1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 9
Текст из файла (страница 9)
5 7. Диаметры конического сечения Диаметром эллипса !гиперболы~ называется гиобая пря- мая, проходящая через иснтр эллипса (гиперболы). Лиа.иет- рогл лараболм иазывастси аобая ирямаи, иараллсльнан ее осн, и частности сама ось, Произвольная прямая пересекает коническое сечение не более чем в двух точках. Гслн точек пересечения две, то отрезок прямой с концами в точках пересечения называется хордой. Имеет место слеа) дугощес свойство коиичсских сечений.
Средины параллельных хорд конического сеченил лежат на диаметра (рнс, 45), Это свойство очевидно, ссли хорды перпендикулярны оси симметрии. В этом случае средины хорд лежат иа этой оси, ф !'ассмотрим общий случай. Семейство параллельных прямых, ие параллельных осям координат, можно задать уравнениями у =-лх+Ь (Й-.к-О), где й одно и то жс для всех прямых.
Уравнения эллипса н гиперболы можно объединить следующей заф пнсыо ахэ -т- ру' — ! =- О. Рнс. 45. Копны хорд удовлетворя~от системс уравнений ахв+()у' — ! =О, у =Ах+Ь, Подставляя вместо у в первое уравнение Ах +Ь, находим дньметгн конического сечвннн уравнение, которому уловлстяора!от абсциссы х, н х, концов хорды: (а+~Й') х'+2~Мх-~- рЬ~ — 1 =0, По свойству корней квадратного уравнении 2(!ЬЬ х!-!-х =— а+ раь Таким образом, абсцисса средины хорды х1+ х, (!АЬ х =.
2 а;-(~И ' Ординату у, найдем, подставляв х, в уравнение хорды у=Ах+6'. (УРЬ аЬ у = а-~-(3йь а+(~аь ' +о=" — —. Отс!од» а Ус ' Ус ' ~ц с' Таким образом, средины параллсльник хорд у=Ах+3 лежат на примой, проходнщей через начало коорлинат— центр эллипса (гиперболы). Ее угловой коэффициент '= — р Диаметр навываетси солрласеллым по отногиени!о и диаметру у=их, параллельному хордам. Очевилно, свойство сопряженности диаметров взаимно, так как угловой коэффициент диаметра, соприженно! о равен— Рассмотрим случай параболы, Координаты концов хорд удовлетвориют системе у~ — 2рх= О, у Ах-~-д.
1гл. ги еоиичискиг сечГиия Исклн~чая х, находим уравнение для ординат копцов з 2Р11, 2рв У вЂ” -. - — --.О. "а й Ото!ода, подобно ирсдыдугцсиу, гр У +У Таким обравом, — = — =- сопя!. р !от и с' Средины хорд лежат пч прямой, параллсльи 1й оси х (оси иа1)аболы!. Отметим «и!с одно свойство соирексаи~х днам«тров. Исаи диаметр пересекает коническое сечение, то касательные а точках пересечения параллельны солрлжениоир диаметрр Дсйствйтсльио, пУсть 1хв,У ! — точка исРсссчсиии диамстра у = йх с вллиисита (гиисрболой) ахз -,'- Ру' 1.
Урависиис касательной и точке ~х„ув) аххв ~ Руув--1=-..0, Ес угловой коэффициент Й' =- — ал„фУи. Так как точка (хв, Ув) лежит иа диачстРе У=-йх, то У„-1сх„. ПоэтомУ ,к а ~й ' что и требовалось доказать Упражнения 1. Касательные к эллипсу хз уа — + — =1 аз Ьз имеют угловой коэффициент А. Огределить точки касания. 2. Хорда эллипса хз !уз — +.
-=1 аз 'аз делится в точке (хз, рв) пополам Найти углояоа коэффнциеи. хорды. 3. Показать, что эллипс допускает параметрическое ззлзиие х = и соа 1, р = Ь з1 о 1. Какому условию удовлетворяют аиачения параметра 1, отвечаюитис концам сопряженных диаметров) мгивыи втоиого поэядкд Доказать, что сумма квадратон сопряженных диаметрон эллипса постоянна (теорема Аиолония). Ф Сформулировать и доказать соответствующую теорему длп гнпе болы.
. Любой эллипс можно представить как ироскиию круга. Показать, что сопряженным диаметрам эллигса и этом ироснтнроваппн соответствуют перпендикулярные диаметры круга. Опираясь на вто, доказать, что площадь параллелограмма, образованного касательными иа концах сопряженных днаметрон, постоянна. 6. Покачать, что площадь любого параллелограмма с вершинами в концах соирнжеипых диаметров эллипса х' уэ 'оу 1 ЬЬ 1 имеет одно и то жс значение, равное 2аЬ. С. Известно, что среди всех чегырсху|одьнинон. вписанных в окружность, наибольшую площв,[ь имссг квадрат, 11оназе Гь, что среди всех четырехугольников.
вписанных в эддипг, наибольшую площадь имеют иараллелограм> ы с вершинами н копнах сопряженных диаметров. 7. Показать, что площадь эллипса с полуосями и, Ь рачиа иаЬ. 8. Можно лн в эллипс вписать треугольник т»н, чтобга ниса. тельная н каждой его вершине была параллельна про1ипоположпой с1ороис? С каким произволом мо можно сдетчоьз с)счт равна площадь такого треугольника, если почуоси эллипс» а и Й й 8.
Кривые второго порядка Кривой второго нарядна называется гсомс1рнческос место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению вид» а1$хэ )-2агэхутаэ,у'! 201Х-1 га5у-,-а- 0$ (и) в котороч хотя бы один из коэффициентов а„, а„. ааа отличен от нули. Очевидно, это определение инвариантно относительно выбора системы координат, так как координаты точки в любой другой системе координат ныражаютсн линейно чсрсз координаты се и системе ху и, слсдовательпо, уравнение н любой другой системе координат будет иметь инд (а). Выясним, что представляет собой геометрически кривая второго порядка.
Отнесем кривую к новой системе коордцйат х'у', связанной с системой ху формуламн х = х' сов а+у' а1п а, у = — х' а(п а+у' сов а. )гл. ш ко!и!ческие сгчГлн!я х у х у О олннакоиы. Уравнение Ав:с -О, знаки а„и а„ можно аатгсать и форне х' — 1 — '"у' х'+ ~ — "у' =О, Кривая распадается иа пару минных прямых, пересекающихся в вещественной точке (0,0). Уравнение кривой, сохраняя при этом форму (е), будет иметь коэфф1щиснт при х'у' 2а'„= 2иы сова вш а — 2и в!и а сова-! 2а,а(совва — в1п~и) .= (а — а,) в(и2а--2а, сов2а.
Очевидно, вссгла можно выбрать угол а так, чзобы этот коэффищиснт был равен нум1о. Г!озтому, пе ограничивая общпосгн, мо;кно считать, что в исходном уравнении (н) а, -=О. Лапьн1с будем различать два случая: Случай Л вЂ” об» коэффициента и, и ав отличны от нуня, Случай  — олин из коэффиииснтов аы ини аа, ранен нудно. Не ограничивая общности, будем считать п1 — — О. В случае Л пароходом к новой системе координат х'у' х =х+ — у =у+— а, а„ я ~ т д,а приволим уравнение (н) к внлу и,„х'~+ и, у" -,'- с 0 (нь) и различаем следующие полслучаи: Л1'.
с Ф О, знаки и,, а одинаковы и противоположны с. Кривая представляет собой, очевидно, эллипс. Л гс ч~О, ннакн а„и а в противоположны. Кривая— гипербола. Лв.сч~- О, знаки а1т, а и с одинаковы, Уравнению не удовлетворяет ни одна вещественная точка. Кривая называетсн мнимой. Ла.с = О, знаки а и а разин пиа. Кривая распаластся на пару прямых, так как уравнение (нн) можно записать в форме КРИВЫН ВТОРОГО ПОРЯДКА Рассмотрим теперь случай»».
») ятом случае переходом к новой системс координат х'у' У =У+— ете уравнение кривой приводим к виду 2а,х'+ аа,у' -; — с = О. Дальше различаем следующие подслучаи. !31: а,чаь О, Кривая-парабола, так как переходом к новым координатам х ='х'+ —, у" =у' 2ат ' уравнение (»»») приводится к виду 2а1х'+ а тУ"а = О. Ва: а1-— -О, а и с противоположных знаков.
Кривая распадается на пару параллельных прямых / с У=»= ~~ — =О. ааа На: а,= О, ааа и с одного знака. Кривая распадастси па пару мнимых, нс пересекающихся прямык ° С У-»-~' У вЂ” =О. Р а„ Н: ат = О, с = О, Кривая — пара совпадающих прямых. Таким образом, веи»ествекная кривая второео порядки представляет собой либо коническое сечение»эллипс, сапер« болу, параболу,), либо пару прямых (может быть, совпадптои»их).
Упражнения $, Показать, что кривая второго порядка тая+ Ьу+с)' — (а,л.т-ь,у+с,)' ») распадается на пару прямых, может быть, совпадаюнтих. З. Каа известно, все точки эллипса йаходятся в ограниченной части плоскости ху. Исходя иэ этого, показать, что кривая второго порядка ~ах+»у+с)а+»тхх+»»у+ у)а=й, 3 А, и. Пот»авива копнчгскиг сг 1тния (гл.
ит если выражения ах+Ьу, си-,'-()у независимы и й > О, являетга эллипсом. 3. Показать, что кривая второго порядка (ах-~-ау+с)" — (ая+ ру+7)а а Ф О, если «х+Ьу, ах+ру независимы, есть гипербола. 6. Показать, что кривая второго порядка («х+Ьу+с) (ах+ Ду-~-у)=й Ф О прн условии независимости выражений ах+Ьу, с»х+()у является гиперболой. 6. Показать, что если некоторая прямая пересекает кривую второго порядка в трех точках, то кривая распадается иа пару прямых, может быть, совпадающих, 6. Показать, что если дае М кривые второго порядка имеют пять общих точек, то они совпадают. 7.
Кривая называется кривой третьего порядка, если она задается уравиением ~щ (х, у) =-О, где ~р» (х, у) — много«лен третьей степени относительно х и у. А» Показать, что если кривая "уа Ф третьего порядка имеет с кри- вой у» второго порядка семь Рис. 46. общих точек. то оиа распадаег- ся на кривую у» и прямую. 6, Пусть у — кривая второго порядка, А„..., А» — вершины вписанного в нее шестиугольники, а;~(х,у) О-уравнения сторон, соединяющих вершины Аг н А» (рФс, 46).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
