1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Нульмерным параллелепипедом является точка, одномерным параллелепипедом — отрезок; двумерный параллелепипед называегся параллелограммом. Рранипей параллелепипеда П (Ао, ~м ..., ~ь) называется подмножество тех его точек, для которых значения по крайней мере одного из параметров 1 в (2) равны либо О, либо 1. Множество точек границы параллелепипеда, для которых какие-нибудь фиксированные р параметров принимают произвольные значения, а значения остальных й — р параметров постоянны и равны либо О, либо 1, называется р-мерной гранью параллелепипеда (а = 0„1, ..., р — 1).
Вершиной параллелепипеда называется любая его нульмерная грань (т. е. точка границы, для которой каждый из параметров 1, принимает значение либо О, либо 1). Одномерные грани параллелепипеда называются его ребрами. Отрезок, соединяющий какие-либо две вершины параллелепипеда и не лежащий ни в одной из его граней, называется диагональю параллелепипеда. 33.1. Проверить, что и-мерное линейное пространство Е является аффинным пространством с пространством векторов, совпадающим с .С, если точками этого аффинного пространства считать векторы из С и всякой упорядоченной паре векторов а, б ставить в соответствие вектор х = б — о. 33.2.
Доказать, что в аффинном пространстве А: 1) АА = о для любой точки А из А; 2) Р (А, о) = А для любой точки А из А; 3) АВ = — ВА ~~ля любых точек А и В из А; 4) равенство АВ = А1В1 имеет место тогда и только тогда, когда АА1 = ВВь 33.3. 1) Доказать, что система точек Ао, Аы ..., Аь аффинного пространства независима тогда и только тогда, когда не существует плоскости размерности, меньшей Й, содержащей эту систему точек. 2) Доказать, что система точек Ао, Аы ..., Аь аффинного пространства независима тогда и'только тогда, когда для произвольной точки О из равенств ЛоОАо + Л1ОА1+ .. + ЛьОАь = о, л, + л„ + ...
+ л, = о следует, что Ло = Л1 = ... = Ль = О. 310 Гл. 13. Аффиннне и шочечнне евхлидовн ироетпрвнетва 33.4. Независима ли система точек с координатами: 1) (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0); 2) (О, 1, 1), (1, О, 1), (1, 1, 0), (2, 2, 2); 3) (О, 1, 1), (1, О, 1), (1, 1, 0), (2/3, 2/3, 2/3)? 33.5. Показать, что понятие независимости системы точек Ао, Ам ..., Ав равноправно относительно всех точек этой системы.
А именно, если система векторов АоА1, АоАо, ..., АоАь линейно независима то линейно независима и любая система АдАо, >АА-ьАзА+~, АоАы у=1,2,...,й. 33.6. Пусть т и пз' — плоскости с направляющими подпространствами М и М'. Доказать, что: 1) если М с М', то либо гп и щ' не имеют общих точек, либо гп С Ы; 2) если М = М', то т и гп' либо не имеют общих точек, либо совпадают. 33.7. Доказать, что если прямая имеет две различные общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости.
33.8. Доказать, что если Й-мерная плоскостып1 содержит независимую систему точек Ао, Ам ..., Аы общих с плоскостью що, то 1п1 С тз. 33.9. Доказать, что существует ровно одна й-мерная плоскость, содержащая независимую систему точек Ао, А1,..., Аы 33.10. Пусть Ар, А1,..., Аь — независимая система точек в к-мерной плоскости т, а Π— фиксированная точка аффннного пространства. Доказать, что т состоит из тех и только тех точек А, для которых ОА = ЛоОАо+ Л1ОА1+ + ЛьОАы где Ло, Л1, ..., Ль — числа, удовлетворяющие равенству Ло+ +л1+...+Л =1, 33.11. Пусть 10 1о, 1з, 1в — прямые в аффинном пространстве, причем 11 параллельна 1о, а 1з параллельна 1е. Пусть, далее, 1з пересекает 11 и 1о в точках А1 и В1 соответственно, а 1в пересекает 11 в точке Ао.
Доказать что 14 пересекает и 1о в точке Во. такой, что А1Ао = В1Вг, А1В1 — — АгВг, 33.12. Доказать, что любые две прямые и-мерного аффинного пространства (и > 3) целиком содержатся в некоторой трехмерной плоскости. 33.13. При каком необходимом н достаточном условии две прямые х = ав + а11 и х = Ьо + 611 содержатся в одной двумерной плоскости? З оо. Аффинные пространства З11 33.14. Составить уравнения: 1) прямой, проходящей через точки А( — 1, О, 3, — 2) и В (2, 1, 4, 5); 2) двумерной плоскости, проходящей через точки А (-2, 1, 1, 1), В (1, 3, -5, 2) и С (О, 1, 1, 4); 3) трехмерной плоскости (гиперплоскости), проходящей через точки А(1, 1, О, — 1), В(2, — 1, 3, 3), С(1, — 1, 1, 5) и В (О, О, 3, -1). 33.15. Пусть А (хм хг,..., х„') и В (х",, х~г', ..., х'„') — две различные точки, р и о — некоторые числа.
Найти координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении р: г. 33.16. Пусть точки А, В, С в и-мерном пространстве не лежат на одной прямой. Доказать, что медианы треугольника АВС проходят через одну точку и делятся в этой точке в отношении 2: 1, считая от вершины. 33.17. Точка М принадлежит гиперплоскости заданной уравнением а1х1 +... + а х„+ ао = О, а вектор ММг имеет координатный столбец (аы аг,..., а )~. Доказать, что координаты точки М1 удовлетворяют неравенству а1х1 +... + а„х„+ + ао > О. 33.18.
Составить параметрические уравнения плоскости, заданной системой линейных уравнений: 1) Аггх = с4в; 2) Ашх = сгд', 3) А1двх = с1гз', 4) Аг4дх = с1г4; 5) Агвгх = свв; 5) Авпх = с1гв; 7) А4озх = сгов; 8) .4зввх = сггз. 33.1Я. Составить систему уравнений, определяюшую данную плоскость: 1) х = сгв + гсзз', 2) х = свз + Фгсв4+ ггсвв', 3) х = сыт + Всыв, 4) х = сгвв + Всгог 5) х = с1дд+11с1вв+ Фгсгоо. 33.20. Составить уравнение гиперплоскости в четырехмерном пространстве, проходящей через точку М ( — 1, 2, 3, 5) параллельно гиперплоскости 2х1 + Зхг — 4хз + х4 + 5 = О. 33.21.
Составить уравнение прямой в четырехмерном пространстве, проходящей через точку М ( — 1, 3, 4, О) параллельно прямой х1 = 2+ Зв, хг = — 1+ г, хз = 7В, х4 = 2 — В. 33.22. Составить уравнения трехмерной плоскости в пяти- мерном пространстве, проходящей: 1) через точку М(0, 1, — 1, 3, 4) параллельно трехмерной плоскости х1 + 2хг + Зхз = х4, х1 + хг + хз + х4 = 2хз,' 312 Гл. 1З. Адхоиииме и гпочечиие евплидови проегпрапетпва 2) через точки М1 (1, 3, 1, О, 1) и М3 (О, О, 1, 1, -1) параллельно двумерной плоскости х1+ хз — 1 = О, х1 — хз + хе = О, х1+хз хэ+ 1 — 0~ 3) через точки М1( — 1, 2, О, О, 4), Мз(1, 1, 1, 1, 1), Мз(0, 1, 3, -1, 1) параллельно прямой х1 = 1+ 2~, хз = 3 — 1, хз = х4 = 1 + 1, хе = — е. 33,23.
Пусть 1 и т — две плоскости в аффинном пространстве с направляющими подпространствами Е и М соответственно, проходящие: 1 — через точку А, ш — через точку В. Доказать, что: 1) пересечение 1 с ш непусто тогда и только тогда, когда вектор АВ' принадлежит подпространству Е + М; 2) если плоскости 1 и ш пересекаются, то пересечение 1П ш представляет собой плоскость с направляющим подпространством ЕйМ. 33.24. Пусть две плоскости размерностей Й1 и lсз в пмерном аффинном пространстве имеют общую точку, и к1 + + йз > и.
Доказать, что размерность пересечения данных плоскостей не меньше, чем й1 + йз — и. Дать формулировки этого утверждения для всех возможных случаев при и = 3 и и = 4. 33.25. Пусть плоскость 1 с направляющим подпространством С проходит через точку А, плоскость ш с направляющим подпространством М проходит через точку В, не совпадающую с А. Доказать, что существует и единственна плоскость наименьшей размерности, содержащая как 1, так и т; при этом направляющим подпространством искомой плоскости является сумма Е+ М + Р, где Р— подпространство, натянутое на вектор АВ. 33.26.
Сформулировать и доказать утверждение, аналогичное утверждению в задаче 33.25, для трех плоскостей. 33.27. Составить уравнения заданной плоскости в четырехмерном пространстве: 1) двумерной плоскости, содержащей точку А ( — 1, О, 2, 3) и прямую х1 = 1 — 1, хз = 3+ 2Ф, хз = 1+ 1, х4 = ЗФ; 2) двумерной плоскости, содержащей параллельные прямые х1 = — 1+ 21, хз = 8, хз = О, х4 = -5 — 3 и х1 = 3+ 21, хз = -4+$, х3 = 1., х4 = — 1) 3) трехмерной плоскости, содержащей точку А ( — 3, О, 1, 0) и двумерную плоскость х1 — хз + хз — 1 = О, х1+ хз + хе = О.
З,го. Аффиннне пространства 313 33.28. Составить уравнения плоскости наименьшей размерности, содержащей две данные плоскости пятимерного пространства: 1) прямыех1 = 1 — с, хг = 2+И', хз = 41, х4 = — с, хз = 3 и х1= 2+1, хг = 21, хз 1+с, х4 = — 1+2$, хз = 3 — 1) 2) прямую хз = 2+ $, хг = — З, хз = — 1 + З, х4 = 1 + 21, хз = — 31 и двумерную плоскость хз = 11+ Зсг, хг = — 1+ 411— — Зг, хз = — 3+ $з+ зг, х4 = 4 — Зз+ Зг, хз = -2+ $г, 3) двумерные плоскости х1 — хз+ х4 — 1 = О, х|+ 2х4— — хз — 2 = О, хг + хз — 2 = О и х1 = хг = хз = 1.
33.29. 1) Доказать, что если две плоскости в п-мерном пространстве абсолютно скрещиваются, то сумма их размерностей не превосходит п — 1. 2) Доказать, что если две плоскости в и-мерном пространстве скрещиваются параллельно г-мерной плоскости, то сумма их размерностей не превосходит п + т — 1. ЗЗ.ЗО. Исследовать взаимное расположение прямой и двумерной плоскости в четырехмерном пространстве, если двумерная плоскость задается уравнениями х1 — 2хз + 1 = О, х1 + + 2хг — Зхз + х4 — 2 = О, а прямая задана параметрически: 1) х1 — — 3+2з, хг=5, хз =2+1, х4=З; 2) х1= — 2+ЗЗ, хг=З вЂ” 1, хз=-1+21, х4= — 4+4з; 3) х1=6+З, хг=5 — 1, хз=1+21, х4 =1+31; 4) х1=-1+2з, из=1+а, хз=с, х4=1 — Ф. 33.31.
Исследовать взаимное расположение двух двумер- ных плоскостей в пятимерном пространстве, если первая плос- кость задается уравнениями х1 = хг — — 1, хз+ х4 = хз, а вто- рая — параметрическими уравнениями: 1) хз=2+Фм хг=З, хз=З+21г, х4=4, хе=5+ + з1 + зг; 2) х1 = — зм хг =3+21м хз = 2+ем х4=1+Ф, — $г, хз = 2+ сг~ 3) х1 =2+11+Фг, ха=3+11+гг, хз =3+211+Зг, х4 = 4+ зм хз = 5 — 2зг, 4) х|=с1 — съ хг=1, хз=гм х4=1 — сг, хз=З— — 1, +Зг; 5)х1=1, хг=4, хз=1+Ф1+Фг, х4=2+211 — 2зг, хз = — 5+ 311 — Зг; 6) х1 = 1, хг = 1, хз = 2+ 2Ф1+зг, х4 = — 3+ с1 — Зсг, хз = — 1+ 311 — 2зг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
