1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 34
Текст из файла (страница 34)
20.10. Найти линейную комбинацию столбцов: 1 1) ЗС1 — -С2, 2) — Сед+ С33+ 2С31~ 1 1 3) -С143 -сгвв; 4) сдоь — Зсгдв+2с199. 2 2 20.11. Найти линейную комбинацию матриц 1 1 --4шь — -А232+ 4293 — 4234. 3 2 20.12. Найти столбец х из уравнения: С141 + х С144 + Х 1) сдв+сдд — 2х=с32; 2) 2 3 — = С142', 3) 3(С192 + х) + 2(С292 — х) = 4(С294 — х). 20.13. Выявить линейные зависимости между данными столбцами: 1.) с34, с33, с29; 2) св4) свв~ с120~ 3) сгвв, сгдв сшд, С291., 4) сшш сшт, сдоь, сдов 8" ЯО.
Примеры пространств. Бозио и размерность 183 20.14. Найти размерность и базис линейной оболочки данной системы столбцов: 1) см сг; 2) сз1, сгз, сзо' 3) сз1, сзе, сзг; 4) с191, стго, с118; 5) С166, сг98, сгээ, сг91' 6) с196, с198> сюг; 7) с166, с196, с19т, с198; 8) о; 9) с166, сюз, сш4, С19т 20.15. Найти размерность и базис линейной оболочки системы матриц А391 Азэо, А889. 20.16.
Найти размерность и базис линейной оболочки системы многочленов (1+ $)з, Фз, 1, Ф+ ег. 20.17. Доказать что векторы е1,..., е„образуют базис в и- мерном арифметическом пространстве, и найти координатный столбец вектора х в этом базисе: 1) п = 1, е1 = с1, х = сг; 2) и = 2, е1 = сга, ег = сгэ, х = сзо; 3) 11 = 3, е1 = стпь ег = стге, ез = стгг, х = С49, 4) и = 4, е1 = сше, ег = сгэт, ез = с198 е4 = с199, х = сгео; 5) и= 5, е1= сг66, ег = сгез, ез = сг66, е4 = сг66, е6 = сг66, х= сгот.
20.18. Доказать, что матрицы А6, Ащ, Анп Ае образуют базис в пространстве квадратных матриц порядка 2, и найти координатный столбец матрицы Аге в этом базисе. 20.19. Доказать, что матрицы Агео Агег, Агез, Агео, Агез, Агог образуют базис в пространстве симметрических матриц порядка 3, и найти координатный столбец матрицы Аг16 в этом базисе. 20.20. Доказать, что многочлены 1, 8 — ет, (Ф вЂ” ет)г, ... ..., (8 — ет)" образуют базис в пространстве многочленов степени не выше и, и найти координатный столбец произвольного многочлена р„(Ф) степени не выше п в этом базисе. 20.21 (р). Доказать, что многочлены 21+ 86, ФЗ вЂ” 16, 8+ 18 образуют базис в пространстве нечетных многочленов степени не выше 5, и найти координатный столбец многочлена 58 — ез + + 266 в этом базисе. 20.22.
Найти размерность и базис линейного подпространства, заданного в некотором базисе системой линейных уравнений: 1) Агтх=о; 2) Агззх=о; 3) Аг49х= о; 4) А891х=о; 5) Атюх=о; 6) А64гх=о; 7) Азттх=о. 184 Гл. В. Линейнб)е пространства 20.23. Составить систему уравнений, определяюшую линейную оболочку данной системы столбцов: 1) Сбб С83) 2) С31) СЗО) 3) СЗО) С29) 4) с!66, сгаб, 5) сшт; б) сьбб, стоб, сшо, его!,' 7) сшб, 0196, сщт, сшз; 8) (О, О, 0 О)~ 20.24. Доказать, что каждая из двух систем векторов 11,...
..., 1п и й1, ..., п„является базисом в п-мерном арифметическом пространстве, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты ~', ..., ~) во втором базисе: 1) п=1, 11=01, й1=СЗ; 2) и = 2) ег = с29, ег = сзз) И! = Сзг) Ег = сгб; 3) п=З, г! — — спб Гг=спт, Уз =сов 81 =спо 62=084, ЯЗ = С83; 4) я= 4, гг = с166) Юг = 0196) гз = с19т) Г4 = с!98) И1 = с199, Иг = сгош Из = сгог йе = сгоз. 20.25. Доказать, что каждая из двух систем матриц А!32, А!43, А!34, Агзз, Апо, Агзб и Агзб, Агзт, Апг, Атзб, Атзо, Апз является базисом в пространстве матриц размера 3 х 2, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
Найти координаты матрицы 3 х 2 в первом базисе, если известны ее координаты 41~,...,Я во втором базисе. 20.26 (р). Доказать, что каждая из двух систем матриц Агбо, А251 А252 и Агбз, Аг64, Агбз является базисом в пространстве кососимметрических матриц порядка З,и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты кососимметрической матрицы порядка 3 в первом базисе, если известны ее координаты ~', Ц, Я во втором базисе.
20.27. Доказать, что каждая из двух систем функций 12 83 1+88+13 (1+8)зи(1+1)з (1 1)з т 82+13 1+1+ + 12 + сз является базисом в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты многочлеца в первом базисе, если известны его координаты Ц, Ц, 43, 44 во втором базисе. 20.28. Доказать, что каждая из двух систем функций (1+82)2 (1 82)2, 1 и 1+8~+84, 1 — 1~+84,84 я я я б исом в пространстве четных многочленов степени не выше 4, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
Найти координаты четного многочлена степени не выше 4 в первом базисе, если известны его координаты (~1, сг, Я во втором базисе. З 81. Сумма и пересечение яодироегпраяетв 185 20.29. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: 1) поменять местами г-й и зчй векторы первого базиса; 2) поменять местами 1-й и гьй векторы второго базиса; - я 3) расположить векторы обоих базисов в обратном порядке.
,* и 20,30. Матрица Я~ является матрицей перехода от первого базиса еп..., е„в и-мерном линейном пространстве ко второму базису ~п..., ~„, а матрица Яг — матрицей перехода от второго базиса к третьему базису дп...,д„. Найти матрипу перехода: 1) от первого базиса к третьему; 2) от второго базиса к первому. 20.31. Описать взаимное расположение двух базисов в трехмерном линейном пространстве, если матрица перехода от первого базиса ко второму: 1) диагональная; 2) верхняя треугольная; 3) нижняя треугольная.
20.32. Векторы базисов аз,...,а„и бм..., б„даны своими координатными столбцами относительно базиса е. Эти столбцы составляют соответственно матрицы А и В. Найти матрипу перехода от базиса а к базису Ь, если: 1) А=Аз4, В=Азе; 2) А=Акь В=А34; 3) А = А4гг В = А4зз 20.33. Доказать, что многочлены Лежандра 1, — (31 — 1), — 151 — 3$) образуют базис в пространстве многочлез 2 '2 нов степени не выше 3.
Найти матрицы перехода от стандартного базиса к данному и обратно. 20.34. Найти координаты многочлена р(е) в стандартном базисе пространства многочленов степени не выше 3 и в базисе зрдачи 20. 33: ® 1) рф 51з 3$. 2) р(1) 2е 1. 3) р1е) 9ег 1 4) фе) 1 41 Зег+10ез 3 21. Сумма и пересечение подпространств 21.1. Доказать, что пространство квадратных матриц порядка п является прямой суммой подпространства симметрических матриц и подпространства кососимметрических матриц того же порядка. 186 Гл. В. Линейные првстрансгива 21.2.
Доказать,что пространство многочленов степени не выше и является прямой суммой подпространства четных мно- гочленов степени не выше и и подпространства нечетных мно- гочленов степени не выше п. 21.3. 1) Доказать, что и мерное линейное пространство является прямой суммой подпространства векторов, все коор- динаты которых равны между собой, и подпространства век- торов, сумма координат которых равна О.
2) Дана матрица А из и строк. Доказать, что и-мерное арифметическое пространство является прямой суммой линей- ной оболочки столбцов А и подпространсгва решений системы линейных уравнений Аг х = о. 21.4. Доказать, что и-мерное арифметическое простран- ство является прямой суммой линейных подпространств, на- тянутых на системы векторов В1,...,Вь и Ь1,..., Ь1: 1) п=2, а1=сзо, аз=сзг, Ь1=сзб', 2) п = 3, В1 = С141, В2 = С148, Ь1 = Сбб, Ь2 = С140; 3) и= 4, а1 = сиз, аг =сиб, Ь1=си7, Ьг = сиб, Ьз = сгоб; 4) и=4, а1 =с19б~ В2 с198 аз =сгог, В4 =с199, Ь1=с1бб, Ьг = 0204. 21.5.
Разложить данный вектор х нз и-мерного арифмети- ческого пространства в сумму двух векторов, один из которых лежит в Р, а другой — в Я, где 'Р— линейная оболочка си- стемы векторов а1,...,ВЫ а Я вЂ” линейная оболочка системы векторов Ь1,...,Ь1. Проверить единственность разложения: 1) и=2, х=с29, а1 =сгз, Ь1 — — сзо; 2) и=3, х= сгго а1 =с84, аг =сбз Ь1 =сбб' 3) 71=3, х=с148, а1=с84, аг=сбз, Ь1=сбб; 4) и=З, х=с139 а1=с84, аг=сзз, Ь1=сбб; 5) и=4, х= С200, а1 = сиб, аг = сиз, аз = сяп Ь1 — 02021 Ь2 = С208. 21.6. Найти проекцию данного вектора х из п-мерного арифметического пространства на линейное подпространст- во Р параллельно линейному подпространству Я, где Р— ли- нвйная оболочка системы векторов а1,...,аю а Я вЂ” линейная оболочка системы векторов Ь1,...,Ь1. 1) и=2, х=сзг а1 =сзш Ь1=сз4' 2) п=2, х=сз7 а1=сзе, Ь1=сз4,.
3) и = 2, х = сзб, а1 — — сзо, Ь1 — — сз4, 4) и=З, х=с148, а1=сбб, аз=сии аз=с122 Ь1=сиб; 5) и=4, х = 0201, а1 = сиб, аг = сиз, Ь1 = 0197, Ьг = сиз. 3 И. Сумма и пересечение подиространств 187 21.7. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств и-мерного арифметического пространства, натянутых на системы векторов а1,...,аь и Ь1,...,Ь1: 1) и= 2, а1 = сз4, аз =сз7, аз =сзь Ь1 — — сзо, Ьг =сзб, Ьз = сзг; 2) и=3, а1 = сыб, аг = с1м, аз =с1ин Ь1= 0122, Ьг = с1гь, ЬЗ = С138; 3) и=3, а1 =сбб, аз = 0139, аз = с,40, Ь1 = с94, Ьг = с14ы ЬЗ = С117', 4) (р) и=3, а1 = сбз, аз =с142, аз =С14з, Ь! =084~ Ьг— = С!44~ ЬЗ = 0117~ 5) и = 3, а1 = сбб, а2 = с116, аз = с143, Ь1 = с122~ Ь2 = с146, ЬЗ = С147; 6) и= 3, а1 = сбз, аг = с84, аз = 0120, Ь1 — — сбб, Ьг = с1гм Ьз = 0122, 7) и = 4, а1 = с196, а2 = с200, аз = с217, Ь1 = с211, Ъ2 = с218, ЬЗ = 0219'> 8) и = 4, а1 = с196, а2 = 0158, аз = сг02, Ь1= 0166, Ьг = 0204, ЬЗ = С197; 9) и= 4, а1= 0166, аг = 0196, аз = сг97, Ь1 = сгоз, Ьг = сгоь Ьз = сгоб; 10) и=4, а1=0166, аз=сгбб аз=сгаб, ае=сгог, Ь1= = С207р 2 = С204, 3 = С197, 4 = 0203,' 11) (р) и = 4, а1 ='51 — 1 1 ОЗ, аг =!)1 1 0 1)), аз=!~2 0 1 2~~г, а4=~!2 0 1 1!~г, Ь1='53 5 -1 4З, Ъ2=~~1 1 0 0(~, Ь3 =~~2 2 0 З(~г, Ь4=)~1 3 — 1 1(~ .
21.8. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства квадратных матриц порядка 3, натянутых на системы матриц Агог, А21п, А209, А204 и Агьб, Агоь, А237, Агьб 21.9. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства многочленов степени не выше 3, натянутых на системы многочленов 1+23+23, 3+12 3 32+33 1+32 1+33+33 33 32+33 21.10. Используя понятие суммы' двух линейных подпространств, доказать неравенство гя(А+ В) < гбА+гяВ, где А и  — две матрицы одного размера 7и х и.
21.11. Доказать, что сумма Е двух линейных подпространств Р и Я тогда и только тогда будет прямой суммой, 188 Гл. 8. Линейне4е проетранегааа когда хотя бы один вектор х е С однозначно представляется в виде х = у + е, где у е Р, е б Я. 21.12. Пусть Р и й — два линейных подпространства конечномерного линейного пространства. Доказать, что; 1) если сумма размерностей Р и й больше размерности всего пространства, то пересечение Р П Я содержит ненулевой вектор; 2) если размерность суммы Р и Я на единицу больше размерности их пересечения, то одно из этих подпространств содержится в другом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
