1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Прямая иа плоскопии 5.13. Точка М лежит на прямой Ах+ Ву+ С = 0; вектор ИМ! имеет координаты А,В. Доказать, что точка М~ лежит в положительной полуплоскости относительно прямой с уравнением Ах+ Ву+С = О. 5.14. Точка М(3,2) является центром параллелограмма, а вго стороны лежат на некоторых четырех прямых.
На каждой из этих прямых расположена одна из точек: Р(2,1), О(4,-1), Й( — 2,0), Я(1,5). Найти уравнения прямых. 5.15. Даны две вершины треугольника (3,— 1) и (1,4) и точка пересечения его медиан (0,2). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 5.16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1,2) так, что отрезок этой прямой, заключенный между прямыми Зх+ у+ 2 = 0 и 4х+ у — 1 = О, в точке А делится пополам.
5.17. Две медианы треугольника лежат на прямых х + у = = 3 и 2х + Зу = 1, а точка А(1, 1) является вершиной треугольника. Составить уравнения сторон треугольника. 5.18. Точки К(1,— 2), Ц3,4) и М(5,0) являются соответственно серединами сторон АР, АВ и ВС четырехугольника АВСР, диагонали которого пересекаются в точке 0(2, 2). Найти координаты вершин четырехугольника. 5.19. Составить уравнения прямых, проходящих через точку А( — 1,5) и равноудаленных от двух точек В(3,7) и С(1,-1). 5.20. (р).
Составить уравнения прямых, равноудаленных от трех точек А(3, — 1), В(9,1) и С( — 5,5). 5.21. Через вершину С параллелограмма АВСР проведена прямая, пересекающая продолжения сторон АВ и АР соответственно в точках К и Ь таких, что !АК~/(АВ~ = 5!АЦ/~АР~. Найти отношение площади параллелограмма к площади треугольника АКЬ. В задачах 5.22 — 5.62 система координат прямоугольная 5.22. Указать хотя бы один нормальный вектор прямой, которая: 1) имеет угловой коэффициент lс; 2) задана общим уравнением Ах+ Ву+ С = О.
<! 5.23. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А( — 3,4) и перпендикулярной прямой: Гл. Я. Прямал и плоскостна 1) х — 2у+5 =0; х — 1 у+2 2) — = —; 2 3 3) х = 2; 4) у= — 1; 5) х = 3+ 1, у = 4 — 7Ф. 5.24. Точка А(3, — 2) является вершиной квадрата, а точка М(1, 1) — точкой пересечения его диагоналей.
Составить уравнения сторон квадрата. 5.25. Длина стороны ромба с острым углом 60' равна 2. Диагонали ромба пересекаются в точке М(1,2), причем большая диагональ параллельна оси абсцисс. Составить уравнения сторон ромба, 5.26. На прямой 5х — у в 4 = 0 найти точку, равноудаленную от точек А(1, 0) и В( — 2,1). 5.27. Найти расстояние от точки А(1,— 2) до прямой, заданной своим уравнением: 1) 2х — Зу+5 = 0; 2) 4х — Зу — 15 = 0; 3) 4х=Зу; 4) 4х — Зу — 10 = 0; 5) х=7; 6) у =9. 5.28. Найти расстояние между параллельными прямыми Ах+Ву+Сг — — 0 и Ах+Ву+Се =О. 5.29.
Составить уравнения прямых, параллельных прямой — 2х+у+5 = 0 и отстоящих от точки А(1,— 2) на расстояние ~/200. 5.30. Точка А лежит на прямой 2х — Зу+ 4 = О. Расстояние от точки А до прямой Зу = 4х равно 2. Найти координаты точки А. 5.31. Точка А лежит на прямой х+ у = 8, причем А равноудалена от точки В(2,8) и от прямой х — Зу+2 = О.
Найти координаты точки А. 5.32. Найти координаты всех точек, равноудаленных от точки А( — 1, 1) и прямых у = — х и у = х+ 1. 5.33. Найти множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух пересекающихся прямых Агх+ Вгу+ Сг = 0 и Авх+ Вву+ Св = 0 есть постоянная величина й ) О. з 3. Прямая иа плоскости 5.34 (р). Даны точка А(1,2) и прямая Зх — у+ 9 = О. Найти координаты: 1) проекции точки А на прямую; 2) точки В, симметричной с А относительно прямой. 5.35. Составить уравнение прямой, симметричной прямой Зх — у + 5 = 0 относительно прямой х+ у = 1. 5.36. Даны уравнения сторон треугольника: х+ 2у+ 1 = О, 2х — у — 2 = О, 2х + у+ 2 = О. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону.
5.37. Точка Н( — 3,2) является точкой пересечения высот треугольника, две стороны которого лежат на прямых у = 2х и у = — х+ 3. Составить уравнение третьей стороны. 5.38. Даны координаты двух вершин треугольника А(1,3), П(2, 5) и точки пересечения его высот Н(1, 4).
Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 5.39. Точка А(1,2) является серединой одного из оснований прямоугольной трапеции, а точка В(3,— 1) — серединой средней линии. Боковая сторона, перпендикулярная основах+1 у — 2 пиям, лежит на прямой — = —. Составить уравнения 3 4 ~ ютальных сторон трапеции. 5.40. Точка А( — 1,4) — вершина ромба АВСР, диагонали которого пересекаются в точке М(2, 3).
Точка Р(3,1) лежит на стороне АВ. Составить уравнения сторон ромба. 5.41. Составить уравнения сторон прямоугольного треугольника, если С( — 3,4) — вершина прямого угла, М(1,2) — середина гипотенузы, а точка Н(3,3) лежит на гипотенузе. 5.42. В треугольнике АВС точки Мт(2,3), Мз(0,7) и Мз( — 2,5) — середины сторон ВС, СА и АВ. Составить уравнение прямой АВ. Найти угол между медианами АМ1 и ВМ2. 5.43. В параллелограмме АВСР вершины А и С имеют координаты (1,2) и (7,10) соответственно, Н(З,О) — основание пысоты, опущенной из В на сторону АР. Составить уравнение прямой А.Р.
Найти угол между прямыми АР и АВ. 5.44. В параллелограмме АВСР точки К(-1,2), Х(3,4) и М(5,6) — середины сторон соответственно АВ, ВС и СР. Составить уравнение прямой ВС. Найти угол между прямыми АЬ и АМ. 36 Гл. 2. Прямая и плоскость 5.45. В трапеции АВСР с основаниями АР и ВС сторона СР перпендикулярна основаниям, точки А н С имеют координаты соответственно (5,2) и (-2,3), а продолжения боковых сторон пересекаются в точке Р( — 3,6).
Составить уравнение прямой АР. Найти угол между прямыми АР и АВ. 5.46. Точки К(1,3) и Ц-1,1) являются серединами оснований равнобедренной трапеции, а точки Р(3,0) и Я( — 3,5) лежат на ее боковых сторонах. Составить уравнения сторон трапеции. 5.47. Найти угол между прямыми: 1) 2х+у — 1=0иу — х=2; 2) х= 4 и 2х — у — 1=0; х — 2 у — 1 х — 1 у+2 3) — = — и — = —; 3 -4 4 3 х — 1 у — 3 х — 4 у 4) — = — и— 1 2 — 2 — 4' 5) х = 31, у = — 1+ 21 и х = 1 — 21, у = — 5+ 1. 5.48.
Составить уравнения прямых, проходящих через точку А(3,1) и образующих с прямой Зх = у+ 2 углы в 45'. 5.49. Точка А(2,0) является вершиной правильного треугольника, а противолежащая ей сторона лежит на прямой х+ у — 1 = О. Составить уравнения двух других сторон. 5.50. Основание равнобедренного треугольника лежит на прямой х+2у= 2, а одна из боковых сторон — на прямой у+ 2х = 1.
Составить уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что ее расстояние от точки пересечения данных прямых равно 1/~/5. 5.51. Рассматривается тот угол межлу прямыми у = х+ 1 и у = 7х+ 1, внутри которого лежит точка А(1, 3). Найти координаты точки В, лежащей внутри этого угла н удаленной от данных прямых соответственно на расстояния 4~/2 и ~/2. 5.52. Составить уравнения сторон угла с вершиной в точке В.
В угол вписана окружность радиуса В с центром в точке А: 1) А( — 1,3), В( — 4,1), Я = 2; 2) А(1,-2), В( — 2,— 1), й = 3. 5.53 (р). Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми х — 7у = 1 и х+ у = — 7, внутри которого лежит точка А(1,1). 5.54, Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми х — 7у = 1 и х+ у = — 7. Г о. Прямая ка пяоскосгаи 37 5.55. Составить уравнения биссектрис внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями Зу = 4х, 4у = Зх, 5х+12у = 10.
5.56. Вершинами треугольника являются точки А(20,15), В( — 16,0), С( — 8,— 6) Найти длины радиусов и координаты центров вписанной и описанной окружностей. 5.57. Даны координаты двух вершин треугольника А(2, -1), В(1,5) и точки пересечения его биссектрис Ь(3,0). Составить уравнения сторон треугольника. 5.58.
Точки А(1,2) и В( — 3,0) — вершины равнобедренного треугольника АВС, углы А и В при основании равны агссоз(1/Я). Найти координаты вершины С, зная, что она лежит по ту же сторону от прямой АВ, что и точка М(2,3). 5.59. Сторона АВ треугольника АВС задана уравнением х — у+ 1 = О, сторона ВС вЂ” уравнением 2х — Зу + 5 = О, сторона АС вЂ” уравнением Зх — 4у+2 = О. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину С так, что точка пересечения этой прямой со стороной АВ удалена от стороны АС на расстояние 1/5.
5.60. Составить уравнения прямых, образующих угол агссоз(1/Л) с прямой х+2у — 1 = О, и удаленных от точки А(1,1) на расстояние 1. 5.61. Найти радиус и координаты центра окружности, проходящей через точку А( — 1,3) и касающейся прямых 7х+ у = 0 нх-у+8=0. 5.62. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит на прямой 2х+ у — 2 = О, а точка С(3, — 1) является вершиной прямого угла.
Площадь треугольника равна 9/4. Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты. Замена системы координат (5.63 — 5.67) 5.63. Даны две системы координат О, еы е2 и О', е', ез~. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты аю, азе, а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты аы, аа1 и аш, азз соответственно. В первой системе координат прямая задана уравнением Ах+ Ву+ С = О. Составить уравнение этой прямой во второй системе. Гл. 2. Прямая и плоскость 38 8 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
