1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Проверить, лежит ли данная прямая в плоскости х— — Зу+ х+ 1 = О, параллельна этой плоскости или пересекает ее в единственной точке; в последнем случае найти координаты точки пересечения. Прямая задана уравнениями: х — 1 у — 1 х — 1 1) — = — = —; 5 4 7 2) х= 2+ЗА, у= 7+С, э =1+В; 3) х — у+2х = О, х+у — Зх+2 = 0; 4) Зх — 2у — 1=0, 7у — Зх — 4=0; 5) х = 2, у = 5+ Ф, з = 4+ 31. х у х — 2 6.24. При каких а прямая — = — = —: 1 а — 1 1) пересекает плоскость Заэх+ ау+ х — 4а= 0; 2) параллельна этой плоскости; 3) лежит в этой плоскости'? 6.25. Даны две прямые. Установить, пересекаются они, скрсп1иваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат.
Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. Прямые заданы уравнениями: 1) х+х — 1=0, Зх+у — э+13=0 и х — 2у+3=0, у+2х — 8=0; 2)х=З+1, у= — 1+21, в=4 и х+у — в=О, 2х — у+ +2г=О; 3) х=2+41, у= — 61, х=-1 — 81 и х=7 — 6Ф, у=2+91, х = 121; 4) х = 9Ф, у = 5Ф, х = — 3+ Ф и 2х — Зу — Зх — 9 = О, х — 2у+х+3=0; 5) х = 1+ 21, у = 7+4, э = 3+41 и х= 6+31, у= -1 — 21, г = -2+1. Э б.
Плоскость и прялеал в пространстве 45 х — 1 у — 1 с — (а — 2)э 6.26. При каких а прямые и а 1 а и у е 1 а 1 1) пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны; 4) совпадают7 6.27. Исследовать взаимное расположение трех плоскостей; если существуют точки, одновременно принадлежащие трем плоскостям, найти координаты этих точек. Плоскости заданы уравнениями: 1) 2х+ Зу — 4г — 1 = О, -х+ 5у — х — 3 = О, Зх — 10у+ 7г = =0; 2) х+у — 2х+1= 0, -х — у+2г+1=0, 2х+2у — 4с=О; 3) х+2у — х — 1=0, — 2х — 4у+2с+2=0, 4+4г — 4х— — 8у=О; 4) 5х — 2у+4=0, Зх+с — 5=0, 8х — 2у+г+7=0; 5) 5х — 2у+4= 0, Зх+с — 5=0, 8х — 2у+г — 1=0.
6.28. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1,3,0) и параллельной прямым х+ у — х+ 3 = О, 2х — у+ 5г+1 = 0 и — х+у = 1, 5х+у — с+ 2 = О. 6.29. Составить уравнение плоскости: х — 1 у+2 е — 1 1) проходящей через прямую — = — = — и парал- 3 4 2 х у — 1 с+1 лельной прямой — = — = —; 5 4 3 2) проходящей через прямую х = 3+ Ф, у = 2+ 5Ф, г = — 1 + + ЗФ и параллельной прямой х = 4 — 21, у = — 8+1, х = 5+ 21. 6.30.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А( — 1,1,2) и прямую, заданную уравнениями; 1) х=1+51, у= — 1+1, я=21; 2) х+5у — 7х+1=0, Зх — у+2з+3= 0. 6.31. Составить уравнение плоскости, проходящей через х — 1 у+2 е — 1 х — 2 у две параллельные прямые — = — = — и — = — = 5 3 1 5 3 г+3 1 6.32. Доказать, что две данные прямые пересекаются и составить уравнение содержащей их плоскости: х+1 у — 2 г — 5 х+5 у+8 с — 4 1) — = — = — и — = — = —; — 2 1 4 2 3 — 1 ' 2) х =1+31, у= — 1+41, я=2+51 и х =1 — Ф, у=-1+ + 21, г = 2+ 41. Гл.
2. Прямая и плоскость 6.33. Прямая проектируется на плоскость Оух параллельно оси Ох. Составить уравнения проекции, если прямая задана уравнениями: 1) х=1+2Ф, у=За, я=1 — 1; 2) х+у+х-1=0, х+2у-Зх+2=0. 6.34. Прямая проектируется на плоскость х+ 2у — Зх+ 2 = = 0 параллельно вектору 1(2, 1, — 1). Составить уравнения проекции, если прямая задана уравнениями: 1) х= 1+21, у=34, х= — б — 1; 2) х+у+х — 1=0, у — Зс+4=0. 6.35. Трн грани параллелепипеда лежат в плоскостях х — За+18 = О, 2х — 4у+5г — 21 = 0, Ох+у+я — 30 =0, а одна из его вершин А имеет координаты ( — 1, 3, 1).
Составить уравнения остальных граней параллелепипеда и его диагонали, проходящей через вершину А. 6.36. Точки А(1, О, 3) и В( — 1, 2, 1) являются всрп1инами тетраэдра АВСО, точка К( — 1, 5, 2) — серединой ребра ВС, а точка М(0, 1, 4) — точкой пересечения медиан грани ВСО. Составить уравнения плоскостей, в которых лежат грани тетраэдра. 6.37. Составить уравнения прямой, проходящей через точку О (О, О, 0) и пересекающей две данные прямые: 1) х — у+я+2 =О, х — 2у+Зх — 8 = 0 и у — с+1= О, х+ +у — 2х+4=0; 2) х=1+2Ф, у=2+За, х= — 1и х=4$, у=5 — 51, = 3+21. 6.38. Составить уравнения прямой, проходящей через точку А( — 1, 1, — 1) и пересекающей две данные прямые: 1)х †у+я+2,х †2у+Зг †8=0иу в,х+у— — 2г+4 = 0; х — 1 у — 2 я х у+5 г — 3 2 3 — 1 4 — 5 2 6.39.
Составить уравнения прямой, пересекающей две прях+3 у — 5 с х — 10 у+7 с мые — = — = — и — = — = — и параллельной пря- 2 3 1 5 4 1 х+2 у — 1 г — 3 мой — = — = —. 8 7 1 6.40. Составить уравнения плоскостей, проходящих через х — 1 у — 1 я+2 пРямую — = — = — и равноудаленных от точек 3 5 4 А(1, 2, 5) и В(3,0,-1). З 6. Плоскость и прямом в пространстве 47 6.41. Составить уравнения плоскостей, проходяших через точку А(1, О, 4) и равноудаленных от трех точек В(2, 1, 6), С( — 2, 3, 2) и Р (8, 1, 0). 6.42. Составить уравнения плоскостей, равноудаленных от четырех точек А(1, — 1, 3), В(3, 3, 5), С(1, 7, 3) и Р(5, 1, 5). 6.43.
Плоскость т содержит точки А, В, С, Я и пересекает координатные оси Ох, Оу, Ог в точках Р, 9, В, а координатные плоскости Оху, Охе, Оуе — по прямым 1м 1з, 1з. В плоскости т выбрана система координат А, АВ, Ас'. Известно, что точка Я в этой системе координат имеет координаты (3, 4), а точки А, В, С в исходной пространственной системе координат имеют стютветственно координаты; а) (1,2,1), (-1,3,2), (1,4,0); б) (2,1,1), (2,3,0), (1,1,2); в) (1, -1, 0), (1, О, -1), (О, 1, 1). 1) Найти координаты точек Р, Я, В, Я и составить уравнения прямых 1ь 1т, 1з в исходной пространственной системе координат. 2) Найти координаты точек Р, Я, В и составить уравнения прямых 1п 1о, 1з в системе координат А, АВ, АС. 6.44 (р).
Через вершину С1 параллелепипеда АВСРА1В1 С1 Р1 проведена плоскость, пересекающая продолжения ребер АВ, АР и АА1 соответственно в точках Во, Ро !АВо! )АРо! !ААо~ и Ао таких, что — = — = 3 —. Найти отношение объ- (АВ) )АР( (АА1! сма параллелепипеда к обьему тетраздра АВоРоАо. В задачах 6.45 — 6.92 система координат прямоугольная 6.45. Найти нормальный вектор плоскости: 1) Ах+ Ву+ Сз+ Р = 0; 2) х = хо+а1и+ази, у =уо+б,и+бзи, з = зо+с1и+сзи. 6.46. Составить уравнения прямой, проходящей через точку А(1, -1, 2)и перпендикулярной плоскости: 1) х — Зу+ 2е+ 1 = 0; 2) х = 5; 3) у = 4; 4) з = 3; 5) х=4 — и+и, у =2+и+2и, е= — 1+7и+Зи.
6.47. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1, 3, 1) и перпендикулярной прямой: 1) х+у — с+2=0, 2х+Зу+г — 1=0; х+1 у — 2 с+2 2) — = — = —; 3) х=2, у=З; 3 4 21 4) х=О, с=О; 5) у=-1, я=2. 48 Гл, 2. Прамал и плоскость 6.48. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (2, 1, — 1) и перпендикулярной двум плоскостям: х — у+5з+1 = 0 и 2х+у= 3. 6.49. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости х+ Зу — г+ 2 = О и проходящей через прямую: х — 1 у — 1 ~ — 1 1) — = — = —; 2 3 4 2) 2х — у+в=О, х+2у+х — 3=0.
6.50. В пучке, определяемом плоскостями х+2у — Зг+ + 5 = 0 и 4х — у+ Зг+ 5 = О, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку М(1, 3, 1). х — 3 у х — 1 6.51. Точка А лежит на прямой — = — = —, при- 2 3 — 1 чем А равноудалена от точек В (3, О, — 2) и С( — 1, 1, 5). Найти координаты точки А. 6.52. Найти расстояние от точки А(3,1, — 1) до плоскости: 1) х — у — 5г+ 2 = 0; 2) х — 2у+ 2г — 2 = 0; 3) х — 2у+ 2г+ 7 = 0; 4) х — 2у+ 2х = 0; 5) х — 2у+2з+1=0; 6) х=1; 7) у=5; 8) г=О.
6.53. Найти расстояние между параллельными плоскостями: 1) бх — Зу+2з+5=0 и бх — Зу+2х — 9=0; 2) 2х+ 29 — з+ 3 = 0 и 2х+ 2у — х+ 18 = 0; 3) Зх+ 4г+ 1 = 0 и бх+ 8х — 1 = О. 6.54. 1) Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости бх — Зу+2х+5=0 и отстоящих от нее на расстояние 3. 2) Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости х+ Зу — г + ~/Г1 = 0 и отстоящих от нее на расстояние 3.
3) Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2х + 2у — с+ 3 = 0 и отстоящих от точки А(1,2, — 1) на расстояние 3. 4) Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости Зх + 4з+ 1 = 0 и отстоящих от начала координат на расстояние 3. х — 1 у х+1 6.55.
Точка А лежит на прямой — = — = —. Расстоя- 2 3 1 ние от точки А до плоскости х+ у+ х+ 3 = 0 равно ~/3. Найти координаты точки А. Э 6. Ллоскостпь и прямая в простпрапсгпве 49 х — 1 у — 3 х+4 6.56. Точка А лежит на прямой — = — = —, при- 1 3 — 5 ' чем А равноудапена от точки В(0, 1,1) и от плоскости 2х — у + + 2х + 1 = О. Найти координаты точки А. 6.57. Точки А(1,— 1,2) и В(3,0,4) являются вершинами куба АВСРА1В1С1Рь Вектор АР перпендикулярен прямой х = О, у — х = О, а ориентация тройки векторов АВ, АР, АА1 совпадает с ориентацией тройки базисных векторов системы координат, причем сумма координат вектора АА| отрицательна.
Составить уравнения граней куба. 6.58. Точки А1 — 3,0,0) и В(3,0,0) являются вершинами правильного тетраэдра АВСР, вершина С удалена от координатной плоскости Оху на расстояние 3~/2, причем все координаты точки С неотрицательны. Ориентация тройки векторов АВ, АС, А.Р совпадает с ориентацией тройки базисных векторов системы координат. Составить уравнения граней гетр аэдра. 6.59. Дана точка А(3, — 1,1).
Найти: 1) координаты проекций точки А на координатные плоскости и координаты точек, симметричных А относительно координатных плоскостей; 2) координаты проекции точки А на плоскость х+2у+ + 2х+6 = 0 и координаты точки, симметричной с А относительно этой плоскости; 3) координаты проекции точки А на плоскость 2х + Зу + + 6х +40 = 0 и координаты точки, симметричной А относительно этой плоскости. 6.60. Составить уравнения прямой, симметричной прямой х — 2 у+1 х — 2 — = — = — относительно плоскости 5х — у+ х — 4 = О.
3 1 4 6.61. Составить уравнения проекций на плоскость х + 5у— — х — 25 = 0 следующих прямых: х+1 у г — 1 1) — = — = —. 4 2 3 2) х — у+2х — 1=0, Зх — у+2х+2=0; х+1 у х — 1 3) — = — =— 1 5 — 1 6.62. Найти угол между плоскостями: 1) х+4у — я+1=Он х+у — х — 3=0; 2) х+ 2у — х = 1 и х — у = 3; 3) х+ 2у — 2х = 0 и х = 5; Гл. 2. Прлмал п плосюкть 50 4) х + 29 — г — 1 = 0 и Зх — 59 — 7з = 0; 5) х+Зу — в+1=0 и х=1 — и, у=2 — Зи — э, + и+о; 6) х — Зу+ 2г+ 1 = 0 и бг — Оу+ Зх+ 5 = О. 6.63. Найти угол между 1) 2х+у — я+1=0, х+ х+у+х-1=-0; х — 1 у — 2 х+3 2) — = — = — и 2 3 — 1 3) х = 5 — 2Ф, у = 6+ 41, = 3 — 4$.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
