1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 7
Текст из файла (страница 7)
$2. Конические сечения. Уравнения в полярных координатах Коническилл сечением пазь~яастся кривая, ио которой пересекает круговой конус произиольнаи плоскость, ис ироходяи(ая через его зерриину (рис. 26). Конические сечения обладают рядом замечательных свойств. Одно из иих заключаетсн в следуюи(ел1, Кпэкдое коническое сечение, кроме окружности, представляет собой геометРическое место толк плоскости, отноиеение расстояний которых от некоторой точки Р и некоторой прямой и постоянно. Точка Р называется фокусом конического сечения, а прямая и директрисой. [гл, ги коицчвскив сьчкиия Докажем это свойство, Пусть у — кривая, по которой илоскогть о пересекает конус (рнс. 27), Впишем в конус сферу, насакнщуюся плоскости а, н обозначим Р' точку касания сферы с плоск»стью, Пусть в †»скость, в которой лежит »кружиость касания сферы с конусом.
Возьмем на кривой у иронзвольиун> точку М. Проведем через точку М образующую конуса и об»значим В точку пересечения се с нл»скосгью а. Опустим, наконец перпенликулкр из точки М иа приму~о 6 пересечения пл»скостей о н а. Ркс. 27. Рис. 26, Утверждается, что кривая у по отношению к точке Р и прямой 6 обладает указанным выше свойством. Действительно, ГМ= ВМ, как касательные к сфере из одной точки.
Далее, если обозначить й(М) расстояние точки М от плоскости го, то АМ-. = — МВ;= — где а †уг между «(м) а(м) а~и,к в ' з)ПР ю нлоскостямн го и о, а р — угол между обраэу1ощимн конуса и плОскОстью га. АМ АМ Мир Отсюда следует что - = — =.—.—, т. е. отношение Гм ВМ =' к(и в ° АМ вЂ” — ие зависит от точки М. Учяержденно доказано, ЕМ В зависимости от того, каково отношение Х расс~ояний произвольной точки коннческого сечения от фокуса и директрисы, кривая иазываетск эллипсом (Х ( 1), параболой (Х =- 1) коиич!гокпе сгчеиии и гиперболой (Х ~ 1». Число Х иазываетси зк«цеигрп«итс«ои конического сечении, 11усть Š†фок конического сечения и 6 †е директриса (рис.
2В». В случае влни!св и !!враболы (Х ~1» все точки кривой располага!отся по олпу сторону директрисы, именно со стороны, где находится фокус «. Действительно, для всякой точки Л, расиолои«еииой с другой стороны директрисы, АГ АВ АА > АА>1 Напротив, у гиперболы (Х) 1) есть топ<и, располои«ениые по обе стороны директрисы. Гипербола состоит нэ двух ветвей, разделяемых директрисой. Рис, 28. Рис, 29, Составим уравнение конического сечения в полярных координатах, приняв аа иол!ос системы координат РО фокус конического сечения, а поляриу!о ось провелем так, чтобы она была перпендикулярна директрисе и пересекала ее (рис, 29». Пусть р †расстоян фокуса от директрисы.
Расстояние произвольной точки Л конического сечении от фокуса равно Р, а расстояние от директрисы р — р сов 6 или рсоа'(» — р, смотря ио тому, как располага!отся точки Л и Р— по одну сторону директрисы пли ио разные, Отс!ода уравнение конического сечении =к л — р сов Ф (гл. иг 40 коиичгские скчеиия в случае эллипса и параболы, — =~-Х (»а) и — р сов о в случае гиперболы (зиак + соответствует одной ис1ни гиперболы, а пинк — другой). Решая уравиепия (»), (аа) г/г Ф Х р 1+Хсозб — уравнение эллшка и параболы, -~ Хр 1) ° 1 ~ Хсозб Рис.
30, — уравнение гиперболы. 11а рис. 30 покалаио, как изменяется форма конического сечения в зависимости от зксисптриситста Х. Упражнения 1, Показать, что кривая, заданная уравнением а 1+асов 0-, Ьап д' представляет собой коническое сечен~ е. 11ри каком условии кривая являетсн зллипсом, гиперболой, параболой) 2. Составить уравнение аллипса, зная, что его фокус находится в полюсе системы координат рФ, по трем точкам (р„ О), р„ — ~, (р и? 3, Найти фокусы и директрисы зллипса, гиперболы, заданных уравнением Р 1+ шэз~6~ ~ 5Нпб' 4.
Пусть А н  — точки гересечеипя конического сеченпя с при* мой, проходящей через фокус Р. Доказать, что 1 — +— Аг" ВР ие зависит от прямой. б. Показать, что преобразонапне нпверснн параболы отиоснтельив фокуса переводит ее в кардпонцу (см. унр. 4 $1?. хглвнвния конических свчвиий 9 Э. Уравнения конических сечений в декартцвык коордниатак в канонической форме В 4 2 мы получили уравнении конических сечений в полярных координатах рО. Перейдем теперь к системе декартовых координат ху, приняв поднос О за начало координат, а полирпу~о ось — за иоложитсльиу~о полуось х. Из уравнений (») и (»») $2 для л~обого конического ссчсния имссм р""=Ах(ю — р соз 9)'.
Огс~одв, принимая во внимание формулы $1, устанавливаащис связь между полярными и декартовыми координатамк точки, получаем хх.(Ух=12(Р .л)2 иди (1 — Х~) х~,- 2рХ~л -г-у"- — Х-"рх = О, АР р»~ 3 (1 — У) х-1 — — ) +у' — - - - — -О. 1 — Р~ 1--Р Введем теперь новыс координаты х', у' по формулам х.( — "а — х ю У=У ю .что соответатвуст переносу начала в точку (- ~", о). Тогда уравнение кривой примет вид (1 — Ха) х'® -( у'х — — ~0 — -.
О. Илн, полагая для краткости 1~»рВ л, [1 — Х»)» 1~»р» 1»1 ю получаем следу)ощне уравнения: Это ура»псине зн»вительно упрощается, если сместить начало координат вдоль оси х соответствующим образом. 1'ассмотрим снач»л» случай эллипса и гиперболы. В этом случае уравнение (») можно записать так: [гл. и> конические сечения для эллиисп для гияердолет -"„' — Д вЂ” 1=о, Ипраметры и н Ь называются полуосями зллппса (гиперболы). В случае параболы (1=11 уравнение (е) будет иметь внд 2р, +у — р =О уз 2р ~ — -'-'~ '= О.
— г1 введением попых «оордлнат х- — х+ —, у=у У Р оио преобразуется к виду у'х — 2рх' = О. Полученные иамн в координатах х', у' уравнения копкческик сечений называются каиоиическил~и, Упражнения 1, Показать, что уравнение конического сечения с фокусом (ке. ует и директрисой ак+ Ьу+с О имеет ввд (к — кеР+ (у — уе)з+ й (ак+ Ьу (. с~э =О.
Для каких значений й это коническое сечение представляет собой эллипс параболу, гкиерболу1 2. 11усть К вЂ люб коническое сечение и à †е фокус. Пока- зать, что расстояние произвольной точки А конического сечения до фокуса Р линейно выражается через координаты точки к, у, т, е. Аг ах+К+у, где а, р, у — постоянные, 3. Показать, что лхзбая прямая пересекается с коническим сече- нием ие более чем в двух точках. 4.
Показать, что геометрп ческое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек постоянна, есть эллипс (см. упр. б Загл. Ц. ФОРМА конических сгчкпий 49 б. 11оказэть, что геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек постоянна, есть гипербола (см.,упр. б $4 гл. 1), 6. Что представляет собой геометрическое место центров окружногтей, кесвюгнкхск двух данных окружностей К, и Кэ! Рассмотреть различные случаи взаимного расположения окружностей К1 и Ке, в также случай вырождения одной нэ окружностей в прямую. ф 4.
Исследование формы конических сечений Элли пс— хэ —, + —, = 1 (рис, 31). а' Во.первых, заметим, что осп координат явля!отса осями симметрии эллипса, а начало координат †пеотр симметрии. Ркс, 31, Рнс. 32. Действительно, если точка (х, у) принадлежит эллипсу, то симметричные ей точки Отлосителыю Осей координат ( — х, у), (х, — у) и относнтелько начала координат ( — х, — у) тоже принадлежат эллипсу, так как удовлетворя!От его уравнению вместе с точкой (х, у).
точки пересечения эллипса с его осмин симметрии называются верапиакп эллипса. Весь эллипс содержится внутри прямоугольника ~х1 и' а, (у ! и,,в, образуемого касательными в его вершинах (рис. 32). действительно, если точка (х, у) впе прямоугольияка, то для иее выполняется по крайней мере одно нз неравенств ~Х~> а ИЛИ ~у~,ь Ь, НО тОГда кэ уз — + — >1 аэ Ь® н точка пе может принадлежать эллипсу. конических скчвния (гл, ги Особенно наглядно образование эллипса получается из окруж«ости «утек ее равномерного сжатии, Начертим на плоскости окружность х», н» ] (в) Представим себе, что плоскость ху раз«омер>ю сжимается от«оси>ельно осн х так, что точна (х, у) переходит в точку Рвс.
3>. рвс. 33. 1 г Ь (х, у), где х:. х, а у=--у. При этом окружность (») перейдет и некотору>о нрииую (рис. ЗЗ). Коордиивтн любой ео точки удовлетворяют уравнению ха уй а» Ь + 1. Таким образом, эта кривая — вллипо, Гнпербола— х» н» вЂ” — — - 4 (рнс. 34). Буквалько так же, как и в случае эллипса, ваключаем, что оси координат являются осями симметрии ги«ерболи, а начало координат — центроьт симметрии. Гипербола состоит из двух ветвей симметричных относительно оси у, рас«оло>кеиных вне прямоугольника ~х ~ ~ а, (у~ < Ь внутри двух углов, образова««их его диагоналямн (продолжениями диагоналей, рис, 35), ф 4) <РОРНА КОПИ~1 КСКИХ СХ'1Гиий Дсйствитсл1 но, Внутри 1грнмоугол1 ин11а ~ х ( и и, слсдоватслы1о, А~ к' а" Ьк — -' <1 т, е. внутри прнмоугольиика пст точек гиисрболь1, 11ст их в оставшейся заштрихованной иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
