1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2) Составить уравнение данной плоскости в новой системе координат. 6.97. Три плоскости, заданные в прямоугольной систе- ме координат уравнениями я+2у — 2в+ 3 = О, 2я+у+ 2я = О, 2х — 29 — х +3 = 0 (проверить, что они попарно перпендику- лярны), являются соответственно плоскостями О'р'з', О'с'х', О'х'у' новой прямоугольной системы координат, а точка А( — 1,0, 0) имеет в новой системе положительные координаты. 1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты х', у', с' в новой системе. 2) Составить в новой системе координат канонические уравнения прямых, заданных в исходной системе уравнениями х — 1 д — 1 с — 3 — = — = — и х = у = з.
Вычислить в обеих системах 2 1 1 координат угол и расстояние между этими прямыми; убедиться в совпадении результатов. Глава 3 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе используются следующие основные понятия: алгебраическая кривая, кривая второго порядка, окружность, эллипс, гипербола, парабола, центр, вершина, ось, полуось, 4окуС директриса, эксцентриситет, хорда„асимитото, касательная, нормаль, каноническое уравнение кривой второго порядка, центральная кривая второго порядка. Система координат, если не оговорено противное, прямоугольная.
Алгебраической кривой на плоскости называется множество всех точек плоскости, координаты (х,у) которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению Ф(х,у) =О, где Ф(х, у) — многочлсн от переменных х, у. Степень многочлсна Ф(х, у) (максимзльная степень 6+ 1 одночленов амх~у~, входящих в Ф(х, у)) называется порядком кривой. Порядок кривой не изменяется при замене системы координат. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид Ахг+2Вху+Суг+2йх+2Еу+К=О (Аг+Вг+Сг фО).
(1) Выражение Ахг + 2Вху+ Суг называется квадратичной частью, 2Вх+28у — линейной частью, г — свободным членом уравнения (1). Для всякой кривой второго порядка существует прямоугольная система координат, называемая канонической, в которой уравнение кривой имеет канонический вцд (см.
таблицу 1 на с.59). Уравнение окружности радиуса В с центром в точке С(хо,уо) имеет вид (х — *о) +(у — уо) (2) Эллипс (рис. 1) имеет каноническое уравнение х у~ — + — =1 аг Ьг (3) где а ) Ь > О; болыпая полуось эллипса равна а, а малая равна Ь. Вершинами эллипса называются точки (ха,О), (О, хЬ).
Фокусами эллипса называются точки Ег(с, О) и гг( — с, О), где с = /а~ — Ьг. При а = 6 эллипс есть окружность. Площадь части плоскости, ограниченной эллипсом, равна каЬ. Гл. 8. Кривые второго порядка 57 Гипербола 1рис. 2) имеет каноническое уравнение хг уг — — — =1 аг Ьг (4) "де а > О, Ь > 0; действительная полуось равна а, мнимая полуось ганна Ь. Веошинами гиперболы называются точки 1ха, 0).
Фокусами Рис. 1 Рис. 2 -иперболы называются точки гг1с,О) и Ег( — с,О), где с = ъ/аг+Ьг. Ь хг гсимптотами гиперболы являются прямые у = х — х. Гипербола —— а аг уг хг уг — — = — 1 называется сопряженной к гиперболе — — — = 1, она Ьг аг Ьг змеет те же асимптоты, но ее ветви расположены в другой паре вер"икальных углов между асимптотами. Парабола 1рис. 3) имеет каноническое уравнение уг = 2рх, (5) де р > О. Число р называют параметром параболы. Вершиной пара.юлы является начало координат, фокусом — точка г'(р/2, 0). Эксцентриситет эллипса или гиперболы равен е = с/а; для эллин:а 0 < е ( 1, для гиперболы е > 1.
Эксцентриситет параболы равен 1. 58 Гл. 8. Кривые второго порядка Расстояние от точки М(х,у), принадлежащей кривой второг< порядка, до фокуса кривой называется фокзльным оалиосом токи М. Для эллипса (3) и гиперболы (4) (МГ1! = ~а — ех), ~МР~~ = ~а+ох~. Фокзльный радиус точки М(х,у), принадлежащей параболе (5), равен х+ р/2. Прямые х = ха/е называются директрисами эллипса (3) и гиперболы (4), (см. рис. 1 и 2). Директрисой параболы (5) называется прямая х = — р/2, (см. рис. 3). Отношение расстояния от любой точки эллипса, гиперболы или параболы до фокуса к ее расстоянию до соответствующей директрисы равно е.
Хорды, проходящие Рис. 3 через фокус кривой второго порядка, называются ее фокальнымг хордами. Пусть точка М(хо,уо) лежит на кривой второго порядка. Касэтельная к кривой в этой точке определяется уравнением ххо ууо х у — + — = 1 для эллипса — + — = 1; а' Ьэ ат Ьэ ххо Ууо х у г г — — — = 1 для гиперболы — — — = 1; аз Ьэ аз Ьэ ууо = р(х+ хо) для параболы у = 2рх и уРавнением Аххо + В(хуо+ хоу) + Су„, + В(х+,) для кривой, заданной общим уравнением (1). Пусть кривая второго порядка задана уравнением Ф(х,у) = О. Точка 0(хо,уо) называется ее центром, если (Ф(хо+ е<<уо+В) = = Ф(хо — а,уо —,9) для любых чисел о и,9.
Точка 0(хо,уо) — центр кривой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют системе уравнений Ахо + Вуо + Р = О, Вхо+Суо+В=О. (б) Если линия второго порядка содержит хотя бы одну точку, то каждый ее центр — центр симметрии, и кэждый центр симметрии есть центр; однако центр определен и для линий, являющихся пустым множеством.
Кривая называется центральной, если она имеет единственный центр. Центральными являются кривые первых пяти типов в табл. 1. Для них центр — начало канонической системы координат. Кривая является центральной в том и только том случае, когда Б= "С ~О. Гл. 3. Кривые второго порядка Таблица 1 его имеется девять типов канонических уравнений кривых .араго порядка. В таблице 1 перечислены эти уравнения вместе с ,азваниями соответствующих типов кривых. Решение задачи приведения уравнения кривой второго порядка : каноническому виду включает отыскание канонического уравнения тривой и канонической системы координат.
Приведение к канониче:кому виду позволяет вычислить параметры кривой и определить ее засположение относительно исходной системы координат. Приведение общею уравнения (1) кривой к каноническому виду осуществляется в несколько шагов. Опишем их. 1. Если исходная система координат не прямоугольная, перейдем : какой-нибудь прямоугольной системе координат. При этом общий эид уравнения (1) ие изменится. Далее считаем систему координат трямоугольной. 2. Если в уравнении (1) коэффициент В ~ О, то следует перей"и к такой системе координат, чтобы в преобразованном уравнении :оэффициент при произведении х'у' был равным нулю.
Для это-о систему координат надо повернуть вбкруг начала координат на тол ~р: х = х'сову — у'вшито, у = х'илло+ у сову. .начение х находится из уравнения 2Всов2у+ (С вЂ” А)з1п2р = 0 Гя. о. Кривые второго порядка или,при А ф С, 2В $82~Р =— А — С (9) Уравнение (8) можно свести к уравнению А — С 28'У + 28У вЂ” 1= О. В Из нескольких возможных значений у можно брать любое. При А = = С можяо положить у = я/4.
Затем следует вычислить э!и ~р, сову, подставить их в формулы (7) и выполнить в уравнении (1) замену координат. 3. Если в уравнении (1) уже нет члена с произведением переменных, следует, если возможно, добиться исчезновения линейных членов. Это достигается переносом начала координат. А именно: если в уравнении имеются квадрат какой-либо переменной и одноименный линейный член, то эта пара дополняется до полного квадрата и начало координат переносится вдоль оси координат так, чтобы в преобразованном уравнении линейного члена уже не было.
П р и м е р. (10) 2Р Рг '1 Рг Ахг+ 2Рх = А хг+ — х+ — ~ — — = А Аг) А 2 Рг кг = А х+ — — — =Ах А! А А' где х' = х+ Р/А. 4. Если уравнение (1) содержит лишь три члена: квадрат одной переменной, первую степень другой и свободный член, то с помощью переноса начала координат вдоль оси, соответствующей линейному члену, можно добиться исчезновения свободного члена. П р и м е р. Ахг+ 2Еу+ Г = Ахг+ 2Е у+ — 1 = О.
2Е/ Замена у+Е~2Е=у' дает Ах +2Еу'=О. После выполнения указанных в пп. 1-4 действий мы придем к уравнению, которое отличается от канонического разве что числовым множителем, порядком координат, переносом членов из одной части уравнения в другую или знаком коэффициента при линейном члене. Такое уравнение удобно называть «почти каноническим». Для приведения уравнения к окончательной канонической форме следует выполнить необходимые преобразования уравнения и замены системы координат. При этом можно обойтись без смены ориентации исходной системы координат. Изменение порядка координат достигается дополнительным поворотом на 90'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
