1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 4
Текст из файла (страница 4)
4. Найти точки пересечения двух кривых, вадаппых уравнения- ми в параметрической форме: )х =. в» -~- 1, )' х = Р '(у= з, (у=-1+1. 6. 11оказать, что точки пересечении кривых ах'(- Ьу' — с, Ах» -т- Вув = С расположены симметрично относительно осей координат. 6. Ланы две кривые у, и у». Кривая у, задана уравнением н и«яаком виде га(х, у) О, где е (х„у) — некоторый многочлеп степени ке более и. Кривая ув задана уравнениями в параметрической форме х=ф Ю. у=%(1) ° где <р и»р-многочлены степени не более я. 11оказать, что если кри- вые у~ и ув имеют более ти обш,их точек, то припая у» целиком лежит на кривой уо то есть каждая ее точка является вмеоте с тем точкой кривой у».
Глава П1тяМАя ф 1. Общий вид уравнении мримой Праман линия является простсйигсй и наиболее употребительной из кривых. Сейчас мы покажем, что любая лрямая имеет уравнение аида ах ~- Ьу + с = О„ () еде а, Ь, с — постоянные. И обратно, если а и Ь не равны нулю одновременно, то существует прямая, для которой (и) будет ее уравнением.
Пусть А~(а„Ь,), Ан(ан, Ьн) — какие-нибудь две различиыс, симметрично рнсноложеиныс относительно данной прямой точки (рис, 13). Тогда любая точка А (х, у) примой равноудалсна от точек А, и Ан. И обратно, любая точка А, равноудаясннан от Л, и А,„ прннадясжит прямой, Отсвда уравнение примой (х — о1)н+ (у — Ь1)' ~ —- .(х — а~У+ Ь вЂ” д|)'. Переносн все члсны уравнения налево, раскрывая квадраты и производя очевидные упрощении, пояучнм 2 (о — а1) х + 2 (он — о ) у+ Рнс.
13. (ат ( 1~~ ай уй) Первая часть утвсрждсинн доказана, Йокажсм вторую часть, Пусть В1 и Вн — две различные точки плоскости ху, координаты которых удовлетворяют уравнению (н). Пусть а,х+Ь,у-(-с =О уравнение прямой ЕЩ. 1 ОВ1ций Вид уРлвиания пРямОЙ Система уравнений лх+ Ьу+ с = 0 1 аах+Ь,у+ст — — 0 ~ (»») совместна, сй заведомо удовлетворя1от координаты точки Ва и координаты точки В . Как известно из элементарной алгебры, совместная система двух линейных уравнений имеет либо единственное ре|нейие, либо (если реп~ение нс единственное) одно уравнение ивляется следствием другого, то есть получается из него умножением иа некоторое число, Система уравнений 1»») имеет по крайней мере два реп~ения.
Следовательно, уравнение ах+ Ьу+ с = О являетск следствием уравнения а1х+Ьау+с =О, а зйачнт, Прямая В1Ва задается уравнением ах+Фу+с =О. Вторая часть утвсржденпк доказана. Унражнения 1. 11окааать, что ураииепкен ааха+ 2»Ьху+ Ь'уа — са = О удовлетворяют условию АЬ вЂ” ад =-О, то прямые параллельны, т, е. ие пересекаются. 4, 11оказать, юто любая прямая допускает задание уравнениями в параметрической форме х.=ат+Ь, у=ст-~-И (свь упр.
6 $3). В. Радакалвиай агвю двух окружностей называется геометрическое место точек равных степеней относительно этих окружностей задается пара прямых. Найти уравнение иаждой прямой п отдель. ности. й. Кривая у задается уравнением та1х, у) —.О, где а — миогочлеп степени я относительно х н у. 11окааать, что есян кривая у имеет с некоторой прямой более л точек пересечения, то она содержит ету прямую целиком. 3. 11окавать, что есля ковффкциенты уравнений двух различных ирямых ах 1 Ьу-~-с=О, Ах-~-Ву+С=О [гл. и прз)мвн (см уир. 3 2 4). 11оквзать, что радикальная ось есть прямая. Если окружности пересекаются, то оив проходит через точки пересечении, 6.
11усть имеем две окружности: хв-)-уз+ 2а)х 1 2Ь,у+с, =О, ха+ уз-~-2авх -,"2Ьту | сз---О. 11оквзать, что все окружности Х (ха+ уз- 2а,х-)-2Ь)уч-с )+ р (х'-1 у' ! 2а,х-г-2Ь:у -'св)=-0 9. Показать, что при инверсии окруж)|ость переходит в окружность илк прямую (когда в прнмуюг). 10. Найти координаты точки А', симметричной А (хв, ув) относительно прямой ах-)-Ьу-)-с=О. 11. Показать, что три пряные а,х+ Ь!д '-с, =О, а,х — 'Ь,у-|-с,=О, авх+ Ьву ч-св =0 имеют общую точку тогда и только тогда, когда ас Ь, с, ав Ьв св ав Ьв св =0 12 Показать, что тр)1 то')к|| (х) ° у)) ° (х)), ув), (хв, ув) лежат ив одной прямой тогда и только тогда, ког„а х, у, 1 х, у, 1.=0 ! хв уэ ) 3 имеют одну н ту жс рвдиквльпуи) ось. 7. 11оквзать, что геометрическое место точек плоскости, разность нвадрвтои расстояний которых от двух данных точек постоянна, есть прямая.
8. 11реобрвзоваиие инверсии относительно окружности с центром О н оадиусом )с закл|очается в сопоставлении каждой точке А то;- ки А луча ОА такой, что ОА.ОА' -)тв. Пусть О находится вначале координат. 11оказвть, что координаты точки А' выражаются через координаты точки А ио формулам. ратх, )с'у х —.- — - у х'+у' ' х'+у' Раслоложяние пРямОЙ ф й. Расположение примой относительно системы координат Выясним, какие особенности в расположении прямой относительно системы координат иисюг место, если ес уравнение ах-! Ьу+ с =-0 того или иного частного вида. 1. а=О. В атом случае уравнение прямой можно переинсать так: У=- — ь Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ор- с 1 динату — - †) и, следовательно, пряма» параллельна оси х (рис.
14, а), В частности, если и с =0„ то пряма» совпадает с осью х, 2. Ь =- О. Этот случай рассматривается аналогично. Лр»- ма» параллельна оси,у (рис, 14, 6) и совиадаег с нед, если и с=.О. 3, с =О, Прямая проходит через начало координат„так как его коордииагы (О, 0) всегда удовлетворяют урви~синю прямой, если с=-0 (рис, 14, в), 4. !!усть всс коэффиииситы уравнения прямой отличны от нуля Ьрямая нс проходит через начало координат н ис цзрлллсльил ии оси х, ии оси у).
То~да, 1ииожая 1 р.инсиие пгпмля на 1/с и полагая — с)а=а, — сф = (т, приводим его и виду — + — =1 х у (в) Ковффициептж уравнения прямой в такой форме нмекзт простой геометрический смысл;и и (з с точностью до зкакаравкеа длинам отрезков, которые прямая отсекает на осях координат (рис.15). Действительно, ось х (у=0) У прямая пересекает н точке (и, 0), з ось у(х=-О) — в точке (О, )1). Увражиенкя 1. 11ри каком условии прямая ах+Ьу-,-с="О пересекает положительную полуось (отрицательную полуось х)7 2. 11ри каком условии прямая ах+ Ьу+ с О Рнс. 16.
не пересекает первого координатного углаз 3. 11оказать, что прямые, задаваемые уравнениями ах+ Ьу+с =О, ах — Ьу-~-с —.- О (Ь уь О), симметрично расположены относительно осн х. 4. Показать, что прямые, задаваемые уравнениями ах+ Ьу+с--О, ах+ Ьу — с= О, симметрично расположены относительно начала координат. в. Задан лучок прямых ах+ Ьу+с+Х (а,х+Ь,у-(-г,) =О.
Выяснить, прн каком зиачспнн параметра Х прямая пучка параллельна осн х (оси у), при каком Е проходит через начало координат, 6. При каком условии прямая ах-~-Ьу+с=О вместе с осями координат ограничивает равкобедренпый тре)тельник? 7. 11окаЖть, что площадь треугольника, ограниченного прямой, ах+ Ьу ! с-= 0 (а, Ь, с Ф О) $3) угол между пРямыии к осямк координат, 2 ~аЬГ В. Найти касательные к окружности «е» уэ+ 2и«+ 2Ьу = О, параллельные координатным осям. ф 3. Уравнеине примой в форме„разрешенной относительно у.
Угол между нрнмымн При движении вдоль любой прямой, не параллельной оси у, в одном направлении х возрастает, в другом убывает. Направление, соответствующее возрастанию х, назовем положительным. Пусть на плоскости х~ имеем дне прямыс — а1 и де, нс параллельные оси у, Углом 6 (д"„ае), образуемым прямой уе с прямой и,, мы будем называть угол, по абсолкггной величине мсныиий тт, У па который пало повернуть прямую р„ чтобы положительное направление на исй совместить с иоложнтсльным направлением и.
11ричсм угол считается положительным, если ирямаи и, поворачиваетсв н том же направлении, в й и котором иоаорачивастсн на угол положительная полуось хдо совмещения Ряс. 1б. с положительной полуосью у (рнс, 15). Угол между ирлмжми обладает следующими очевидными свойствами: 1) О(д', К.) = — О М., д;); 2) 6(д'„д,) =О тогда и только тогда, когда иркмце параллельны или совпадают; З) Е(к„д,) =-О(д„д;)+ Е(д„Д,). Пусть ах+Ау+с=О прямая, не параллельная оси .р(ЬФО). Умножая уравнение цряиой на 1ф н полагая — а/Ь =.-А, — с/Ь= 1, приводим его к виду у=М+!. (е) (гл. и пгямА» Козффнцненты уравнения прямой в втой форме имаот простой геометрический смысл; А — тангенс угла а, образуемого лряжоа с осьго х, а 1 — с точносз ью до знака отрезок, отсекаемый прямой на оси у.
В самом деле, пусть Л1(х . у,) и Лз(х, у ) — две точки иа прямой (рнс. 17), Тогда 1да= -у'- х,— х, Ухе -~ 0 — Ях~+ 1) А х,— х, Ось у (х == 0) прямая, очевидно, пересекает в точке (О, 1). Пусть иа плоскости ху даны д лво прямые: у=А,х+1„ Рис. 17, у= кзх ~-~з. 11айлем угол д, который вторая ирямаи образует с первой. Обозначая а„ н ц углы, образуемые прямыми с осью х из третьего свойства угла мсжду нрямымн, голучасм 6 — о, — а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
