1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 8
Текст из файла (страница 8)
35 части плоскости, так кик д11я лю- бой то~и;и (х, у) из этой части иаоскасти ь, к -<-.- а ;х~' откуда !к! 'к' <~ . а и, следовательно, —",,- <0<1. Отметим еще с;1сду1ощее свойство гиперболы. Ес11н то1ка (х, у), двгп аясь вдоль гиперболь1, неограниченно у;1аляется от начала коорлшглт (Лк (-ух — оо), то сс расстояние от одной из диагоналей ирямоуголыи1кз, котор1ке, о 1евидио, заиа1отск уравнениями к к к к --+ —: -0 — — — =-О, а Ь ' и Ь неограниченно уб11вает (стремится к нулю). В СаМОМ ДЕЛЕ, ВСЛИЧНИЬ1 11роиор11коиалыюы расстояниям точки (х, у) гиперболь1 от ука- заи11ь1Х ирямь1х ($ 5 гл. И), Произведение этих величии И '6~;" — (1=-~-.":-61- Гели па1ис утверждение о тон, что расстояние от одной из диагоналей стремится и пулю, неверно, то существует такое Х > 0 и сколь угохно удалеииь1е точки гииерболь1, для которых Ф+~> И-Ф~>' 1гл.
ги коничгскии сячгпия А так как то лля таких точек -"+-"- <-' -" —" < — ' Бозводя эти неравенства в квадрат и складывая, полуним а это противоречит тому, что Утверждение иокаэано. Прямые — +-- -О, х ф а Ь х д — — -=-. О Ь называются асимнтотами гиперболы. Гипербола х» я» — Г-= — 1 а» а» по отноп1еннв ы рассиотреиноЯ гиперболе х' и» вЂ” — --=1 а» Ь» Рнс, 36, Рис, 37. располагается в дополнительных вертикальных углах, обрааованных асимптотами 1рнс, 36).
Й а р а б о л а 1ряс. 37) у» — 2рх = О называется сопряженной. Она имеет те же асимптоты, но гЬОРИЛ КОННЧЕСКИХ СЕЧГИИЙ имеет ось х осью снзгчетргги, так как вместе с точкой (х,у) ой принадлежит снггметрнчная относительно осн х точка (х, — гг)..Точка пересечении параболы с ее осью называется вершимой ггарабплы. Таким образом, а данном случае нсргггггной параболы нвлаетсн начало координат. Ьгпрахгггеггня 1, Показать, пто зллннс располагается впе рочба с вершпнамн и ие гпггнас аллнпса. , Показать, гто любой эллипс представляет собой кроекцгпо окружности. Э. Ионазать, ч1о произведение расстояний тачки гиперболы до ее аснмптот постоянно (пе зависит от точки). 4. Показать, что уравнение лгобой гнперболы с аснмптотамн агх г-Ьгр+сг.=0, азх, Ь,у -с„п можно записать в форме (агх+Ь,у~ гг) (атх 4 Ь®а '-г,)=соне~.
6. Показать, что ггроггзполг.ггая прямая может пересекать копн. ческое сечение йе более чем в двух точках. 6. Сбосновать следующий способ построения зллнпса. Стороны ПЭ н АС прямоугольника делят на одинаковое число равных отрезков (рнс. Эб), Точки деления соедииягот с А и В Ппн втпм Рпс. 33. Рис. 39. отмеченные точки пересечения лежат не зллнпсе с большой осью АВ. Малая полуось равна полонине высоты пряиоугольннка. 7, Обосновать способ построения параболы, представленный на рис, 39. конические сачвпня (гл. ги ф 6.
Касательная к коническому сечению Касательной к кривой в точке Л называется предельное положепке секущей ЛВ, когда точка В неограниченно приближается к Л (рис. 40), Пусть кривая задана уравненному =~(х). Составим уравнение касательной в точке Л («о, Уо). ПУсть В(хо ~- Ах, Уо -) ЛУ) †точ кривой, близкая к А. УрэвпеУ нпе секущей лу У Уо л (» х ) Прп  — А Ь — — У' (хо).
Лв И мы получаем уравпеппе касательной У Уо=У (хо) (» хо) (") Рве. 40, Аналогично, если кривая задана уравпешгем х = ~р (у), уровпеопе касательной в точке («о, У„) бУдет х — х. =-~Р' (Уо) (У вЂ” У.). (~н~) Составим уравпспне касательной к копи»сскоиу сечению. С л у ч а й и а р а б о л ы. Уравиеппе параболы можно записать в виде ч кй х=— 2д Тогда уравнение касательпой в форме (»о) будет Уо «о = (У Уо) или Ууо — У, '1-Рхо — Рх=0.
Так как точка («о, Уо) лежит па паРаболе и, следовательно, У' — 2рх = О, то уравнение касательной можно представить в следующей окончательной форме: Уур у(»+хо) =О, С л у ч а й э л л и и с а (г и и е р б о л ы). Пусть (х„, Уо) точка эллипса, причем Ур ~й О, В окрестности этой точим ф 5( 55 клсАтнльнвя к копнческому свченп10 эллипс можно зала1ь уравнением ~дс квадратный корень надо брать со знаком у . Уравнение касательной ио формуле (в) хоь у — у =--— . 1,~ =- (х — хо> о хо ао или х„Ьо у — у„== — Я- (х — х), агу Умножав его на — и иеремоса псе члены л левую часть Уо ' ь равенства, получим "«о ~ УУо 1 «о Уо~1 ао Ь' ~ ао ' Ь" / или — „'- — — 1 =-О хоо 3 ууо ао Ьо 1 гак как —,4--р — 1.
Уо В окрестности каждой точки эллипса хо ~:О, эллипс можно задать уравнением (хо, уо), где х"о ЫУо — +- „- =1. а' Ьо Так как в каждой точке эллипса х, и уо ие могут быть одиовременао нули, то в любой точке (хо, уо) уравнение касательной к эллипсу будет Хго УУо ао ( Ьз Тогда аналогичным рассуждением с иомои1ью формулы (++) приходим к уравнению касательной конпчэскик сгчяпия (гл. ш Уравнспис касатсльпой к гипсрболо х» у» — — — =! а» Ь» цолучастся аналогично и имеет вид уу» —.~- — — —. 1 а Ь» Упражнения !.
Показать, что касательная к коническому сечению имеет с ннм только одну общую точку †точ к»сания. 2. Показать, что касвтельн»я к гиперболе вместе с аснмптотамк определяет треугольник постоянной площади. 3, Пусть»р (х, у) =Π— уравнение конического сечения. Выразить условие касания нр»мой, соединяющей точки (х„у») н (х, у), с коническим сечением и, таким образом, составить уравнение пэры к»с»тельных, проведенных нз то»кн (х», у») к коннчсекому сечению. 4 Выразить условие касания прямой у — у» = Х (х-х») с эллипсом х' у» — + — =! а» Ь»' * Показать, что геометрическое место вершин (х», у) прямых углов, стороны которых касаются эллипса, есть окружность.
8. Показать, что вершнпы прямых углов, стороны которых нас»ются параболы, лежат иа директрисе, а прямая, соединяющая тачки касания, проходит через фокус. 6. Способом, указанным в задаче 3, вынестн уравнение пары касательных к коническому сечению, параллельных прямой ах+!)у+7=-0. 7. Показать, что отрезок н»сательной и гиперболе между аснмптотами делится точкой касания пополам.
8. Пусть Х» †верши параболы, Х вЂ произвольн точк» параболы н Х .-основание перпендикуляра, опущенного нз точки Х на касательную в вершине Х». Показать, что к»с»тельная параболы в точке Х делит отрезок Х»Х пополам. 9 6. Фокальиые свойства кони»»еских сечений По оцределению у конического сечения имеется фокус и директриса. Покажем, что у эллипса и еиперболы есть еи(е один фокус и директриса. Действительно, пусть коннь ческое сечение — эллипс. В каноническом расположении его й 6) еоклльпыв свойствл конических свчевнй Б7 директриса 6 параллельна осн у, а фокус г"1 расположсн иа оси к (рис, 4 1).
Уравнение эллипса я» у» — — =-1, а» Ь» Так как вллнпс в таком расположении симметричен относительно оси у, то у него есть фокус Р'„н директриса Ьв, симмстричвые относительно осн у фокусу Г1 н директрисе б,, Рис. 42. Рис. 41. Лналогичным рассуждением устанавлнвастсн существование двух фокусов н директрис у гиперболы.
Покажем, что сумма расстояний произвольной точки вллипса от его фокусов постоянна, г. е. ие аависнт от точки. Действительно, длн произвольной точки Х (рис. 41) имеем Отс~ода ХР +ХРв=Х (Х1Хв)=совв1. Аналогично показываетсн, что разность расстояний произвольной точки еиперболы от ее фокусов постоянна (рис, 42).
Отметим теперь следующее оптическое свойство эллипса. Световые лучи, искодяи4ие из однова фокуса вллипса, после зеркальново отражения от вллипса прокодят через второй фокус (рнс. 43, а). ИныМи словами, отрезки ХР', н Хт', е касательной в точке Х образуют равные углй а,=аз. ко»»»и»»»о»сне сачтння )гл, »и Дсйствитсльно, допустим, утвср»кде»»»»е исвсрно, и, слсдоиагс!»ь»»о, а» „-г=ат.
Отрав»»1» зеркально от»и»ситсльио»»ас»»- .»с!»»1»»!»й фокус У'. (р»»с, 43, б) и сосдннни получснну»о точку Г, с 1»я»»»аь»»» Х н У'. Так как и» чг= ог, то Хт.;+ -' ЛУ', —.- Р,",Р; < ХУ' » ХУ'». 1)р»» исограннчсннои удалении точки Л" вдоль касатсльной эа точку Х Х сунил Л'"У',- Х'У' несс! »»грнничс»»но растет, в сьг частности становится йяыис ХУ', + Л'Р'„. Слсдокатсльни, сущсстнуст точка Х', отличная от Х, такая, ч»о Х'У'»; Л"У' ау =-Л7' »- ХУ', То»ка -Ф г Х Л" л»».»»кна ир»и'ад "с »кать эллипсу, )1о это Х иснолмо»кно, так как касатсль»»аа»»о»»»»»с- Х ского ссчс»»»»»» нмсст с ни»а только од»»у общу»о точку. М»г У нрни»ли к иротнворс! ° »»»к». Итак, а» = иь, утвср»клеиис доказано.
У»на!»огич»»»гм саойау ст»»»ть» обладает тннсрбола. Имс»»но, светоРнс 43. вые лучи, исходяи»ие из одного Фокуса, после зеркального отражения от гиперболы каясутся исходящими из другого Фокуса (р»»с. 44). Соотвстстэу»ощсс о»»т»»»сскос свойство парабол»г состоит и тои, что лучи света, исходя»»»ие из 4эокуса, после зеркального от ражения от параболы образу»от параллельный пучок. В зак!»к»»сн»»с оайдсм фокусы эл!»»»»»са и».»»»»ерболь» э каиоиичсскои рас»»о»»о»ке»»»»н.
Уравнсн»»с эллииса х~ д-' — ! — ' ==1. ца у»з $6) воклльиып свойства копи гаских сачииий 59 с — расстояние от гсситра эллипса ло фокусов. расстояний вергпииы (О, Ь) от фокусов равна ~ д, Сумма расстояний всри1ииы (а, О) от фокусов 2а. Отсици Пусть Сумма 2 1~й' равна )/Ьз ~- се=а и, слоловатсльио, с .)/"ай-- У.
Уравнение гиперболы хз уе пэ Ы Упражнении (. Сбоспоиать следующий способ построении фокусов эллипса, Из вершины иа малой полуоси описывают окружность ралиусоа;, равным большой полуоси. Точи и пересечения втой окружности с большой осью эллипса и ес~ь его фокусы. 2, Пусть Х вЂ” ироиэнольиаи точка эллипса (гиперболы). Показать, ч~о отиошсиие расстояния фокуса от точки Х к расстоннию его от касательной и точке Х ие зависит от того, какой ичит фокус. Э.
Доказать оптическое свойство эллипса и гиперболы, опираясь на результат задачи 2. 4. Доказать оптическое свойство параболы, $. Найти фокус параболы в каноническом расположении. й. Найти директрисы коиическик сечений в каноническом расположении. 7. Показать, что все конические сечения йь, задаваемые урав- нениями лз уе — + -- — =-! аз+А Ьч+Х где Х вЂ” параметр семейства, софокусны, т, е. имеют общие фокусы. 8.
Показать, что через каждую точку плоскости ху, ие принадлежащую осям координат, проходит два коническик сечения семейства йь (упр. 7) — зчлппс н гипербола. Сравниваем разность расстояний от фокусов точки гиперболы с абсинссой с, гле с †расстоян ри от центра гиперболы ло фокусов, и разность расстоиипй веригины (а, О) от фокусов. ()рп атом лли рассгоииии с фикусов гиперболы ог се цси гра иолучаетси формула с =- ~ а~-,- У, (сл. пг конические сечения 9. Покяззть, что эллипс и гипербола семейства Й„ (уир. 8), проходящие через точку [хо, уа), пересека~огся в агой точке под прямым углом, то есть касательные к ним в точке (хч, да) перпендикулярны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
