1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 2
Текст из файла (страница 2)
( +) (++~ В пределах одного квадранта злаки обеих координат сохраня1отся и имеют значения, указанные иа ри- д $' сунке. (-,-/ (+.-/ 1'очки оси х (осн абсцисс) имеют равные пулю ордииаты (у), а точки Й' /9 оси у (осн ординат) — равные нулю абсциссы (х), У начала координат абсцисса и ордииата равны нул1о.
Плоскость, иа которой введены описанным выше способом координаты х и у, будем называть плоскостью ху. Произвольную точку на этой плоскости с координатами х и у будем иногда обозначать про- У сто (х, у), Длл произвольной пары вещественные чисел х и у существует, и притом единственнал, точка Л на плоскости д х ху, для которой х будет абсциссой„ а у ординатой, Действительно, пусть для определенности х~ О, ау с О. Возьмем иа положительной полуоси х точку Л„ иа расстоянии х от начала О, а на отрицательной полуоси у — точку, Л па расстояп1ш ~у ) от О, Проведем через точки Л .
и Л, ирямыс, иараллсльиыс осям у и х соответственно (рис. 4), Зти прямые иерссскутск н некоторой точке Л, абсцисса которой, пчсвилио, х и ордината у. В других случаях, например х ~ О, у ~ О; х ~ О, у ~ О и х ~ О, у < О, доказательство шгалогпчио.' !О пгямочгочьныг днкАгтоиы координаты на плоскости (гл. т Упражнения $, Где находятся те точки плоскости ху, для которых а) ~ х ~ =а, б) ~ х,'= ( у1 "г й.
Где находятся те точки плоскости ху, для которых а) ~ х,' с. а, б) ~ х 1 ~ а, ! у ~ с Ьг 3. Цайти координаты точки, симметричной А (х, у) относительно осн х, оси у, начала координат, 4. Найти координаты точки, симметричной точке Л (х,у) относительно биссектрисы первого (второго) координатного угла7 6, Как изменятся координаты точки А(х,у), если за ось х принять ось у, а за ось у принять ось хг 6.
Каи изменятся координаты точки А(х, у), ясли иачалокоордплат сместить и точку Аа (хо, уа), не меняя ианраалеиия осей координат 7. Найти координаты середин сторон каадрата, приняе аа ося координат его диагонали, 8. Иэаестно, что три точки (хь, у1), (ха, у,), (ха, у,) лежат иа одной прямой. Как узнать, какая из атнх точек расположена между даумя другимиу ф 2. Расстояиие между точками Пусть на плоскости ху дани дяе точки, А, с координатами х„у, н А, с коордииатамн х„у,. Выразим расстояние между точками Л1, Аа через координаты этик точек, Рис.
5, Рис. 6, Допустим, что х,~=х и у =Ф=у, Пропадем через точки Л, и Л прямыс, параллельные осям координат (рис, 5). Расстояние между тОчкАм!! Расстояние между точками Л н А, равно (у — у 1, а расстояние между точками ф и Л равно ~ х, — х» ~. Применяя к прямоугольному треугольнику А»ЛА» теорему Пифагора, получим (х, — х»)» - ( (у» — у»)» = Р, где й — расстоание между точками Л» и Л», Хотя формула (а) для расстояния между точками выведена нами в предположении х»чх'=х», у»чг'-.у„она остается верной н н других случаях.
Действительно, при х, = х, у, чг:у» (рис. 6) д равно ~у,— у ~, Тот же результат даст н формула (е). Аналогично обстонт дело при х„~х», у,=у», При х».=х», у,=у точки Л и А» совпадают и формула (и) даст 0=0. Упражнении 1. Как найти координаты точки на осн и, если она ранпоудвлеиа от двух данных точек А (х», у»), В (х», ух)? Рвссмотре»л »ример А (О, а), В(б, О). 2. Как найти координаты центра круги, описанного около треугольника АВС, заданного координатами своих вершин? Рассмотреть пример: А (О, а), В(б, 0), С(0, 0). 3.
Даны координаты двух вершки А и В равностороннего тре. угольника АВС. Как найти координаты третьей вершины? Рассмотре1 ь пример А (О, а), В (а, 0). 4. Даны координаты двух смежных вершин А н И квадрата А ВСЮ. Как найти координаты остальных вершин? Рассмо1 реть пример А (а, 0), В(О,Ь). 5. Какому условию должны удовлетворить коордняа1ы вершин треугольника АВС, ч1обы ои был ирямоугольныи с прямым углом при вершине С? б, Какому условию должны удовлетворять координаты вершин треугольника АВС, для того чтобы угол А был больше угла В? 7. Четырехугольник АВСВ задан координатами своих вершин, Как узнать, я»ляется он впнсапным в окружность или нет? и.
Доказать, что ири любых вегнественных а, аы ал, Ь, Ь», Ь имеет кесто неравенство ~ (а,.-а) .' (~,— Ы'-~- ~ (а,— а) ~р,—.)ь) р ~ М (а1 — а»)'+(Ь» — Ь»)' Какому геометрическому факту оно соответствует? 12 ОРям'~егпльпыР дакм'тпиы КООРдиилты на плоскости ггл. $ () 3, Деление отрезка в даииом отношении Пусть на плоскости ху даны две различные тачкя— Л (х„у,) н Л (х, у ). г(айдеж координаты х и у точки Л, делаи,ей отрезок Л,Л, е Отнои1внии Х1:ае, Пусть отрезок Л,Л» не параллелен оси х. Спроектируем точки Л„Л, Л на ось у (рнс.
7). У Имеоа1 Л А А~А Х~ АА» Л Л» ).» Так кои точки Л„Л, Л имегот соответственно то жо ордп наты, что и точки Л,, Л, Л, то А Л =~у1 — у~, АА .=-(у — у 1. Следовательно, 1У вЂ” У1 ((У-Уа( й. ' рис. 1. дтс1ода находим )»У»+й1У» Х,+Х» Если отрезок Л»Аа параллелен Оси х, то у, =уа =-у. Тот же результат дает и формула (+), которая, таким образом, верна прн любом распаложеинн точек Л, Ла. Абсцисса точки Л накоднгса аналогично. Для нее получается формула Х»х,- Хгт» Упражнения 1. Йаим координаты трех вери1ии параллелограмма (х„ у,), (х», У»), (х», У»).
Найти коорлииати четвертой вершины и ионтра. 2. Даий коордииа1ы вершин треугольника (х1, у,), (х», у ), (х», у»), Найти координаты точки пересечении,медиан. Так как точка Л лежит между Л н Ла, то у — у й у — уа одного знака. Поэтому У1 — У(, У1-У ~М (У. Уа( У У» Х» дГлдниГ ОТРРВкя 3 Лапы ююоорднннты середин сторон треугольника (х„у,), (х у ), (ха, уа).
11зю)тюю координаты перюпиюю. 4. Днп треугольник с верпюннзмн (х,, у,), (ха, уа), (ха. у ). Найти координаты першин подобного и подобно рзсиоложеиноюо треуголь- ника с коэффициентом подобая Х н центром подобия н точке (х, У ). б. Говорят, что точка А делают знеюнни,н образом онюрезок АюАа н отиошенюююю )„; ).„сслн зта точка лежит па прямой, сосдипяющсй точки А,, Ла, ннс отрезка А,Л, и отиоюпоиие расстояний ес от точек Л, и Л, рачююо Р.ю: Ха. 1!оказать, что коордннююты точки А через ко- ординаты (х„у,), (х„(юаю юочск А, н Аа выражаются по формулзы ).ахю — Аюха )"аУю )"юра ).,— Х, ' Х,— Хю 6. Показзтюь что координаты любои точки прямой, соединяющей точки А, (ха, у,), Аа(х,„у ), можно представить в вике «=-~хю+(! — 1)хюь у =1ую-,~-(1- 1) у,.
Какие значения параметра 1 соотнетствуют внутренним точкам отрез- ка А,А ирямойр Т,,ююзцн дзз отрезка коорднпатамн своик коннов. Как найти координаты точки, в которой пересекаются прямые, содержащие зти отрезки? Как узнать, не прибегая к чертежу, пересекаются отрезки или ююст? 6. Ценяюрам тяжести двух лююзсс!ю, и р„расположенных в точная Аю (х„у,) и Аа(ха уа), иазыиаетсп точка А, делящая отрезок А,Аз в отноюююеюьнюю р,:р,, Таким образом, ее коордиизты !юю«1 + Ряха )юзУ1+ РаУа у-- — — ' рю+(юа рю+)юа Центр тяжести л масс рю, расположенных в точках Аг, опре- дсляетсн по иююдукпююи, Именно, если А„' — центр тяжести первых и — 1 масс, то центр тяжести всеч н масс определяется как центр тнжестн двУ« масс: )юн, Расположенной п точке А„, н Р, +...
-~-(ю расположенной н точке А„'. Выиестп формулы дли центра тяжести масс )юб рзсго;юоиеппых и точках А;(х;, Ую), уюхю ! ° ° ° ч-!юнхюю )ююую+ °" -~-ИнУн !'ю -'; ° ° + (ююю !Ч+ " ° ~' !юн 9. Пугть А, (х„у,), А, (х„у,), Ла (х„уа) — три точки, пе ле- жащие на одной прююьюой. Доказать, что координаты лкюбой точки А плоскости ху можно предстзннть и энде «=.А х, ГГ йахю ю-Аахю, у= - ХОюю -ю-нар~-(-)ауа, где Х, ~-).а-ю-Ха=- 1, Числа ).„Ха, Хз пззьтинютсч бюююрююю(ент1ююю юегкимюю ноп!юдюююююююююолюи точки А. Точки Л„Аа. Л, пзэыпзаюгся бююлпенммн юююочнпмц бзрп- пепт Гнческойю спстечга координат ло рнсположчпы 1е точьи плоскости, у кочорык лю==0 (Ха==О, Х, =О)' Глс расююючюии"ююю.ю;очки, у которю.юх нсе бзрипсюююрпююеские коордппз.юы го:июжитсльиыа 14 пгяиотгольныя днклнтовы коотдпиаты нА плоскости (гл, г 1В. Найти барняентрнческне координаты точки пересечения медиан треугольника, точки пересечения биссектрис н точки пересечения высот, приняв ва базнсяые точки вершины треугольника.
$!. Точки А', В', С' делят стороны треугольника АВС, противоположные вершинам А, В, С, в отношении Х:р, р:н, т:А соответственно. Доказать, что прямые АА', ВВ', СС' нересекаютсн в одной точке. Найти ее барнцентрнческне координаты, приняв ва базисные кочки вершины треугольника. (Теорема Менелая.) ф 4. Понятие об уравнении кривой. Уравнение оируакиости Пусть иа плоскости ху дана некоторая линия илн, как говорят, кривая (рпс. 8).
Уравнение гр(х, у) = О называется уравнением кривой и меняной форме, если ему удовлетворяют координаты х, у любой точки этой Ф кривой и любая пара чисел х, у, удовлетворяющая ураанегппо гр(х, У) = О, представляет собой координаты точки кривой. Очевидно, кривая определяется своим уравнепнем, поэтому можно говоригь о задании кривой ее уравнением, Н аналитннеской геометрии часто рассматриваются две задачи: )) по заданным геометрическим свойствам кривой составить ее, Рнс. 8. уравнение, 2) по заданному уравне- нию кривой выяснить ее геометрические свойства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
