1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 5
Текст из файла (страница 5)
3.24. Длины базисных векторов ем еэ, ез в пространстве равны соответственно 1, 2, э'2, а углы между ними равны: е'.(ем еэ) = 120', л'.(еы ез) = 45', л'.(еэ, ез) = 135 . Вычислить обьем параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты ( — 1,0,2), (1,1,3), (2,-1,1).
3.25. Даны нсколлинеарные векторы а, Ь и скаляр р. 1) Найти какой-нибудь вектор х, удовлетворяющий уравнению (х,а,Ь) = р. 2) Объяснить геометрический смысл всех решений уравнения (х,а, Ь) = р, а также его частного решения, ортогонального к векторам а, Ь. 3.26. Доказать тождества: 1) (а,Ъ,с)~+ [[[а,Ь),с1[~ = [[а, ЬЦ~ [с[~; г 3. Векторное и смешанное произведения векторов 23 2) [[а,Ь],[с,е1]] = с(а,Ь,Й) — с1(а,Ь,с); 3) с1(а, Ь,с) = а(Ь,с,с1) + Ь(с,а,с1) + с(а, Ь,с1); 4) ([а,Ь],[Ь,с],[с,а]) = (а,Ь,с)г; а Ь с (а, х) (Ь, х) (с, х) (а,у) (Ь,у) (с,у) ;Я' 5) (а,Ь,с)[х,у] = (а,х) (Ъ,х) (с,х) 6) (а,Ь,с)(х,у,з) = (а,у) (Ь,у) (с,у) (а,з) (Ь,з) (с,з) 3.27.
Д оказать, что проекция вектора Ь на прямую, лер- г нендикулярную вектору а, равна [а, [Ъ, а]]/[а] . 3.28. Доказать, что: 1) если векторы [а, Ь], [Ъ, с], [с,а] компланариы, то векторы а, Ь, с компланарны; 2) если векторы [а, Ь], [Ь, с], [с, а] компланарны, то они коллинеарны. 3.29 (р).
Две тройки векторов аг, аг, аз и Ьы Ьг, Ьз называются взаимными, если (а;, Ьд) = О при 1 ~,г, (а,, Ь;) = 1. 1) Доказать, что для существования тройки Ъ|, Ьг, Ьз, взаимной к аы аг, аз, необходимо и достаточно, чтобы векторы аг, аг, аз были нскомпланарны; 2) выразить в этом случае векторы Ьг, Ьг, Ьз через векторы аг, аг, аз. 3) Доказать, что если векторы аг, аг, аз образуют базис, то векторы взаимной тройки образуют базис той же ориентации (базис, взаимный к базису аг, аг, аз). 3.30. Для тройки векторов аг(3,0, 1), аг( — 1, 1, 2), аз(1, 2, 1) найти взаимную тройку (см. задачу 3.29). 3.31. Решить систему векторных уравнений в пространстве: (х,а) = р, (х, Ь) = о, (х,с) = в (векторы а', Ь, с некомпланарны).
Геометрическая интерпретация решения дается в задаче 2.33. 3.32. Точка М лежит на ребре ВВг куба АВСВА~В~С~ВЪ причем ]ВМ]: ]МВг[= 2: 1. Длина ребра куба равна а. Найти расстояние между прямыми СВ~ и МВ. 3.33. Доказать, что площадь треугольника, составленного из медиан треугольника АВС, равна 3/4 площади треугольника АВС. 3.34.
В треугольнике АВС через точку Н на стороне АС проведена прямая параллельно стороне ВС до пересечения со Гл. 1. Вектпорм и коордипагпм 24 стороной АВ в точке М. Площадь треугольника ВНМ в 4,5 раза меньше площади треугольника АВС. Найти отношение ~АМ): ~МВ). 3.35. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции, если длина высоты ее равна Й. 3.36.
Площадь трапеции АВСР равна Я, отношение длин оснований ~АР~: (ВС( = 3: 1. Отрезок МФ параллелен стороне СР и пересекает сторону АВ. При этом )АМ~: ~ВЖ( = 3: 2, (ММ(: ~СР~ = 1: 3; отрезок АМ параллелен отрезку В7х'. Найти площадь треугольника ВМС. 3.37. Точка М вЂ” середина бокового ребра АА~ параллелепипеда АВСРА~В~С~Рь Прямые ВР, МР~ и АеС попарно перпендикулярны. Известны длины отрезков: ~ВР~ = 2а, )А~С) = 4а, (ВС~ = За/2.
Найти длину высоты параллелепипеда. 3.38. Доказать, что любая плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся ребер произвольного тетраэдра, делит этот тетраэдр на две одинаковые по объему части, 3.39. В правильном тетраэдре АВСР проведены два сечения, параллельные ребрам АС и ВР. Найти длину ребра тетраэдра, если площади сечений равны В~ и Вэ, а расстояние между секущими плоскостями равно д. 3.40. Доказать, что все четыре грани произвольного тетраэдра равновелики тогда и только тогда, когда они конгруэнтны. 3 4. Замена базиса и системы координат 4.1. На плоскости даны два базиса ем еэ и е', еэ~. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты ( — 1,3) и (2, — 7) соответственно.
1) Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты о» о~~ во втором базисе. 2) Найти координаты вектора во втором базисе, если известны его координаты ом аз в первом базисе. 3) Найти координаты векторов ем ез во втором базисе. 4.2. В пространстве даны два базиса ем еэ, ез и е', е~, е~з. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты (1,1,1), ( — 1, — 2, — 3), (1,3,6) соответственно. 1) Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты а'„аз~, а~э во втором базисе. з 4. Замена базиса и системы координат 25 2) Найти координаты вектора во втором базисе, если известны его координаты ам се2, оз в первом базисе. 3) Найти координаты векторов ем ег, ез во втором базисе. 4.3.
На плоскости даны две системы координат О, ем еэ и О', е1, е~~. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты ( — 1,3), а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты (2,3) и (1,1) соответственно. 1) Найти координаты точки в первой системе, если известны ее координаты х', у' во второй системе координат. 2) Найти координаты точки во второй системе, если известны ее координаты х, у в первой системе координат.
3) Найти координаты точки О во второй системе и координаты векторов ем ег в базисе второй системы координат. 4.4. В пространстве даны две системы координат О, ем ез, ез и О', е1, е~, е~з. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (1, 1, 2), а базисные векторы второй системы координат имеют в базисе первой системы координаты (4,2,1), (5,3,2), (3,2,1) соответственно. 1) Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты х', у', х' во второй системе.
2) Найти координаты точки во второй системе, если известны ее координаты х, у, х в первой системе. 3) Найти координаты точки О во второй системе координат и координаты векторов ем е2, ез в базисе второй системы. 4.5. Координаты х, у каждой точки плоскости в системе координат О, ем ео выражаются чсрез координаты х', у' этой же точки в системе О', е1, е' формулами х = 2х' — у'+ 5, у = Зх'+ у'+ 2. 1) Выразить координаты х', у' через координаты х, у.
2) Найти координаты начала О и базисных векторов ем ео первой системы координат во второй системе. 3) Найти координаты начала О' и базисных векторов е', ез~ второй системы координат в первой системе. 4.6. Координаты х, у, х каждой точки пространства в системе координат О, ем ез, ез выражаются через координаты х', у', х' этой же точки в системе 0', е', е', ез формулами х= х'+у'+х' — 1, у = — х'+е'+3, х = — х' — у' — 2. 1) Выразить координаты х', у', з' через координаты х, у, е. 2) Найти координаты начала О и базисных векторов еы ео, ез первой системы координат во второй системе.
Гл. 1. Векглоры в координатпы 3) Найти координаты начала О' и базисных векторов е', ез~, е' второй системы в первой системе. 4.7. Найти координаты вектора в базисе е~(2,3), ез(3,4) на плоскости, если известны его координаты а', а' в базисе е~(1, — 1), е~(2, — 3). 4.8. Найти координаты вектора в базисе ег(1,3,2), ез(-1,1,0), ез(2,-1,1) в пространстве, если известны его координаты о~, а~~, а~ в базисе е((-1,0,2), ез~(1,1,1), е~(4,3,-1). 4.9.
Найти координаты точки в системе координат О(2, -1), е~(1,5), ез(-1,4) на плоскости, если известны ее координаты х', у' в системе координат О'(3,2), е'(1,— 1), е'(4,2). 4.10. Найти координаты точки в системе координат О(1, 3, 3), е~(3,3,1), ез(3,5,2), ез(1,2,1) в пространстве, если известны ее координаты х', у', х' в системе координат О'(-1,0,2), еЦ1,-2,1), е~~(4,2,1), ез(2,-1,3). 4.11 (р). В параллелограмме АВСР точка Е лежит на диагонали ВР, причем (ВЕ~: (ЕР) = 1: 2. Найти координаты точки плоскости в системс координат А, АВ, АР, если известны се координаты х', у' в системе координат Е, ЕС, ЕР.
4.12. В параллелограмме АВСР точка Е лежит на стороне ВС, а точка à — на стороне АВ, причем ~ВЕ~: ~ВС~ = = 1: 4, )ВГ~: ~АГ( = 2: 5. Найти координаты точки плоскости в системе координат С, СЕ, СР если известны ее координаты х', у' в системе координат Е, ЕГ, ЕР. 4.13.
В треугольнике АВС точка Р лежит на стороне ВС, а точка Е лежит на продолжении стороны АС за точку С, причем ~ВР~: (РС~ = 1: 2, (АС~: ~СЕ! = 3: 1. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АС если известны ее координаты х', у' в системе координат Р, РА, РЕ. 4.14. В треугольнике АВС точка Р лежит на стороне АС, а точка Š— на отрезке ВР, причем ~АР~: ~АС~ =1: 3, )ВЕ(: (ЕР! = 2: 3. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АР если известны ее координаты х', р' в системе координат С, С, СЕ.
4.15. Дан правильный шестиугольник АВСРЕГ. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АГ, если известны ее координаты х', у' в системе координат С, СВ, СЕ. з 4. Замена базиса и еиетеми координат 27 4.16. В трапеции АВСР диагонали пересекаются в точке Е, а длины оснований ВС и АР относятся как 2: 3. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АР, если известны ее координаты х', у' в системе координат Е, Щ ЕВ. 4.17. В трапеции АВСР длины оснований ВС и АР относятся как 3: 4, точка Е является серединой основания АР, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке Р. Найти координаты точки плоскости в системе координат Е, ЕВ, ЕС, если известны ее координаты х~, у' в системе координат 1, ЕБ, Л!. 4.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
