1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Необходимым и достаточным условием компланарностн векторов а, Ь, с является обращение в ноль определителя а1 аз аз б1 <12 )дз 71 72 72 Если базис ортонормированный, то< длззна вектора а равна [а[ = аз+ аз+ аз; скалярное произведение векторов а, Ь равно (а<Ь) а11<1+а21<2+ азиз~ викториос произведение векторов а, Ь равно Е1 Ез ЕЗ [а,Ь[ = е а1 аз аз <<1 <Зз <13 Гл. 1. Векторы и координаты где е = +1, если базис правый, и е = — 1, если базис левый. Опреде- литель следует понимать символически: Е1 Е2 ЕЗ 02 ОЗ аЗ 01 Е31 132 01 02 еЗЗ =01,2 о +02 о о +ез о,.ч А !12 Рз Смешанное произведение векторов а, Ь, с в любом базисе выражается формулой: 01 02 ОЗ (а,Ь,с) = А А оз (е1 еюез). 71 72 73 Если базис е1, ез, ез ортонормирован, то (е1, ез,ез) = е (число е определено вьппе). Тройка векторов а, Ь, с является правой, если знак определителя а1 Е22 ПЗ Р1 РЗ РЗ 71 72 73 совпадает со знаком числа е, и левой в противном случае.
Это утверждение справедливо при любом базисе. Косинус угла Зо между векторами а, Ь, заданными своими координатами, можно вычислить по формуле (а, Ь) совк =— [а! [Ь! Площадь параллелограмма, построенного на векторах а, Ь, равна Я= [[а,Ь[!. Объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, равен Ъ' = [(а,Ь,с)!. Любой вектор Ь на плоскости или в пространстве можно представить в виде суммы двух векторов х+ у так, чтобы вектор х был коллинеарен данному ненулевому вектору а, а вектор у ортогонален вектору а. Вектор х называется ортогональной проекцией вектора Ь на прямую, направление которой определяется вектором а; вектор у называется ортогональной составляющей вектора Ь относительно этой прямой.
Пусть в пространстве даны два базиса е1, ез, ез и е'„ез, е~з, и векторы второго базиса выражаются через векторы первого базиса по формулам 01 = 011Е1+ 02102 + 03103~ Е2 01201+ 02202+ 03203 (1) ЕЗ 01301 + 02302 + 03303. Тогда координаты с31, а2, аз вектора в первом базисе выражаются чеРез его кооРДинаты а1м а~з, аз во втоРом базисе слеДУюЩим обРазом: Э 1. Линейные сяотиоизеиия О1 01!О! + 012 О2 + 0!ЗОЗ Оз 021О1 + 022О2 + 0231 "3 (2) У I ОЗ 031111 + 032ОЗ+ 1ЗЗЗОЗ (коэффициенты в строках формул (1) превращаются в коэффициенты в столбцах формул (2). Пусть в пространстве даны две системы координат О, е1, ез, ез я Р', е1, ез, ез, причем начало второй системы координат имеет в первой системе координаты 01Я, 020, Озо, а векторы второго базиса выражаются через векторы первого базиса по формулам (1).
'Гогда координаты х, у, 3 точки в первой системе координат выражаются через ее координаты х', у', 3' во второй системе формулами! х = 011х'+ 012у'+ аззз'+ аць У = 021Х + 022У + 0232 + 020, 3 = 031Х + 032У + 0333 + ОЗО. В задачах 3 1 система координат считается общей декартовой без каких-либо дополнительных условий. В задачах э 2, если не оговорено противное, координаты векторов задаются в ортонормнровапном базисе, а координаты точек — в прямоугольной системе координат. В задачах Э 3, если не оговорено противное, координаты векторов задаются в ортонормированном правом базисе, координаты точек— н прямоугольной системе координат, базис которой имеет правую ориентацию.
$ 1. Линейные соотношения 1.1. Доказать утверждения: 1) конечная система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима; 2) конечная система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима. 1.2. Может ли быть линейно зависимой система, состоящая из одного вектора? 1.3. Доказать, что для любых трех векторов а, Ь, с и любых трех чисел сз, 13, у векторы оа — !3Ь, ?Ь вЂ” ас, дс — уа линейно зависимы. 1.4. Даны три вектора а(1,2), Ь(-5, — 1), с( — 1,3).
Найти координаты векторов 2а+ ЗЬ вЂ” с, 16а+ 5Ь вЂ” 9с. 1.5. Даны три вектора а(1,3), Ь(2; — 1), с( — 4,1). Найти числа а и ~3 такие, что с!а+,ЗЬ+с = о. 1.6. Проверить, что векторы а(-5,— 1) и Ь( — 1,3) образуют базис на плоскости. Найти координаты векторов с( — 1,2) и с((2, — 6) в этом базисе. 10 Гл. 1. Векторы и координаты 1.7. Вектор а имеет в некотором базисе координаты (я, 1 — я), вектор Ь вЂ” координаты (жз — 2х, ж2 — 2х+ 1).
При каких значениях я векторы 1) коллинеарны; 2)одинаково направлены? 1.8. Даны четыре вектора а(3,0,— 2), Ь(1,2,-5), с( — 1,1,1), д(8,4,1). Найти координаты векторов -5а+Ь вЂ” бе+ с1, За— — Ь вЂ” с — с1. 1.9. Даны четыре вектора а(4,1, — 1), Ь(3, — 1, 0), с( — 1,1,1), й( — 1, 3, 4).
Найти числа а, В, 7 такие, что аа+ 9Ь+ 1с+ е1 = о. 1.10. Проверить, что векторы а(4,1, — 1), Ь(1,2, — 5) и с( — 1, 1, 1) образуют базис в пространстве. Найти координаты векторов 1(4,4, — 5), гп(2,4,-10), п(0,3,-4) в этом базисе. 1.11. Проверить, будут ли компланарны векторы 1, гп и и; в случае положительного ответа указать линейную зависимость, их связывающую (здесь а, Ь, с — три некомпланарных вектора): 1) 1=2а — Ь вЂ” с, гп=2Ь вЂ” с — а, п=2с — а — Ь; 2) 1=а+Ь+с, гп=Ь+с, и= — а+с; 3) 1=с, гп=а — Ь вЂ” с, п=а — Ь+с. 1.12.
Из одной точки пространства отложены три вектора а, Ь, с. Доказать, что конец вектора с тогда и только тогда лежит на отрезке, соединяющем концы векторов а и Ь, когда выполнено равенство с = па + рЬ, где а > О, р' > О, а + В = 1. В каком отнотпении конец вектора с делит этот отрезок? 1.13. В параллелограмме АВСР точка К вЂ” середина отрезка ВС и точка Π— точка пересечения диагоналей.
Принимая за базисные векторы АВ и АР, найти в этом базисе координаты векторов ВР, СО, КР. 1.14. В треугольнике АВС точка М вЂ” середина отрезка АВ и точка Π— точка пересечения медиан. Принимая за базисные векторы АВ и АС, найти в этом базисе координаты векторов АМ, АО, МО. 1.15. В трапеции АВСР длины оснований АР и ВС относятся как 3: 2. Принимая за базисные векторы АС и ВР, найти в этом базисе координаты векторов АВ, ВС, Сб, РА.
1.16. В трапеции АВСР длины оснований АР и ВС относятся как 3: 1. Π— точка пересечения диагоналей трапеции, Я вЂ” точка пересечения продолжений боковых сторон. Принимая за базисные векторы АР и АБ, найти координаты векторов АС, Аб, АЯ.
Х Ь Линейнне еоотпношеннн 1.17. Точки Е и Г являются серединами сто1юн АВ и СР четырехугольника АВСР. Доказать, что .ЕГ = (ВС+ АР)/2. 1.18. Дан правильный шестиугольник АВСРЕГ. Принимая за базисные векторы АВ и АГ найти в этом базисе координаты векторов В7', СР, РЕ, ЕГ, В0, СГ, СЕ. 1.19, В трапеции задачи 1.16 точка М вЂ” середина стороны СР. Найти координаты вектора АР в базисе ОЯ, ОМ. 1.20. В треугольнике АВС точки К и Ь вЂ” середины сторон ВС и АС соответственно.
Точки М и Ф лежат соответственно на отрезках АК и ВХ так, что )АМ): )МК) = 6: 1 и )Вл1): )МЬ) = 8: 1. Точка Р— середина отрезка МФ. Найти координаты вектора АВ в базисе ММ, СР. 1.21. В треугольнике АВС точка М вЂ” середина стороны АС, точки К и Ь на сторонах АВ и ВС расположены так, что ~АК~: )КВ) = 3: 5, а )ВЬ): (ЬС! = 2: 3. Найти координаты вектора ВМ в базисе АЬ, СК. 1.22. В треугольнике АВС точки К, Ь, М расположены соответственно на сторонах АВ, ВС и АС так, что )АК~: : )КВ) = )ВЬ): (ЬС( = )СМ): )МА! = 3: 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке Р. Найти координаты вектора АР в базисе ЬК, ЬМ. 1.23.
В тетраэдре ОАВС точки К, Ь, М, Ф, Р, Я вЂ” середины ребер ОА, ОВ, ОС, АВ, АС, ВС соответственно, Я— точка пересечения медиан треугольника АВС. Принимая за базисные векторы ОА, ОВ и ОС, найти в этом базисе координаты: 1) векторов АВ, ВС, АС; 2) векторов КЬ, Р(Я, СгХ, МР, Кф 3) векторов Оо' и Ко'. 1.24. Даны три точки О, А, В, не лежыцие на одной прямой. Принимая за базисные векторы ОА и ОЛ, найти: 1) координаты вектора ОМ, если точка М лежит на отрезке АВ и )АМ(: )ВМ! = т: и; 2) координаты вектора ОФ, если точка гХ лежит на прямой АВ вне отрезка АВ н )Ал1(: ~ВХХ~ = т: п.
1.25. В треугольнике АВС проведена биссектриса АР. Найти координаты вектора АР в базисе, образованном векторами АВ и АС. Гл. 1. Векторы и координаты 1.26. Дан правильный шестиугольник АВСРЕР. Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы АС и АЕ, найти координаты вершин шестиугольника и его центра. 1.27. В трапеции АВСР отношение длин оснований А.Р и ВС равно 4. Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы АР и АВ, найти координаты вершин трапеции, точки М пересечения ее диагоналей и точки Я пересечения боковых сторон. 1.28. Дан параллелепипед АВСРА1В1 С1 Рп Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы АВ, АР и ААы найти координаты: 1) вершин С, В1 и С1; 2) точек К и Ь вЂ” середин ребер А1В1 и СС1 соответственно; 3) точек М и И пересечения диагоналей граней А1В1С1Р1 и АВВ1 А1 соответственно; 4) точки О пересечения диагоналей параллелепипеда.
1.29. Три точки А(хму1), В(хз,уо), С(хз,уз), не лежащие на одной прямой, являются последовательными вершинами параллелограмма. Найти координаты четвертой вершины Р этого параллелограмма. 1.30. Даны две различные точки А(хыумх1), В(хо,уз,во). Найти координаты: 1) точки М, лежащей на отрезке АВ и такой, что ~АМ~: :)ВМ)=т:и; 2) точки И, лежащей на прямой АВ вне отрезка АВ и такой, что )АИ): (ВМ! =т: и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
