1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Так как 1по =А,, 1а а .=Аз, то Фз — й~ 1пО == — — —, 1+ В,в, Отс1ода онредслястся 6, гак как ~6~ С т1. Упражнения 1. Показать, что прямые ах '- Ьу+с=-О, Ьх — ау+с'=О пересекаются под прямыч углом, 2. Какой угол с осью х образует прямая Я у=-хс1да, если — — < а < Ор 3. Составить уравнения сторон правильного треугольника, приняв за оси координат одну из сторон и высоту, опущенную иа эту сторону. 4. Найти внутренние углы треугольника, ограниченного прямыми х-;-2у=-О, 2х — у=-:О, х-(-у:-1. ггсловпи пАгглллячьноГТИ ПРньгых 6.
При какоч условии ось х дли прямых ах+ Ьу= О, агх-~ а!у=О является биссектрисой образованных ими углову 6. Вынести длн угла 6, образуемого прямой х=аг+Ь, у=с!+Ф с осью х, формулу 7. Найти угол между прлмыыи, заданными уравнениями в пяреметрической форм: х=и,Г+Ь,, ~ х=сг!-г-й„ у.— ат! -г-ат, ! у =. ст(-г-Ич. В.
Показать, что четырехугольник, ограниченный прячымн :! ах;! Ьу ';с=О (а, Ь, с ге О), есть ромб. Оси координат являются его диагоиалнчн. ф 4. Условне параллельности н яеряенднкулярностн нряяых Пусть на плоскости ху имеем две прямые, ваданные уравнениями агх+ Ь, уг+ с, .— О, а х -- Ььр+ се = О. Выясним, какому услоннго должны удоялетворять коэффяцнснты уравнений прямых, чтобы прямые бнлн; а) параллельны, б) перпендикулярны.
Допустим, нн одна нз прямых ис параллельна осн у, Тогда их уравнения можно записать в форме у = Агх+1„ У "= АяХ+ !е~ !де ,, ае аа ' ' ° г Принимая но иинмиинс выражение длн угла между пращ!хм!, получим условие ггараллельности ггрлгиых; гс — й =О, е [гл. Ь а,Ья — а Ь =О.
Условие перпендикулярности лрямыя." 1+1„й, О, а а»+Ь,Ь» =.О. пли (»») Хотя условия (») и (»») получены в предположении, что пи одна из прямых не параллельна осн у, они остаются верными, если это условие нарушается. Пусть, например, первая прямая параллельна оси у. Это значит, что Ь, =О. Если вторая прямая параллельна первой, то она тоже параллельна осн у и, следоватсльно, Ь =О. Условие («), очевидно, выполняется. Если вторая прямая псрпенликулярна перво11, то она параллельна осп я н, следовательно, аа =- О, В этом случае, очевидно, выполняется условие (»»). Покажем, что если для прямы» выполняется условие (»), то они либо параллельны, либо совпадают.
Допустим, Ь, ч~- О. Тогда ив условия (») следует, что Ь, ч'- О, так как если Ь = О, то и а = О, что невозможно. При этом условие (») можно вапнсать так: а1 й» 1+ ----~ ~-- — ) —. О нли а, ~ ~ а» ~ ь, ~ ~ ь. / 1-:,-ЬА= О. Л этн значит, что нрямыс образуют примой угол, т. с. нерпе«дпкулнрны. что выражает равенство углов, образуемых прямыми с осьн) х. Следовательно, нрямыс либо параллельны, либо совпадают, Рслн Ь,=О (а значит, а,:~йО), то из (») следует, что Ь»=О. Таким образом, обе прямые параллельны осн у н, следовательно, либо параллельны друг другу, либо совпадают.
Покажсм, что условие (»«) достаточно для того, чтобы прямые были перпендикулярны. Допустим, Ь,-у'=О и Ьяч~=О, Тогда условие ( «) можно переписать так; Й 5) уРзяиеиик ИРямой в ноРилльиой ФОРмя З1 Если же Ь,=О (слсдовательио, а,-у~О), то из условия (»») получается аз=О. Таким образам, первая прямая параллельна осп у, а вторая параллельна оси х, и, следовательно, они псрпеидикулярпщ друг другу. Случай, когда Ь = О, рассматривается аиалоги ио. Упражнения 1. Лли того чтобы прямые ах- Ьу -с=О, а,х+Ь,у- с,=О были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы система зтих двух урзииений не имели ре~иения.
Вынести отсюда условие параллельности »Ь,— Ь«,=0. 2. Показать, что прямые, отсекающие нз координатных осях отрезки равной длины, либо параллельны, либо перпендикулярны. 3. Найти условие параллельности (пергеидикуляриости) иря- чыя; зад»1п~ых уравнениями в параметрической форне; Ф х=а,1 — 'а,, )' х=.а,! -1-«з, У- — - Р1)-)-Ь~, 1 У= ~»1.т-Ьт.
4. П»йтн условие изрзллельиости (перпендикулярности) пряных, один из которых зздаиз урависииеч «х ';Ьу+с=О, з другая уравнениями и иярзчетрической форме х — а!+)), у.=у1+б. 6. В сеиействс пряных, зэдзииых уравнениями а,х+ Ь,у+с, + Х (азх+ а~у-~с~) —.О (Х--периметр семейства), найти прямую, параллельную (иерпеихи. куляриую) прячой «х т-Ьу+ с=0. й 6. Взаимиое расиоложеиие прямой я точки. Уравнение примой я нормальной форме Иусть на глоскости х, у имеем точку Л '(.ч', у') и прянув л' ах+Фу+ с.=О.
Если топе» Л' лежит иа примой е; то ах'+ду'+с=О. 32 пеямак Выясним, какой геометрический смысл имеет выражение л(х', у') =-ах'+ду'+г, если точка А' не лежит на прлмой. Пусть Л'(х', у') и А" (х", у") — две точки„пс лежащие ла примой е'. Координаты любой гочки отрезь» Л'А" можно представить в форме х=1х'+(! — 1) х", у =(у' — '(! — 1)у", 0 ~1 ~~ ! 5 3, гл, 1), Таким образом, ддн любой точки Л отрсзка А'А" Й(х, у) =-И(х', у')»-(! — )) Ь(х', у"), г.слн точки А' и А" принадлежат одной полуплоскостн, то й (!) не обращается в нуль па отрезке !О, ! ~, Следова- тельно, по непрерывности Ь ~~ (О) —.— У .= !! (х", у") н Ь (! ) = й (х', у') одного знака.
Гслн А' и Л" принадлежат разным полуплоскостям, то Й(1) обращаетсн в пуль иа отрезке (О, 1) и, будучи линейной, принимает иа концах отрезка противоположные по знаку значения, т. е. Ь(х", у") и й (х', у') протпвоположпык знаков. Итак, выражение ах' )-Ьу'-~-с длл тачек А' одной из лалуплоскарс. !В, стей, ааределлемых примой е; палаисительно, а длл точек другой — отрица~ ельно, Чтобы выяснить геометрический смысл ~ ах'-~Ьу'+ с ), найдем расстояние точки А' от прямой е.
Опустим нз точки А' перпендикуляр иа прямую е (рис, 18», !!усть А (х, у„) †основан перпенлпкулира. Уравнение прямой А'Ао можно записать в форме д (х — х') — а (у — у') =О, В самом деле, зал»в»ем»я этим уравнением прим»я проходит Ф 5) прлвпкнпв прямой в понмлльпой Форма через точку Л' и перпендикулярна у; Отсюда Ь(хе — х') — а (Уо — У') = О. Так как точка Л, лежит на пряной у; то ахо г бУ9 ( с () О г сюда ах'-г-бУ тс=а(х хо) ~ б(У Уо) (»») Из равенств (о) и (ео) возведением в клалрат и сло- жением получается (ах' ~бУ'-„с)'=-(а'-;б')1(х' — хо)' )-(У' — Уо)'1- Таким образом, ) ах'+ ЬУ'+ с ~ =- 1' аа,- ба 6 (х', У'), где о(х', у') — расстояние точки А'(х', у') от прямой е; Игзк, величина (ах'---бу' 1-с~ пььим(нп -ла с»пи расстоянию точки (х', у') от арлмой ах+ бУ вЂ”,- с — б.
В частности, если а' + ба =- (, то указанная величина равна расстоянию точки от прямой, В этом случае говорят, что праман задана уравнением в нормальной форме. Очевидно, чтобы привести уравнение прямой ах -(- (>У + с . = О к нормальной форме, досз а «лпо разделить его на +1/аз+Да пли — 3Га'Ч бе Упражнения 1. Сосгавнть уравнение н нормальной форме прямой, проходящей через точки (кп рг) н (х», у,), й. Пусть (х„у,), (х„у„)'. (хз, до) — вершины треуголькнка. Внвестн формулу лля площади треугольника 1 о = — ! (х — ') (яе — у.) — ( — «а) (йч — у») 1 3 Ланы уравнения сторон треугольника и точка своими корр.
дннатапи. Как узнать, лежит ата точка внутри треугольника нлп вне его? 2 А. в. Погорелов !гав. т) 4. Показать, что расстояние между иараллельнымн ирянымн ах -г- Ьу + ст = О ах -г. Ьу+ ся =' О раз~в ! с,— с,! )~ах -г. ЬЯ 6, Составить уравнения прямых, параллельных пряной ах -~- Ьу .~- с —.- О, иаходягпихся от нее нв расстоянни 6. 6. Показать, что если лвс пересекающиеся прямые заданы урав- ичниямн в нормальной форме ах-1-Ьу — с -О, а1х-,-Ь1у ч-с~--О, то )равнение биссектрис углов, образованных имн, буду1 (а1х 'г Ь,у ) е~) (ийх ~ Ьху ")' ся) - О, 7.
Показать, что геометрическое место точен, расстояния кото- рых от двух данных прямых находятся н дяинои от~юи енин, состоит из дн)х прямых. Соствсить уравнение втих прямых, нзнй уравне- ния исходных прямых в иормааыюй форме и приняв отиои енин расстояний равным ).; р. Е 6. Основного задачи иа прямув Составим уравнение произвольной прямой, проходящей через точку Л (хы у,), 1)усть ах ~ - Бу + с —.— О - — урависиис искомой примой, Так как прямая проходит через тоску Л, то ахт -~ 8у т )- с = О, 13ыражая отсюда с и полстаиляя его н уравнение (и), получаем а (х — х,)+д(у — у1) =-О.
Очевидно, ирп любых а и Ь прямая, задаваемая этны уравнением, пронодит через точку А. Составим уравнение прямой, проходящей через две данные тачки А,(х„ут), Ая(х„у,). Так как прямая проходит через точку Л, то ее ууавиенис можно записать в форме а(х — х )+Ь(у — уД вЂ” -О, осповныв вАлячи ил инйиую '!ак как прямая проходит через точку Аа, то а(х,— х,) —;-д(уа — у,) =О, о ысуда уа й Ь к..- х„' и искомое уравнение х-х, у — у, — — =- О. х,— х1 у,— у> Составим уравнение прлмой, параллельной ах+Ау-;-с= О, проходящей через точку Л (х„ у>). Каково бы ин было А, уравнение ах ~-уу '-А= О залает иримув, иараллельиув наиной.
Выберем Х так, чтобы ~равнение удовлетворялось ири х=-х, и у =-у,: ах, )-6у, ~-Х вЂ”.О. Отсвла А = — ах1 — оу~ и искомос уравнение будет а (х — х,),- д (у --у,) =- О, Составим уравнение прямой, проходящей через заданную точку А (х,, у1), лерпендикутцзную прлмой ах-' ду с=О, При лвбом Х прямая дх — ау з-А =О иериеиликулярн» заданной прямой. Выбирая А так, чтобы уравнение удовлетворялось при х =- х,, у = — у„находим искомое уравнение: Ь(х — х,) — а (у — у,) =О. Составим уравнение прямой, проходящей через даннув точку Л(х,у,) и образующую угол а с осаю х ~а~ д' ~ 2'~ * Уравнение прямой можно записать в форме у —.— йх-( 1, Коэффициенты ч н ! нахолятся из условий фа=й, у,=Ах )-~. Искомос уравнение: у — у, =- 1). а (х — х,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
