1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 24
Текст из файла (страница 24)
2) С вЂ” группа ненулевых комплексных чисел с операпдей умножения, Н вЂ” подгруппа положительных вещественных чисел. 3) С вЂ” группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения, Н -- подгруппа чисел, по модулю равных 1. 4) С вЂ” группа всех вещественных чисел с операцией сложения, Н вЂ” подгруппа целых чисел. 5) С = К вЂ” группа целых чисел с операцией сложения, Н = иК вЂ” подгруппа чисел, кратных данному натуральному числу п. 126 Гл. б.
Преобриоеанил плоскости. Группы 6) С вЂ” группа всех ортогональных преобразований плоскости первого рода с операцией умножения преобразований, Н— подгруппа параллельных переносов. 13.23. 1) Доказать, что множество Я„всех подстановок степени и является группой относительно операции умножения преобразований (симметрической группой степени и). Найти порядок этой группы.
2) Доказать, что группы Я„некоммутативны при п > 3. 13.24. Вычислить 21 ' 2) 213 ' 231 2341 4321 4321 2341 13.25. Доказать, что все четныс перестановки (см. введение к 2 14) образуют нормальную подгруппу А„в Я„, и найти ее порядок. 13.26. Пусть Ъ" — нециклическая подгруппа четвертого порядка в Я4.
Доказать, что: 1) 1' С Ае; 2) у'нормальна в Я4', 3) Яе!$ = Яз. 13.27. Найти: 1) все подгруппы в Яз, 2) все нормальные подгруппы в Я4. Глава 6 МАТРИЦЫ 'Ь) 3 14. Определители В этом параграфе используются еле,аующие основные понятия: матрица, подматрица, строка матрицы, столбец матрицы, перестановка, четнал или нечетная перестановка, число наруиьений порядка в перестановке, определитель (детерминант) квадратной матрицы, минор матрицы, элементарные преобразования матрицы, транспонироваиие матрицы.
В задачах 14.33-14.44 используются н другие операции с матрицами н некоторые специальные виды матриц; соответствующие обозначения и определения даны во введении к 315. Квадратная матрица порядка и аы аьг .. аго а21 агг ° ° ° ага а„г а„г ... аьв обозначается также через !)аг (~ или (ау). Элементы агм...,аг„образуют 1-ю строку, элементы ац,...,а„— у'-й столбец матрицы А. Говорят, что элемент а; лежит на пересечении ее 1-й строки и р-го столбца.
Всюду в этой главе, кроме нескольких специально оговоренных случаев, предполагается, что элементы матриц — вещественные или комплексные числа. Определитель матрицы А обозначается через йезА, ~А~ или аы агг .. агп аьг аьг .. аев Приведем основные формулы для вычисления определителей: = аа — Ьс; аг Ьг сг Ьг сг аг сг аг Ьг аг Ьг сг = аг Ь вЂ” Ьг ~ + сг ~ аз зсз зсз ~азсз ~аз з =агЬгсз — агЬзсг+азЬгсг — агЬгсз+агЬзсг — азбгсг. (2) Рекуррентные формулы: Гл. б. Матрицы с(е1А = ~ ~( — 1)'+"авьМеь )в=1 (формула разложения определителл по (-й строке)„ (3) и е)е(А = ~~~ ( — 1)з+заь Мь /с=1 (4) (формула разложения определителя по у-му столбцу).
В формулах (3), (4) через Мвь обозначен дополнительный минор элемента аон т.е. определитель матрицы порядка и — 1, полученной нз А вычеркива- нием строки и столбца, в которых расположен элемент ани ам.,.а)и ( — 1)~(11"'ди)ап ...а В„(5) а~1' 'аи~ (*1 - и) — формула полного разложения (или полвого развертывания) определителя, выражающая определитель матрицы п-го порядка через ее элементы. В слагаемых формулы (5) значения индексов (1, ..., 4„образуют всевозможные перестановки чисел 1, 2, ..., и, а через )в'(вм ..., (и) обозначено число нарушений порядка в перестановке (гы...,Ви).
НаПОМНИМ, Чта ПЕРЕСтаНОВКа (11, ..., Ви) НаЗЫВаЕтСЯ ЧЕтной„если число )в'(11, ..., ви) четно, н нечетной в противном случае. Приведем формулировку теоремы Лапласа. Минором порядка з (з < п) матрицы А называется определитель матрицы, образующейся в пересечении каких-либо з строк и з столбцов матрицы А. Ксли эти строки имеют номера (вм...,(,), а столбцы — номера ()м ..,, 1,), 11 ...зв то соответствующий минор обозначается через Ь сн)11 . ав)дв в(1 —. (в 11 — дв аев41 " аввдв Через М "'. обозначаем минор, дополнительный к минору Ь в(..лв «1- в 11- Зв 11 "дв т. е. определитель матрицы порядка и — з, полученной из А вычеркиванием выделенных строк н столбцов. Для любого натурального числа з (з < и) и любого фиксированного набора строк с номерами 11,...,1, такИх, Чта в1 < 11 « ... в'„СпРаведлива формула с(с4А = С ( — Ц' +'1+"'+ '+" 1 1"' ' М 1'" ' (6) 11 "дв 11.
дв' ()1, -дв) где сумма берется по всевозможным наборам значений индексов у1,.",у„таким, что 1 < з1 < уэ «... у, < и. Формулу (6) можно назвать формулой разложения определителя по данным з строкам. Аналогична формула разложения определителя по данным з столбцам: В Ц. Определители 129 йеФА= ~ (-1)'~"ч'"+"+ыЬ"'""МР""'. и".и и- зз' ( м...лв) Здесь индексы пЗ,...,у, фиксированы, а сумма берется по всевозможным наборам значений индексов п,...,з, таким, что 1 < и < ... ...
< 1, < п. Перестановки (14.1 — 14.3) 14.1. 1) Доказать, что последовательно переставляя соседние числа, можно поменять местами любые два элемента нереста новки, сохранив при этом расположение остальных элементов. 2) Доказать, что четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два элемента. 14.2. 1) Доказать, что конечное число (к) раз переставляя соседние числа, можно расположить элементы перестановки в порядке возрастания. Однозначно ли определено й? 2) Пусть в — число нарушений порядка в перестановке. Доказать, что числа Й и в имеют одинаковую четность. 3) Указать последовательность из в перемен мест в парах соседних чисел, в результате которой все элементы перестановки будут расположены в порядке возрастания.
14.3. Последовательно переставляя соседние числа, расположить элементы следующих перестановок в порядке возрастания. Найти число нарушений порядка и определить четность перестановки: 1)(54321); 2)(645231); 3) ( 1 2 4 5 6 3 ); 4) ( 1 2 4 3 5 9 8 7 6 ); 5) ( 9 8 7 6 5 4 3 2 1 )' 6) ( 4 3 2 1 5 9 8 7 6 )' 7) ( и, и — 1, ..., 1 ); 8) ( 1, 3, 5, ..., 2п — 1, 2, 4, 6, ..., 2п ); 9) ( 2, 4, 6, ..., 2п, 1, 3, 5, ..., 2п + 1 ). Вычисление определителей (14.4 — 14.32) 14.4. Вычислить определитель второго порядка: 1) )Ав~; 2) (Ав(; 3) (А?~; 4) !Ав~); 5) !А?т!' 6) !Ав!.
14.5. Вычислить!А?в~ при в = е '/~. 14.6. Пусть х = т сов х, 9 = гешу. Вычислить якобиан ! дх/дг дх/ду ду/дг ду/д~р 5 — п15 Гл. 6. Матарицм 14.7. Вычислить определитель третьего порядка: 1) )Агоо~; 2) ~Аго1); 3) )Агог); 4) )Агоз(; 5) (Аго4!' 6) )Агоз|; 7) (Агоо~; 8) ~А21о~; 9) !Азвз!; 10) ~А3541; 11) ~Азов~' 12) !Азов! 14.8. Вычислить ~Азоз~ при 1о = ег"'?3. 14.9. Пусть х = гсов~рсов1/1, у = гв1п совф, 2 = гв1п115.
д*/д. д /д~ д /д~ Вычислить якобиан ду/дт ду/д22 ду/дф дз/дт дз/двг дг/д1/1 14.10. Решить относительно неизвестного Л уравнение: 1) (А211 — ЛЕ!=0; 2) ~А212 — ЛЕ~=О; 3) /А213 — ЛЕ1 = О. 14.11. Сколько слагаемых входит: 1) в формулу полного разложения определителя четвертого порядка; 2) в формулу полного разложения определителя пятого порядка? 14.12.
1) Имеются ли в формуле полного разложения определзггеля матри1и4 ~ ~а11 ~! пятого порядка слагаемые 11151112а341121п43 а 55 а 12 а 34 а 2 1 о43 . 2) С какими знаками входят в формулу полного разложения определителя матрицы пятого порядка слагаемые а12а21аз4а45авз а15агзаз4о41азг? 14.13. Пусть в матрице А порядка п точно п элементов равны 1, а остальные — нули. Чему может быть равен определитель матрицы А? 14.14.
Доказать, что определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. 14.15. Доказать, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. 14.16. 1) Как изменится определитель, если в матрице переставить две строки? 2) Как изменится определитель, если к одной строке матрицы прибавить другую? 3) Как изменится определитель, если одну строку в матрице умножить на число Л? 4) Как будет изменяться определитель, если со столбцами матрицы совершать такие же элементарные преобразования? 14.17.
Изменится ли определитель, если матрицу транспо- нировать? з Ц. Определитаели 131 1 — аиЬи 1 и 1 — а1Ь„ иЬи 1 — а1Ь1 1И' ., 8) аи Ьи и 1 1 — аиЬ1 1+х1 ... 1 1+хг . ° ° 1 1+хи ... 1 1 — аиби и и 1 — аиьи +х" +хг 9) 2а 1 0 ...0 0 12о1..00 0 1 241 ... 0 0 10) (р) 0 0 0 ...12а 14.18. Как изменится определитель, если все элементы матрицы заменить комплексно сопряженными числами? 14.19. Сформулировать несколько достаточных условий, при которых определитель матрицы А равен О. Сформулиро- вать необходимое и достаточное условие. 14.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
