1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В основании призмы АВСРА1В1С1Р1 лежит ромб с острым углом А, равным 60'. Точка К лежит на продолжении ребра АВ за точку В, причем угол АРК прямой. Найти коо3~- ,цинаты точки пространства в системе координат А, АВ, АР, ААы если известны ее координаты х', у', е' в системе координат К, КА, КР, КС1. 4.19. В треугольной призме АВСА1В1С1 точка М вЂ” точка пересечения медиан грани АгВ1Сь Найти координаты точки пространства в системе координат А, АВ, АС, АВм если известны ее координаты х', у', е' в системе координат Ам А1В, А1С, А1М. 4.20.
В тстраэдре АВСР точка М вЂ” точка пересечения медиан грани ВСР. Найти координаты точки пространства в системе координат А, АВ, АС, АР, если известны ее координаты х', у', е' в системе координат М, МВ, МС, МА. 4.21. В правильной шестиугольной пирамиде ЯАВСРЕР с вершиной Я точка М является центром основания. Найти коо1~~1инаты точки пространства в системе координат А, АВ, АЕ, АЯ, если известны ее координаты х', у', е' в системе координат Я, ЯС, БР, ЯМ. 4.22.
Дан параллелепипед АВСРА1В1С1 Рь Найти кооопдинаты точки пространства в системе координат А, АС, АВм АА1 если известны ее координаты х', у', х' в системе координат Рм Р1.0, Р1См Р В. 4.23. Координаты х, у каждой точки плоскости в первой системе координат выражаются через координаты х', у' этой же точки во второй системе координат соотношениями х= = апх'+ а1гу'+ а1о, у = ашх'+ аггу'+ аге. Первая система координат является прямоугольной.
При каком необходимом и Гл. 1. Векторы и координаты достаточном условии вторая система также является прямоугольной? 4.24. Координаты х, у, г каждой точки пространства в первой системе координат выражаются через координаты х', у', г' этой же точки во второй системе координат соотношениями х = аых'+ а1гу'+ а1зг'+ ащ, у = аггх'+ аггу'+ агзг'+ аго, г = аз1 х'+ азгу'+ аззг'+ азо.
1) Пусть первая система координат является прямоугольной. При каком необходимом и достаточном условии вторая система также является прямоугольной? 2) При каком необходимом и достаточном условии ориентация базисов первой и второй систем одинакова? 4.25. На плоскости даны две прямоугольные системы координат О, ем ег и О', е', е~г. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты хо, уе, а векторы е| и е~г получаются из векторов е1 и ег соответственно поворотом на один и тот же угол го в направлении кратчайшего поворота от е1 к ег. 1) Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты х', у' во второй системе.
2) Найти координаты точки во второй системе координат, если известны ее координаты х, у в первой системе. 3) Найти координаты точки О во второй системе координат. 4.26. На плоскости даны две прямоугольные системы координат О, ем ег и О', е', е~г. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты 1,3, а векторы е~ и е~г получаются из векторов е1 и ег соответственно поворотом на один и тот же угол у в направлении кратчайшего поворота от е1 к ег. Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты х', у' во второй системе, считая угол у равным: 1) 60', 2) 135'; 3) 90', 4) 180'.
4.27. На плоскости даны две прямоугольные системы координат О, ем ег и О', е1, ег. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты хо, уо, а векторы е1 и — е~г получаются из векторов е1 и ег соответственно поворотом на один и тот же угол ~р в направлении кратчайшего поворота от е1 к ег. З ф. Замена базиса и систпемы координат 29 1) Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты х', у' во второй системе.
2) Найти координаты точки во второй системе координат, если известны ее координаты х, у в первой системе. 3) Найти ксюрдинаты точки 0 во второй системе координат. 4.28. В прямоугольном треугольнике АВС, длины катетов которого равны ~АВ! = 3 и (ВС) = 4, точка Р является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла. Векторы еб ез, е'„ез~ имеют длину 1, причем е1 сонаправлен с ВА, ез сонаправлен с ВС, е~ сонаправлен с АС, ез~ сонаправлен с .0В.
! 1айти координаты точки плоскости в системе координат В, ем еа, если известны ее координаты х', у' в системе координат .О, / е,, ез. 4.29. В пространстве даны две прямоугольные системы координат О, ем еъ ез и 0', е'„ез~, ез. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты — 1,3,5. Вектор е1 образует углы, равные бО', с векторами е1 и ег и острый угол с вектором ез.
Вектор е~ компланарен с векторами е1 и ез и образует с вектором ео острый угол. Тройки еы ег, ез и е1, е.', е~з одинаково ориентированы. Найти координаты точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты х', у', х' во второй системе. 4.30. В пространстве даны две прямоугольные системы координат О, еы ез, ез и 0', е~м е~2, е~з. Точки О и 0' различны, а концы векторов е; и е',, отложенньгх соответственно из точек О и 0', совпадают (е = 1, 2,3).
Найти координаты точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты х', у', х' во второй системе. Глава 2 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В этой главе уравнения прямой на плоскости, прямых и плоскостей в пространстве используются в векторной и координатной форме. Основные понятия; направляющий вектор прямой, направляющие векторы плоскостщ норм льный вектор прямой на плоскости, нормальный вектор плоскости, пучок прямых на плоскости, пучок и связка плоскостей, а также параллельность, перпендикулярности, углы, расстояния и проекции.
Всюду, кроме задач 6.33 и 6.34, под проекцией понимается ортогональная проекция. й 5. Прямая на плоскости (3) Прямая линия на плоскости может быть задана: 1) векторным уравнением в пароме|прической форме г=го+аХ (а~о), (1) где а — направляющий вектор прямой, го — радиус-вектор фиксированной точки на прямой; 2) нормальным векторным уравнением (г — го,и) =0 (ифо), (2) где и — нормальный вектор прямой; 3) общим уравнением в декартовой системе координат Ах+ Ву+ С = 0 (Аэ+ Вг ф О).
Уравнение (2) можно записать в виде (г,и) = сг'. Если уравнение (1) записать в общей декартовой системе координат, то получим параметрические уравнения прямой на плоскости х =хо+ой, у = 1ю+Вй При о ~ О, В ф- 0 исключением параметра 1 параметрические уравнения прямой приводятся к канонической форме х — хо у — уо а При и = 0 каноническое уравнение прямой принимает вид к=хо при~3=0 — вид у=уо. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, может быть записано в векторной форме г = г1 + (г2 г1)Ф у' Б.
Прямая на плосклспги 31 и а координатной форме х — х1 у — у1 хе — х1 уз — у1 Здесь г1 и гг — радиус-векторы данных точек, а хп у1 и хз, ут — их д~ картоны координаты. При х1 = хз или у1 = ут уравнение прямой Принимает соответственно вид х = хг или у = уп Для данной прямой линии ее направляющий и нормальный векгоры определены с точностью до умножения иа ненулевое число. !! аправляющим вектором примой, заданной общим уравнением (3), является, например, вектор с координатами — В, А. Если система координат прямоугольная, то нормальным вектором прямой (3) являетгн, например, вектор с координатами А,В. Если прямая задана общим уравнением (3), то для координат всех точек, лежащих по одну сторону от нее (яв положительной полуплоскости»), выполнено неравенство Ах+ Ву+ С ) О, а для координат всех точек, лежащих по другую сторону (ев отрицательной полуплоскости»), — неравенство Ах+ Ву+ С < О.
Расстояние от точки с радиус-вектором г1 до прямой, заданной векторным уравнением (2), равно ~(гг — го,п) ~/(п~. Расстояние от п>чки М(хпуг) до прямой, заданной уравнением (3) в прямоугольной системе координат, равно (Ах, + Ву, + С~г'4А'+Вз. Векторные уравнения прямых (5.1 — 5.5) 5.1. При каком необходимом и достаточном условии прямые г = г1+ агФ н г = гз+ азй 1) пересекаются в единственной точке; 2) параллельны, но не совпадают; 3) совпадают? 5.2. Найти угол между прямыми, заданными своими уравнениями: 1) г = г1 + а1 8 и г = гз + а21; 2) (г,пг) =В1 и (г,пг) =Вг. 5.3.
Две прямые заданы векторными уравнениями (г,п) = ' ..0 и г = го + аФ, причем (а, и) ф О. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 5.4. Даны точка Мо с радиус-вектором го и прямая (г, и) = Р. Найти радиус-векторы: 1) проекции точки Мо на прямую; 2) точки Мы симметричной с Мо относительно данной прямой. 32 Гл. Ь'. Прямая и плоскость 5,5. Найти расстояние от точки Ме(ге) до прямой, заданной уравнением: 1) (г, и) = Р; 2) г = г1 + аФ. В задачах 5.6 — 5.21 система координат общая декартова 5.6.
Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, которая: 1) имеет угловой коэффициент Й; 2) задана общим уравнением Ах + Ву+ С = О. 5.7. 1) Записать уравнение прямой х = 2+ ЗФ, у = 3+ 21 в виде Ах + Ву + С = О. 2) Записать уравнение прямой Зх — 4у+ 4 = 0 в параметри- ческой и канонической формах. 3) Найти угловой коэффициент прямой х = 2+ 3$, у = 3 + 21. 5.8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А( — 3,4) и параллельной прямой: 1) х — 2у+5= 0", х — 1 у+2 2) — = —; 2 3 3) х=2; 4) у= — 1; 5) х = 3+ Ф, у = 4 — ?1. 5.9. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки: 1) А(-3,1) и В(1,2); 2) А(0,2) и В( — 1,0); 3) А(2,1) и В(2,-5); 4) А(1,— 3) и В(З,— 3). 5.10.
Установить, пересекаются, параллельны или совпа- дают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки их пересечения: 1) х — Зу — 2 = 0 и 2х+ у — 1 = 0; 2) х+ Зу — 1 = 0 и 2 — 2х — бу = 0; 3) — х — у — 3 = 0 и Зх+ Зу+ 1 = 0; 4) х=1+21, у=1 — 1и х=2 — 1, у=2+1. 5.11. При каких а прямые ох — 4у = б и х — ау = 3: 1) пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают? 5.12. При каких а три прямые ах+у=1, х — у=а, х+у = а~ имеют общую точку? ~ 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
