1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 19
Текст из файла (страница 19)
16) 4х +4у2 — 2г~+4ху — 8хг+8уг+12х — 12у+24г + +й=О; а)й= — 42; 6)й= — 36; в)й= — 30. 17) 8у~ + 4ху + 2хг + 4уг + 4х + 8у + й = 0; а) й=О; 6) й= — 9. 18) 8у~ + 4ху + 2хг + 4уг + 8х + бу + 4г + 6 = 0; 19) 4х~+у~+9г~+4ху — 12хг — бух+ 11х+Зу — в+1= 0; 20) 4х~ + у~ + 9г~+ 4ху — 12хг — бух+ бх — 2у — бе+ 11 = 0; 21) 4х~+у2+9г2+4ху — 12хг — 6уг+4х+2у — Ох+1= О; а) й=1; 6) 1с= — 13. 22) — х2+10у~ — г~ — 8ху+ 6хг+ Зул+ 24х — 8у — 16г + + й=О; а) й= — 26; 6) й=-14; в) й= — 2. 23) 2х2 — у~+ 2г~+4ху — 2хг+4уг+10х — 2у — 2г+ й = 0; а) й = 2; б) й = 5; в) й = 8.
24) х~ + у~ — 2г~ + 10ху + 4хг — 4уг + 13х + 11у + 2г + + 6=0. 25) х~+ у2 — 2г~+10ху+4хл — 4уг+ 24х — 12г+й = 0; а) й = — 12; б) й= -6. Глава 5 'ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ. ГРзгППЫ й 12. Линейные и аффинные преобразовании плоскости В этом параграфе используются следующие основные понятия: отображение одного множества в другое, преобразование множества, образ элемента и множества, полный прообраз злементпа и множества, вложение (инвективкое отображение), взаимно однозначное (биективное) отображение, наложение (сюреектпивкое отаображение), произведение отображений, обратпное отпображекие, линейное преобразование плоскости, аф4инное преобразование, образ вектпора при линейном преобразовании, линейное преобразование векторной плоскости, симметприя плоскости отпноситпельно прямой, силсметрия плоскости относительно точки, гомотетия, параллельный перенос плоскости, сжатие к прямой с коэффициентом й, ортогональное преобразование, главные направления аф4икного преоброзоваттия, собственные векторы линейного преобразования вектпорной плоскости.
Отобразтсекие т': Х вЂ” «У множества Х в множество У вЂ” зто правило, которое каждому элементу х 6 Х сопоставляет единственный элемент у = ~(х) й У, называемый образом элемектпа х при отображении у. Множество Х называется областью определения, а множество У вЂ” областью значений отображения т'. Совокупность ~(Х) образов всех элементов х Е Х называется множеством значений отпображения у' (образом множества Х при отображении у). Отображение т': Х вЂ” «Х называется преобразованием множестпва Х. Ограничением отображения т": Х -+ У на подмножестве М С Х называется отображение т",и: М -+ У, совпадающее с у на М. Отображение у: Х -+ У называется вложением (или инзективким отображением), если из хт ф хг следует Дхт) ф ~(хз). Отображение т называется наложением (или сюрьективним отпображением), если з'(Х) = У.
Отображение г' называется взаимно одноз«очным отпображением Х на У (или биективным отображением), если оно является вложением и наложением. Прямым (или декартовым) произведением Х х У множеств Х, У называется множество упорядоченных пар ((х, у) (х 6 Х, у й У). Число элементов конечного множества (порядок) обозначается через ~Х~. Произведением отображений т: Х вЂ” «У и д: У-«л называется отображение тт = д(: Х -+ л, определяемое равенством (дз')(х) = 104 Гл. 5.
Преобразования плоскости. Группы = д(1(х)) (х Е Х). Произведение дг определено, если множество значений отображения г входит в область определения отображения д. Тождестаениое преобразование г (или гх) множества Х определяется равенством г(х) = х для любого элемента х Е Х. Отображение д: 7 -э Х называется обратным к отображению 1: Х -+ У и обозначается 1 ', если для любых х Е Х, у Е Зг спралед- ливы равенства Г" '(~(х)) =х, Г(1 '(у)) =у. Обратное отображение существует, если г является взаимно однозначным; г г(у) = х, где х — единственный элемент из Х, такой, что Дх) = у. Прообразом элемента (в геометрии — точки) у Е У при отображении 1: Х вЂ” г У называется любой элемент х Е Х такой, что У(х) = у.
Полным прообразом г ~(В) множества Я С 1г называется совокупность всех прообразов всех элементов из В. Точка х б Х называется неподвижной точкой преобразования 1: Х вЂ” г Х, если Дх) = х. Множество М С Х называется неподвиэснжм относительно преобразования г, если все его точки неподвижны. Множество М называется инеариантным относительно преобразования 1, если для любой точки х Е М также г'(х) Е М. Любое неподвижное множество инвариантно, обратное неверно. Пусть | — преобразование плоскости, на которой задана декартова система координат. Координаты х', у* образа произвольной точки плоскости выражаются через координаты х, у этой точки с помощью пары вещественных функций от двух переменных: х' = у(х,у), у' = гд(х,у).
(1) Формулы (1) называются координатной записью преобразования плоскости. Линейное преобразование плоскости задается в любой декартовой системе координат формулами х' = а1х+ Ь1у+ сы (2) у' = агх+ Ьгу+ сг. Взаимно однозначное линейное преобразование плоскости называется аффинным преобразованием. Линейное преобразование, записанное формулами (2), аффинно тогда и только тогда, когда аг Ь| аг Ьг Образом аектпора а = АВ при линейном преобразовании 1" называется вектор а' = ~(А)ДВ). В силу этого, линейное преобразование плоскости определяет преобразование множества векторов плоскости.
Оно обозначается той же буквой 1 и задается формулами о' = а1о+ Ь!)1, В' = ага+ Ьг)3, где (о,Д) и (сг',В') — координаты вектора и его образа. Преобразование множества векторов, задаваемое такими формулами в некотором базисе, называется линейным преобразованием. В 1в. Линейиме и аффиннме преобразования плоскости 105 Пусть О, ем ег — декартова система координат, в которой преобразование у задается формулами (2), у(ег) = е,* (1 = 1,2), у (О) = О*. Тогда ег(амаг), ег(ЬмЬг), О'(смог). Аффинное преобразование у называется преобразованием первого рода, если базисы ем ег и ('(ег), Дег) ориентированы одинаково; второго рода — если противоположно.
Длн аффинного преобразования первого рода сз > О, для преобразования второго рода сз < О. Если Ф вЂ” фигура на плоскости, имеющая площадь Я, а Я'— площвдь ее образа при аффинном преобразовании у, то Я'/Я = ~Л(. Ортогональным называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Ортогональное преобразование аффинно и задается в прямоугольной системе координат формулами х' = х сов ~р — увшу+ хо у* = хошь+ усов~р+ уо для преобразования первого рода и х' = хсовог+ ув1пу+ хо, у' = хетаг — усову+ ус (4) а,-Л Ь, аг Ьг — Л ьег Преобразованием подобил с коэффициентом й > О называется такое преобразование у плоскости, при котором (~(АЩВ)) = Ь)АВ) для любых точек А, В. В задачах этого параграфа угол поворота плоскости при заданном базисе на плоскости отсчитывается в направлении кратчайшего поворота от первого базисного вектора ко второму.
для преобразования второго рода. Сжатием с коэффициентом Л > О к прямой г называется аффинное преобразование, задаваемое формулами х* = х, у' = Лу, если прямая 1 выбрана в качестве оси абсцисс прямоугольной системы координат. (При Л > 1 это преобразование можно называть растяжением.) Всякое аффинное преобразование у является произведением у = Ьгйгд, где д — ортогональное преобразование, а Ьг и Ьг — сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым. Направления этих прямых называются главными или сингулярными направлениями преобразования г. Ненулевой вектор а называется собственным вектором линейного преобразовании у векторной плоскости, если существует число Л такое, что Да) = Ла. Число Л, удовлетворяющее этому усповию, называется собственным значением преобразования г'.
Собственные значения находят как вещественные корни уравнения 1Об Гл. 5. Преобразования плосиоппи. Группы Общие свойства отображений (12.1 — 12.24) 12.1. Пусть ~: Х вЂ” 1 7 — отображение. Доказать, что: 1) если А1 С А2 С Х, то ~(А1) С 1(А2); 2) У(А,им,) =У(А,)1.1У(А,); З~ если В1,В2 С ~(Х) С;11, то ~ '(В1 ПВ2) = (В1) Й ~ (В2); 4) 1"(А1 0А2) С,1" (А1) П ~(А2). Может ли образ пересечения не совпадать с пересечением образов? 12.2. Сколькими способами можно установить взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, содержащими по и элементово 12.3.
1) Сколько существует преобразований множества, состоящего из и элементов? Сколько среди них взаимно однозначных? 2) Сколько возможностей имеется для множеств значений преобразований множества из и элементов? 3) Сколько существует отображений множества из тп элементов в множество из п элементов? 12.4. Пусть ~: Х-+У, ~Х(=т, Щ=п. Может ли отображение ~ быть: 1) Наложением при и > т? 2) Вложением при и ( т? 12.5. Пусть 1: Х-+ 11, где Х, У вЂ” конечные множества, состоящие из одинакового числа элементов. Доказать равносильность следующих утверждений: 1) 1 — вложение; 2) 1 — наложение; 3) г взаимно однозначно. 12.6. Привести примеры таких отображений 1: Х -+ 11 бесконечных множеств Х, р, что: 1) 1 является наложением, но не вложением; 2) У является вложением, но не взаимно однозначно. 12.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
