1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 15
Текст из файла (страница 15)
9.12. Доказать, что кривая, заданная в общей декартовой системе координат уравнением Ах~ + 2Вху+ Су~ + 2Вх+ +2Еу+ Е = О, является гиперболой тогда и только тогда, когда 5 < 0 и Ь Ф О, эллипсом тогда и только тогда, когда 5 > 0 и ЯЬ ( О, параболой тогда и только тогда, когда 5 = 0 и Ь ф О. 9.13. Определить тип кривой второго порядка, заданной уравнением: 1) (Зх — 4у) — 5(х+2у — 1)~ = 1; 2) (12х — 17у — 6)~+(17у+ 5х+1)~ = 1; 3) (х — у — З)(х+ у+ 3) = 4; 4) (4х+Зу — 1) +(4х+Зу+2)' = 5; 5) 17х~ — 2ху+ у~ — Зх — у — 3 = 0; 6) 4хз+28ху+49~2 — Зх — 15у+2 = 0; Й 7) 4х~ — 12ху+8у — 15х+25у+14=0; 8) 2х~ + 2ху+ бу~ — 2у+ 4 = 0; 9) 2х2 — 5ху — Зу~+9х+у+4 = 0; 10) ха+ 10ху+ 25у2+ 2х+ 10у — 3 = 0; 11) 5х2 — 16ху+ 13у'+ бх — 10у+ 2 = 0; 12) х~ — 4ху+4у~+4х — 8у+ 5 = 0; 13) х~ — 8ху+1бу~+бх — 24у+9 = О.
З 9. Общая гпеария кривмх втяорого порядка 79 9.14. Составить уравнение и определить тип кривой второро порядка, проходящей через 5 точек, заданных своими координатами: 1) (-1, -1), (1, 0), (О, 1), (3, 2), (2, 3); '' 2) (1, 1), (1, 0), (О, 1), (3, 2), (2, 3); 3) (-1, 0), (1, 0), (О, 1), (3, 2), (2, 3); 4) (-3, 0), (1, 0), (О, 1), (3, 2), (2, 3); ' 5) (-1, 1), (О, 1), (2, 3), (-2, -1), (3, 4); '' 6) (1, 0), (О, 1), (1/4, 1/4), (4/9, 1/9), (1/9, 4/9). Я.15. Исследовать зависимость типа кривой второго порядка от параметра: 1) 4х~ + 2Лху+ у~ = 1; 2) Л~х~ + у~) — 10ху+ х+ у + 4 = 0; 3) х — 2ху+у~(Л вЂ” 1)+2Л(х — у+1) =0; 4) Лх~ — 2ху+ 29~ — 2х+ 2у — 1 = О. 9.16. Какие типы кривых второго порядка могут быть заданы уравнением: 1) (А1х+В1у+С1) =Азх+Взу+Сз; 2) (А1х+В1у+С1) +(А2х+Взу+Сф — 1 3) (А1х+В1у+С~)з — (А2х+Взу+С )з 4) (А1х+В1у+С1)(А2х+Взу+С ) =1; 5) (А1х+В1у+С1)(Азх+Взу+Сз) =07 9.17.
Составить уравнения асимптот гиперболы (Предполагается, что А1Вз — АзВ1 ~ 0). 1) (А1х+В19+С1) — (Азх+Воу+С2) =1; 2) (А1х+ В19+ С1)(Азх+ Взу+ Сз) = 1. 9.18. Не используя уравнений (6) из введения к настоящей главе, доказать, что начало координат является центром симметрии кривой второго порядка тогда и только тогда, когда уравнение кривой не содержит членов с первыми степенями переменных х и у. Опираясь на это утверждение, вывести уравнения (б) для координат центра кривой второго порядка.
9.1Я. Проверить, что данная кривая второго порядка является центральной. Найти координаты центра и избавиться в уравнении от членов первой степени при помощи переноса начала координат в центр: 1) х~ — 8ху+ 179~ + 8х — 38у+ 24 = 0; 2) бх~ + ху — 4х — у — 1 = 0; 3) Зх~ — 24ху+16уг+ Зх — 7у — 2 = О. Гж Ю. Кривые етпорого порядка 9.20. Доказать, что кривая Ах~ + 2Вхр+ Суе + 2Рх + + 2Еу+Г = О имеет единственный центр симметрии тогда и только тогда, когда б ф О.
9.21. Доказать, что множество центров симметрии кривой второго порядка либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией. 9.22. 1) Доказать, что множество центров симметрии алгебраической кривой либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией. 2) Доказать, что множество центров симметрии произвольного множества точек на плоскости либо пусто, либо состоит из одной точки, либо бесконечно. 3) Привести пример непрерывной кривой, множество центров симметрии которой бесконечно, но не является прямой линией. Глава 4 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА й 10. Уравнения множеств в пространстве и элементарная теория поверхностей второго порядка эллипсоид х у — + — + — =1 аз бг сг однополосгный гиперболоид хг уг — + — — — =1 аг ьг сг двуполостный гиперболоид 2 2 2 — + — — — = — 1 аг 62 .2 (рис.
4); (рис. 5); (рис. 6); В этом параграфе использованы следующие основные понятия: уравнение множества, однородный многочлен, ал ебраическая поверхность, порядок алгебраической поверхности, параметрические уравнения поверхноспьи, поверхность вращения, конус, прл ной круговой конус, цилиндр, пряной круговой цилиндр, однополостный и двуполоспнгый гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, пересечение поверхностей, сечение поверхности плоскостью, прямолинейная образующая поверхности, проекция некоторого множества на плоскость, образующие и направляющие цилиндра и конуса, веригины эллипсоида, гиперболоида, параболоида и конуса, ось и полуось эллипсоида и гиперболоида, каноническое уравнение и тип поверхности второго порядка.
Всюду предполагается, что система координат декартова прямоугольнан, а проекции, если не оговорено противное, ортогональные. Для каждой поверхности второго порядка существует декартова прямоугольная система координат, в которой эта поверхность имеет каноническое уравнение. Всего имеется 17 типов поверхностей второго порядка. Каждый тип поверхностей характеризуется своей формой канонического уравнения. Все типы поверхностей второго порядка и соответствующие уравнения перечислены во введении к Э 11.
Здесь приведем канонические уравнения и изображения девяти основных типов: 82 Гл. В. Поверхноспги впгорого порядка конус "(*.:)= (' 0 "(И)= (' Ь)' и (а с) ( Ь) (а с) ( Ь) где а, ф — произвольные числа, такие, что о~ +,32 ф О. Два семей- ства прямолинейных образующих гиперболического параболоида (2) описываются системами уравнений а( — + — ) =Дг, ~3( — — -) =2о а Ь "(-*. ~)= и ~3( — — -) = 2ог, ь а Ь где а, ~3 — произвольные параметры, такие, что пг+ ~3~ ф О.
Алгебраическое уравнение вида Ф(х,у) = О (не содержащее переменной 2) определяет цилиндрическую поверхность. Прямолинейные образующие этого цилиндра параллельны оси Ог: они имеют уравнения х= хо у=уо где Ф(хо уо) =О хг уг — + — — — = О (рис. 7); аз Ьг сг эллиптический параболоид х2 у2 — + — = 22 (рис. 8); аг Ьг лп' гиперболический параболоид хг уг — — — = 22 (рис. 9); аг Ь2 (2) эллиптический цилиндр хг уг — + — = 1 (рис. 10); 2 Ь2 гиперболический цилиндр 2 2 — — — = 1 (рис.
11); 22 82 параболический цилиндр хг — = 22 (рис. 12). а2 Прн а = Ь конус и эллиптический цилиндр называют прл,мым круговым конусом и прямым круговым цилиндром. Приведем уравнения семейств прямолинейных образующих двух важных типов поверхностей второго порядка.
Два семейства прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (1) могут быть описаны при помощи следующих систем уравнений: р" 10. Ураекекщ~.лрерс~сеств и элемектаркоя тиеория фф Рис. 5 Рис. 4 Рис. 7 Рис. 6 Рис. 9 Рис. 8 Гл. ф. Дове1явиости вим рдив чей рядка Рис. 10 Рис.
11 Рис. 12 Уравнение вида Ф(х + у~,з) = О ) определяет поверхность вр.- щения (Б). Сечение Е этой поверхности плоскостью Охх, имеющеь на плоскости Охх уравнение Ф(х~,х) = О, симметрично относительно оси Ох. Каждая «половинка» кривой Е, вращаясь вокруг оси Ох, образует поверхность 8. Пусть две поверхности г и Д определяются алгебраическими уравнениями г'(х, у, х) = О и 0(х, у, х) = О соответственно. Тогда множество гс = У П Д определяется системой уравнений Г(х,у,х) = О, С(х,у»х) = О. Уравнение, определяющее множество М, следует из уравнения, определяющего множество ЛГ, если ЛГ С М.
Уравнение, определяющее поверхность М, является следствием системы уравнений, определяющих поверхности У и Д, тогда и только тогда, когда У Пм С М. ) Оно может быть получено из алгебраического уравнения Ф(и,е) = О заменой и = я + у, о = а При этом, вообще говоря, можно ие исключать э э случая, когда уравнение не имеет вещественных решений. В этом случае говорят о «мнимой» поверхности. г»0.
уравнения множеств и элементарная теория 85 Изображение поверхности второго порядка. Типы поверхностей второго порядка (10.1 — 10.17) 10.1. 1) Что представляет собой алгебраическая поверхность первого порядка? 2) Привести пример алгебраической поверхности третьего порядка и изобразить ее в декартовой прямоугольной системе координат. 10.2.
Может ли алгебраическая поверхность второго порядка представлять собой прямую? Плоскость? Пустое множество? Привести примеры. 10.3. Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением, содержащим произвольный параметр Л. Определить тип поверхности при всевозможных Л: 1) хг+уг+»г = Л; 2) Лхг+уг+»г = 1; 3) Лхг+рг+»г = Л; 4) хг+уг — »г = Л; 5) хг — уг — »г =Л; б) хг+Л(рг+»г) = 1; 7) хг+ Л(уг+»г) = Л; 8~ хг+ рг = Л . 9) Лх +уг=»; 10) Л(х +уг)=»; 11) хг+ Луг = Л»; 12) хг+Лрг = Л»+1; 13) хг+уг Л. 14) хг — уг=Л.
10.4. 1) Указать такие типы поверхностей второго порядка, которые не содержат ни одной поверхности вращения. 2) Перечислить типы поверхностей второго порцлка, которым принадлежат какие-нибудь поверхности вращения. 10.5. Написать уравнение сферы: 1) с центром в точке С(1, 1, 1) и радиусом ~/3; 2) с центром в точке С(1, 2, 3) и радиусом 1. 10.6. Найти координаты центра С и радиус В сферы: 1) хг+уг+»г — 4х — 4у — 4» = 0; 2) 2хг+2рг+2»г+4х+8у+12»+3 = 0. 10.7. Найти координаты центра поверхности, ее полуоси и уравнения плоскостей симметрии, изобразить поверхность в исходной системе ксюрдинат: 1) хг+2рг+3»г+ 2х+4р+б» = 0; 2) Зхг + 2уг +»г + бх + 4у+ 2» — б = О.
10.8. Найти координаты центра поверхности, ее вершин, уравнения оси симметрии и плоскостей симметрии, изобразить поверхность в исходной системе координат: Гя. ф. Поверхности второго аорядка 1) х2 — 2у2 — Зх2+бх+4у+бг= О; 2) 2х2+Зуг — 4г~+4х — 8г+10 = О. 10.9. Определить тип поверхности: 1) 2х~ + у~ — Зг~ + 4х — 4у = 0; 2) 2х~+ у~ — Зг~ — 4х+ 4у+ 6 = 0; 3) 2х2+у2 — Зх~+бх= О; 4) 2х2+у2+2г+1=0; 5) 2хв — у~+2г+1=0; б) 2х2+ х~ + 2х+ х = О.
10.10. Определить тип поверхности, изобразить поверхность в исходной системе координат: 1) ху=О; 2) ху=1; 3) ху=-1; 4) 2ху+ г = О; 5) 2ху — г = О. 10.11. Найти ось вращения поверхности, изобразить поверхность х +г~+х = О. 10.12. Определить тип поверхности, найти ось вращения, координаты вершин, изобразить поверхность: 1) хг+хг+2у=1; 2) г2=2ху.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
