Интегрирование 1 из задачи 23.44 ( — 1 ( $ < 1) рассматривается как линейное преобразование пространства У. Является ли это преобразование инъективным, сюръективным? Обратимо ли оно? 2) Доказать, что интегрирование определяет изоморфизм 1: У' — ~ У. Найти для него обратное отображение.
202 Гл. У. Линейные огоооролеенил и нреобраэооанил 3) Показать, что интегрирование определяет линейные отображения 11 . й -+ Я и 1з . Я -+ Д. Ответить для этих отображений на вопросы п. 1). 23.46. Пусть линейное преобразование пространства всех многочленов от 1 переводит каждый многочлен е" в Ф " (Й = = О, 1, 2, ...). Убедиться в том, что зто преобразование инъективно, но не сюръективно. Найти множество его значений. 23.47. Пусть Я. „„— линейное пространство матриц размеров т х п.
1) Доказать, что умножение матриц размеров т х и слева на фиксированную матрипу А размеров й х т есть линейное отображение у: Я „„— ~ Яь„„. Вычислить матрицу отображения у в стандартных базисах, если и = 2, А = Азг. Найти ядро и множество значений этого отображения. 2) Доказать, что умножение матриц размеров т х п справа на фиксированную матрицу В размеров и х Й есть линейное отображение р: Я „о — ~ Я „ы Вычислить матрицу отображе- ниЯ 1о в стандаРтных базисах, если т = 2, В = А1зе. Найти ЯдРо и множество значений отображения у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
