1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (824990), страница 70
Текст из файла (страница 70)
11) Используем обозначения и алгоритм, изложенный в разделе 7 введения к гл. 8. а) Составляем и упрощаем с помощью элементарных преобразований строк матрицу Решения 366 Базис в Р П Я образуют векторы, соответствующие второму и третьему столбцам В": это два линейно независимых столбца, принадлежащих обоим подпространствам. Действительно, второй столбец В" равен, как показывает матрица Е", сумме второго и третьего столбцов В', то есть соответствует вектору Ьз + Ьз.
Аналогично, третий столбец В" соответствует вектору Ьз — Ьз. В то же время, как видно из сравнения с матрнцей А', второй и третий столбцы В" раскладываются по первым трем столбцам А', а именно, а+Ьз =-аз+аз+аз' Ьз — Ьз =-аз+4аз. Вычисляя координатные столбцы этих линейных комбинаций, получаем((2 2 О 3(( и(13 5 -1 46,чтосовпадаетсответомзадачи. т т Непосредственное сравнение координат правых и левых частей последних равенств может служить проверкой. 24.26.
Пусть А — матрица преобразования у в некотором базисе и йеФ(А — ЛЕ) = (Лз — Л) ... (˄— Л). 1) Заменив Л на — Л, имеем также йес(А+ ЛЕ) = (Лз + Л) ... (Л„+ Л). Перемножив эти равенства, получим йес(А — Л Е) = (Л~з — Л ) ... (Лз — Л ), или йес (А — ФЕ) = (Л~з — 1) ... (Лз, — 1), где 1 = Лз. 2) В разложении характеристического многочлена заменим Л на Ле~ (й = О, ..., пз — 1), где е = ез 'У (е"' = 1): йез(А — ЛЕ) = (Лд — Л) ... (˄— Л), йес(А — ЛеЕ) = (Лд — Ле) ... (˄— Ле), йез(А — Ле зЕ) = (Лз — Ле з) ... (˄— Ле з). Поскольку матрицы А — ЛеьЕ (Ь = О,..., пз — 1) пересгановочные, перемножив равенства почленно, получим йез(А™ — Л Е) = (Лз — Л™) ... (˄— Л ), илн, положив Л"' = 1, требуемое йез(А™ — 1Е) = (Л~з — Х) ... (Л~~ — 1). Здесь использовано разложение а™ вЂ” Л = (а — Л)(а — Ле)...
(а— — Ле~ з). Чтобы получить его, достаточно заметить, что многочлен а — Л имеет корни а, ае, ..., ае Решения 24.121. 12) Характеристическое уравнение (Л + 1)з = О. 3 5 1 В = Азвз+ Е = — 1 -2 Π— 2 — 3 — 1 Нк В = 2. Собственное подпространство одномерно. Находим его ба зисный вектор: Ьг = (! — 2 1 1 5 . Составляем систему уравнений т для первого присоединенного вектора: 3 5 1-2 — 1 — 2 О 1 — 2 — 3 — 1 1 Ее решение Ьз = ((1 — 1 О 5 .
Система уравнений для второго прит соединенного 3 5 1 1 — 1 — 2 О -1 -2 -3 -1 О Из нее находим йз = (( 1 О 2 (( . Итак, А' =,Уз( — 1). Матрица пере- хода к жорданову базису -2 11 1 — 1 О 1 О 2 1 1 — 1 1 1 — 1 1 — 1 — 3 — 1 1 — 1 — 3 1 — 1 1 О а+Р В Условие совместности В = — 2а, и можно взять а = 2, В = — 4, что соответствует собственному вектору Ьг = '5 О 2 — 2 — 4 (( . Находим т частное решение системы для а = 2, Д = — 4. Это н есть присоединенный к 51 векторное —— '5 1 О 1 О 5 .Для получения жордановабат зиса корневого подпространства дополняем найденные векторы еще 24.127.
15) Характеристическое уравнение Лз(Л вЂ” 2) = О. Найдем собственное подпространство для Л = О. Матрица Амэ элементарными преобразованиями строк приводится к виду О 1 -1 1 Поэтому собственное подпространство двумерное. Так как корневое пространство трехмерное, должен быть один присоединенный вектор. Найдем его. Произвольный собственный вектор можно написать как Л = а(! О 1 1 О Й +В(1 О О 1 1 Й . Присоединенныйвекторсуществует у того вектора, для которого совместна система уравнений с матрицей 368 Решения (16) одним собственным вектором, например, 62 — — !) О 1 1 0 Й . Нетрудт но найти собственный вектор И4 — — !) 1 О 2 1 Й для А = 2. В базисе т 111, аг, 112, 114 матрица преобразования равна бйаб (дг(0), О, 2).
24.148. При Б = 0 преобразование взаимно однозначно. При д ф 0 его можно представить в виде !р+ 61/! = д!р(д 11+ !р ~1/!). Преобразование будет взаимно однозначным тогда и только тогда, когда взаимно однозначен второй сомножитель. Таким образом, мы ищем те а, для которых бег (~а 1ф + о 11) ф О. Для этого достаточно, чтобы ф 1~ был болыпе максимального из модулей собственных значений преобразования р 1!Р. Пусть это число равно р.
Тогда можно положить е = р '. 25.3. Пусть х = ахе, и в канонической системе координат х(б, 11), хе (Се, па). Тогда д!2(х) = аг и 2 2 60 2 2 2 ! 2 — +6 =а 1 — +по а Поэтому !рг(х) = бг/4+ 62. Пусть у(81, 61). Легко подсчитать, что Р (х, у) = бб1 + 4661. Используя это выражение, проверяем свойства скалярного произведения. 26.40. Предположим, что система д1,..., д„линейно зависима, и докажем, что приведенная в условии сумма больше или равна 1.
Действительно, при таком предположении д1, ..., д„лежат в некотором (и — 1)-мерном подпространстве 4".. Обозначим через а, ~а~ = 1 единичный базисный вектор в Ег. Для любого 1' = 1, ..., п проекция е; на ьг. равна г; = (е;, а) а. Так как д, б С, по результату задачи 26.36 имеем (21! < )ег — д;~ Отсюда следует, что ~ 121) < ~ )ег — д1) . Но ~ )21(2 = ~ (еи а) = )а)2 = 1. Следовательно, ~,')е! — д1)~ > 1. Теперь легко видеть, что ~ ,'~е! — д1~ ) 1. Действительно, в противном случае каждый из модулей меныпе единицы, и сумма их квцпратов подавно меньше 1.
32.8. 12) Сделаем замену координат ! ! ! Х1 = Х1+ Хг хг = х1 — Хг, хг = хг. (15) В новых координатах форма примет вид !2 !2 ! ! ! ! г !2 !2 х, — хг + 2х,хэ = (х1+ хз) хг хз . После второй замены координат н ! ! !! н ! Х1 = Х1 + ХЗ Х2 — Х2! ХЗ ХЗ данная квадратичная форма примет канонический вид н2 н2 н2 Х1 Х2 Хг Положительный индекс инерции данной формы равен 1, отрицательный равен 2. Ранг формы равен 1+ 2 = 3, сигнатура равна 1 — 2 = — 1. Реп!ения Збз Можно записать замену координат, приводящую данную форму к каноническому виду, как суперпозицию замен (15) и (16): !! а а а а !! !! Х1 = Х1 + Хг — Хз, Х2 = Х1 — Хг — Хз, Хз = Хз.
32.27. 10) Матрица данной квадратичной формы В = Агах име- ет характеристические числа 3 (кратности 2) и 3 (кратности 1). Инвариантное подпространство, соответствующее собственному зна- чению 3, задается однородной системой линейных уравнений с матрицей  — ЗЕ; находим два линейно независимых собственных вектора а1, аг с координатными столбцами (1, О, — 1)2 и (2, 1, 0)г со- ответственно.
Собственное подпространство, соответствующее соб- ственному значению — 3, задается однородной системой линейных уравнений с матрицей В+ ЗЯ; находим один линейно независи- мый собственный вектор аг с координатным столбцом (1, — 2, 1)г. Векторы а1, аг, аг образуют собственный базис присоединенного преобразования данной квадратичной формы, но нас интересу- ет ортонормированный собственный базис.
Так как собственные векторы самосопряженных линейных преобразований евклидова пространства, соответствующие различным собственным значени- ям, ортогональны, то автоматически (а1, аз) = (аг, аз) = О. Оста- ется провести ортогонализацию системы векторов а1, аг. Положим 61 — — а1, 62 = аг — сга1, а выбираем так, чтобы (61, 6г) = О, т. е. а = (а1, аг) = 1, откуда получаем, что вектор Ьг имеет координатный (а1, а1) столбец ( — 1, — 1, -1)т.
Векторы 61, 62, аз образуют ортогональный собственный базис присоединенного преобразования; пронормировав эти векторы, получим искомый ортонормированный собственный базис. Для удобства мы изменим знаки всех координат вектора Ьг. Координатные столбцы полученных векторов образуют матрицу пе- рехода от данного ортонормированного базиса к базису Ь1, — 62, аз— матрицу Я = Азгг. В найденном базисе квадратичная форма имеет Диагональный вЦЦ Зх!1 + Зхг — Зхг .
Можно, пользУЯсь матРиЦей Я, записать замену координат, приводяшую данную квадратичную форму к диагональному виду: 1, 1, 1 х1 = — х', + — хг + — хз 1/2 ъ'3 1/6 1, 2 Хг — — — Х вЂ” — Х, = 1/3 г 1/6 з 1, 1, 1 Хз х1 + х2'+ хз ° чу 1/3 1/6 32.36. 11) Укажем два способа решения задачи.
С п о с о б 1. Обе формы будем рассматривать в трехмерном арифметическом пространстве столбцов. Выпишем матриць1 данных форм в исходном базисе; Решения 370 2 0 1 а= о 1 — 1 2 Все главные миноры матрицы С положительны, следовательно, по критерию Сильвестра форма е положительно определена. Соответствующую ей билинейную функцию х Су = 2хгу~ + хгрз + хзуг + хзуз — хзуз — хзуз+ 2хзуз т примем за скалярное произведение и теперь считаем пространство евклндовым. С помощью метода, изложенного во введении к 3 32, найдем ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного преобразования х, присоединенного к форме 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
