1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 39
Текст из файла (страница 39)
1) Пусть А и  — матрицы линейного отображения в двух парах базисов. Доказать, что В можно получить из А элементарными преобразованиями строк и столбцов. 2) Пусть А и  — матрицы линейного преобразования в двух базисах. Доказать, что В можно получить из А согласованными друг с другом элементарными преобразованиями строк и столбцов. 23.72. Пусть ~р: Е-+ Š— линейдое отображение. Доказать, что: 1) если базисный вектор линейного пространства Е принадлежит ядру у, то соответствующий столбец матрицы отображения нулевой; 2) если ез, ..., е„— базис пространства Е, причем век- 208 Хл. й.
Линейнне отображения и преобразования торы е„+ы ..., е„(г < и) образуют базис ядра ~р, то векторы у(е1), ..., у(е,) образуют базис в ~р(Е). 23.73. Доказать, что для всякого линейного отображения ~р существует пара базисов, в которых матрица отображе- Е О ния имеет простейший вид ~~ О О ~~. Чему равен порядок матрицы Е? 23.74.
В стандартных базисах арифметических пространств Я.„и?7. линейное отображение у имеет матрицу А. Найти пару базисов, в которой матрица отображения у имеет простейший вид (см. задачу 23.73): 1) А=А1з, .2) А=Азз; 3) А=Аззз' 4) А = Азза; Ь) А = Авте, б) А = Аезе. 23.75. Пусть А — матрица линейного преобразования в некотором базисе.
Доказать, что матрица, полученная из А центральной симметрией, является матрицей того же преобразования в другом базисе. 23.76. Доказать, что подобны матрицы: 1) А7т и обратная к ней; 2) Аззд и Азео. 23.77. Найти все матрицы, каждая из которых подобна только самой себе. Операции с линейными отображениями и преобразованиями (23.78-23.104) 23.78. Даны линейные отображения у: Я.„-в Й, ф: К~ е Яь. 1) Указать условия на т, и, 1е, 1, необходимые и достаточные для существования произведений уф и 1б~р.
2) Пусть Х = уф. Показать, что Х вЂ” линейное отображение. Как связаны матрицы отображений ~р, ф, Х? 23.79. Пусть у, ф, Х вЂ” линейные отображения арифметических линейных пространств, се — число. При каких условиях на размерности пространств справедливо каждое из следующих равенств: 1) У(ФХ) = ('РФ)Х' 2) рЫ+Х) = у4+рХ; 3) (р+Ф)Х= рХ+ФХ; 4) се(~р+ф) = сед+сир? Показать, что матрицы данных отображений удовлетворяют тем же равенствам. э" 2Я.
Основные свойства линейных отображений 209 23.80. Доказать, что всякое линейное отображение представимо в виде произведения сюръективного и инъективного линейных отображений. 23.81. Пусть С = С' Щ.С", где С, Св — ненулевые подпространства линейного пространства .С. Показать, что тождественное преобразование представляется в виде суммы с = л1 +~го, где х1 (ко) — проектирование пространства С на надпространство С' (Св) параллельно подпространству Со (С). 23.82. Координатные столбцы векторов ам ао, аз; Ьм Ь2, Ьз; см со, сз образуют соответственно матрицы А2во, Аооо Аово. Линейное преобразование у переводит векторы аы ао, аз в Ьм Ьо, Ьз, а линейное преобразование ф переводит Ьы Ь2, Ьз в сы со, сз соответственно.
Найти матрицу преобразования фу: 1) в исходном базисе; 2) в базисе аы ао, аз; 3) в базисе Ьм Ьо, Ьз. 23.83. Пусть у, ер — линейные преобразования двумерного арифметического пространства, ~р имеет матрипу Аее в стандартном базисе, а ф — матрицу А|о7 в базисе из столбцов матрицы Аео. Вычислить матрипу преобразования: 1) у~ — бр+90 2) ф~+4ф+4с; 3) у~ — ер~ в стандартном базисе; 4) уф ' в базисе из столбцов матрицы Аео; в 5) ~(р+ е(~) в базисе, образованном столбцами (1, 2) г, (О, -1) 23.84. Пусть Р(") — пространство многочленов степени не выше и (и > 1) с вещественными коэффициентами. Отображения р(н-1) р(н) Ь, р(а) р(а-1) определим формулами ~р(ао+ а1(+...
+ а 1Ф" ') = пои+ а1( +... + а„1(а, ф (ао + а1(+... + а„(") = а1+ . + а„~" 1. Проверить линейность отображений и показать, что е)нр — тождественное преобразование, а уеЬ вЂ” нет. 23.85. Пусть С вЂ” линейное пространство функций с базисом е, Р— дифференцирование. Найти матрипу преобразования Р" ()е = 1, 2, ...), если: 1) Š— пространство многочленов степени не выше п, е= (1, г, ..., е"Ун!); 210 Гп. У. Липейпие отоброжеиил и преоороеооаниа 2) е. — пространство тригонометрических многочленов порядка не выше п (см. задачу 23.43), е = (1, соз1, э1пФ, ..., созп1, з1пп1). 23.86. В пространстве всех многочленов от 1 рассматриваются линейные преобразования: т — умножение на 1 и диффед ренцирование Р = —.
Найти преобразование: й' 1) тР; 2) Рт; 3) коммутатор (Р, т1= Рт-тР. 4) Доказать равенство Р т — тР = тР~ 1 (гп = Ро 23.87. Доказать, что коммутатор (у, ф) = уф — 4хр двух линейных преобразований конечномерного линейного пространства не может быть тождественным преобразованием (ср. задачу 15.130). 23.88. Доказать, что матрицы подобных линейных преобразований подобны.
23.89. Доказать, что отношение подобия между линейными преобразованиями является отношением эквивалентности (т.е. 1о р; из у ° ф следует у1 у; из у ф и ф ° Х следует Ф Х). 23.90. Пусть р, ф — линейные преобразования линейного пространства Е. Доказать, что: 1) если ф подобно у, то для любого базиса е пространства Е существует такой базис е', что матрица преобразования Ф в базисе е' совпадает с матрицей р в базисе е; 2) если для преобразований у и ф в е. существуют такие базисы е и е', что матрица преобразования у в базисе е совпадает с матрицей преобразования ф в базисе е', то 1о и у1 подобны.
23.91. Пусть линейные преобразования у и ф подобны. Показать, что подобны также преобразования; 1) р(у)=аое+а1у+...+а„у" и р(у1), где р(1)=по+ + а11+... + а„г" — произвольный многочлен; 2) ~р 1 и у1 1, если у и ф обратимы. 23.92. Пусть у и ф — линейные преобразования некоторого линейного пространства, хотя бы одно из которых невыро.
ждено. 1) Доказать, что преобразования рФ и йпр подобны. 2) Сформулировать и доказать матричный вариант этого утверждения. е ео. Основные свойства линейных отобралсений 211 23.93. Доказать, что линейное отображение ранга г представимо в виде суммы г линейных отображений ранга 1, но не представимо в виде суммы меньшего числа таких отображений (ср. задачу 16.33). 23.94.
Пусть ~р, 4 — линейные отображения пространства Е в Е. Доказать, что гй (у+ ер) < гй р + гй Ф (ср. задачу 16 34, 6)). 23.95. Пусть р: Е-+ М, 4: М вЂ” ~Л' — линейные отображения, с)1шМ = ш. Доказать: 1) гй~р+гйф — т < г8(фр) < шш(гйр, гйф) (неравенства Сильвестра); 2) с(1шКег(фу) ) <ЬпКег у+ с(1шКегф; 3) если фу = В, то гй у+ гйф < ш (напомним, что через В обозначено нулевое отображение). 23.96. Пусть у: Е -+ Š— линейное преобразование. Доказать, что для любого 1с, удовлетворяющего условию гй р < 1с < < и = с(1шЕ, существует линейное преобразование ф такое, что 4~р = 9 и г8 у+ гйф = 1.
23.97. Доказать, что для любых двух перестановочных линейных преобразований у и ф имеет место включение Кег~р+ + Кегф С Кег(~рф). 23.98. Пусть у — линейное преобразование и-мерного линейного пространства и ~р~ = с. Доказать,что: 1) г8(у+с)+г8(~р — с) =и; 2) с11шКег(<р+ с) + д1шКег(у — с) = и. 23.99. Пустыр, ф, Х вЂ” такие линейные отображения, что произведение у4,С существует. Доказать, что гй(~РЯ+гй(ф~С) < гйф+ гй(~Рф,С) 23.100. Пусть Р, Я вЂ” вещественные линейные пространства и ЦР, Я) — множество всех линейных отображений у; Р-~Я, 1) Доказать, что й(Р, Я) — линейное пространство относительно операций сложения линейных отображений и умножения отображения на число. 2) Пусть ЖшР = и, с(1ш Я = ги.
Построить базис пространства 1 (Р, Я) и найти его размерность. 3) Показать, что в условиях и. 2) пространство Ь(Р, Я) изоморфно пространству Рс „„вещественных матриц размеров гих и. 212 Рл. У. Линейные отображения и преобразования 23.101. Выяснить, образует ли данное множество линейных отображений линейное подпространство в Б (Р, Я) (см. задачу 23.100): 1) множество всех отображений ранга 1е > 1; 2) множество всех отображений ранга, не превосходящего 1е > 1; 3) множество всех отображений, ядра которых содержат некоторое фиксированное подпространство из Р; 4) множество всех инъективных отображений; 5) множество всех сюръективных отображений; 6) множество всех отображений, множества значений которых содержатся в фиксированном подпространстве из Я.
23.102. Пусть в линейном пространстве Е задан базис е. Доказать, что данное множество линейных преобразований пространства С является группой относительно операции умножения преобразований: 1) множество всех невырожденных преобразований; 2) множество всех преобразований с определителем, равным 1; 3) множество всех невырожденных преобразований, матрицы которых в базисе е верхние треугольные; 4) множество всех невырожденных преобразований, заданных в базисе е диагональными матрицами; 5) множество всех гомотетий Ле, где число Л отлично от 0; 6) множество всех преобразований, имеющих в базисе е матрицы перестановок.
23.103. В линейном пространстве А". дан базис е. Является ли группой относительно умножения данное множество линейных преобразований пространства Е; 1) множество всех линейных преобразований; 2) множество всех преобразований, матрицы которых диагональны в базисе е; 3) множество всех невырожденных преобразований, которые в базисе е задаются целочисленными матрицами, т. е. матрицами 5а; ~~, где а; — целые числа; 4) множество всех преобразований, матрицы которых в базисе е целочисленны и имеют определители, равные 1 или — 1; 5) множество всех преобразований с данным определителем Н; 6) множество всех невырожденных преобразований, имеющих в базисе е матрицы, каждая строка и каждый столбец которых содержат ровно по одному ненулевому элементу? З 2~.
Собственные векторы и собственные значения 213 23.104. В технике используется уголковый отражатель. Он представляет собой трехгранный угол, грани которого— взаимно перпендикулярные зеркала. Доказать, что луч света, выпущенный из точки внутри этого трехгранного угла, отразившись от всех его граней, сменит свое направление на противоположное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
