1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Рассмотрим эти задачи в применении к простейшей нз крнвык — окружности. Пусть Ле (хр, Ур) — произвольная точка плоскости хУ и й — любое полонсительнос число, Составим уравнение окружности с центром Л н радиусом й (рис. 9). Пусть А (х, у) — произвольнан точка окружности, Ее расстояние от центра Л, равно й. Согласно % 2 квадрат расстояния точки Л от Л, равен (х хе)з ~ (У У„) . Таким образом, координаты х, У каждой то гкн Л окрунгпости удовлетворяют уравненгпо (" хе) -1-(У Уа) («) ПОПЯТИВ ОГ Уич~нт!1нп КРИВОЙ Обратно, любек точка Л, координаты х, у которой удонлатворятот уравнению (н), принадлежит окружности, так как ее расстояние от Ле равно Я'. Ц соответствтт с данным нташс определением урааненгта (в) есть уравнение окружности с центром Ле и радиусом Я. Рассмотрим теперь вторую задачу дл» кривой, вадшшой уравненнехт У хв+ув+2ах+2Ьу-т-с = О (а'+Ьа — с > 0).
Уравнение кривой можно переписать в следующей экяквалентной форме: (х+а)в+(у+ Ь)в — ('~~ае+Ь"- — с)е=О. Из этого уравнения видно, что каждая точка (х, у) кривой находится па одном ~~ 'гом же расстоянии, Рис. 9. равном угах+ Ьй — с, От точки ( — а, — Ь) и, следовательно, кривая предстаоляет собой окружность с центром ( — а, — Ь) и радиусом )~"ав+Ьх — с. 1 Унражненпн 1. Составить уравнение геометрического местя тачек, атнаЪепне расстояний натарык ат двух данных тачек (х„у,), (хв, у,) постоянно н равна А ~1.
Чта представляет собой вта геометрическое места точек? 2, Канне особенности в располажшшн окружности хт-(-ув+2ах-) 2Ьу-'- с=О (а'-т-Ьт — с ) О) относительно системы координат нме~ат место, если 1) и —.О; 2) Ь=.О; 3) с=О; 4) а=О, Ь=-О; й) а=-О, с -О; 6) Ь=О, с-.О. 3. Показать, чта если н левую честь уравнения окружности (х — а)'-(- (у — Ь)в — 1т'=- О подставить координаты л~абай тачки, лежаксей впе кРуга, та получится квадрат касательной.
проведенной нв втой точки к окружности. 4. Степенью точки А относительно окружности аазыяаегся произведение отрезков секущей, проведенной через точку А, взятое са знакам + (плюс) для внешних тачек н са знакам — (минус) для ' впутршшнх. Показать, что левая часть уравнения окружности х'-т-у'-~-2ах+2Ьу-) с= О 1В дт»»нмоугол1 иие д«кАРтоиы иоогдпнАты нА плоГкйстн»гл, т прп иодстнпопкс и иег ьоордин«т произвольной точки дает степень этой точки относительно окружности, Б.
Состнвить уравнение геометрического мест» точек плоскости хр, сумм» расстояний которых от двух днниых точек Рд[с, О) и Р,( — с, 0) постоя1иьз и равна 2а (эллипс). Показать, что уравнение приводится к аиду хх ут + -.— =1, ах»уд где Р= ах — сз, 6. Составить уревпеиис геометрического месте точек плоскости ху, разность расстояний которых ог двух денных точек Р,(с, 0», г'д( — с, 0) постоянна и равна 2а (гипербола). Покззвть, что уреипение приводится к «пду х' ут .— — — =-1, а" Ьз где И=се — аз.
7. Составить урявиеипе геометрического места точек плоскости ху, рани«удаленных от точки у(0, 2р) и оси х (парабола). 8. Пусть х'-»-у'+2ах-,-2«у-д-с=О, хз-~-у'-';2адх+21»ду-~-сд=Π— урин««пня двух окружностей. Показать, что любая окружность, ироходяидая через точна пересечения д«ух денных, задается уравнением вида »» (хе+ уз -»- 2ах+ 26у ~- с) -»- р. (хз -'; уз+ 2адх+ 2Ьд у -~- сд) = О, где 1» и р — постоянные. Показать, что окружность, проходящая через точку пересечения двух данных и точку (х„у,) плоскости, звдвется уравнением еэ (х» у) едд (хе» ув) че (хе ° ув) едд (хду) 0» где дли кратности левые части уравнений да«пыл окружностей обозначены ьд и ьд,.
(а 6. Уравнение иривоуд 8 иараметрической форме Представим себе, что точка А движется вдоль кривой, Пусть к моменту 6 ее координаты х =-гр(1) я у= ф (1). Систему уравнений х ~р (г), у = ф (Ф), задающую координаты произвольной точки кривой как функции параметра 1, называют уравиеаия»ии кривой и параметрической Форме. Параметр 1 не обязательно время, вто может быть любин другяи величина, характеризующая положение точки на кривой. уелвняиин кривой Составим уравнение окружности в параиетрнческо(1 форме. Пусть дсптр окружности находится в начале координат, а радиус равен Я.
Положение точки Л па окружности мы будем характеризовать углом а, который образует радиус ОЛ с положительной цолуосшо х (рнс. 10), Очевидно, координаты У точки Л равны й сов и, Изп1 и и, следпвз~сльпо, уравнение окружности х = )с соз и, у =- й з.'п а, Иися урзвпспис кривой и параметрической форме: х = у ((), р = ~р (~), (+) можно получить се уравнение н неявной форме: ~(х, Я =-О.
Рпс. 10. Для зтого достаточно исклк>чнть параметр 1 нз уравнений (и), найдя его из одного уравнения и подставив в другое, илн другии способом. Например, чтобы получить уравнение в неявной форме окружности, задацпой уравнениями в параметрической форме х=йсоза, у=)сз1па, достаточно возвести оба равенства в квадрат и сложкть почлснво. Тогда получим знакомое уравнение хе+уз = Йз. Унрзмнеиня 1. Показать, что уравнениями в параметрической форме к.=И соз1 1-а, у=- Р з1п 1+6 задается окружность радиуса ?? с центром в точке (а, э). 2.
Составить уравнение кривой, которую описывает точка отрезна длины а, делящая его в отношении Х:р, когда копны отрезка скользят по координатным оснм. Припять в качестве параметра угол, образуемый отрезком с осью х, Что представляет собой кривая, если Х:р.=1? 3. Треугольник двумя снонмв вершннэмн скользит о координатным осям. Составкзь уравнение кривой, которую прн зтои описывает третья вершнпз (рнс. 11). $8 ппаыоугольпык лкклптовьт пооодкйдтьт нл плоСкости (гл, ! Ота. х =асов(+Ь а!и (, у=Ь в!и!+Ь сов(, где а, Ь, А и парез(етр 1 имеют зпачениа, указанные на рпс. 11.
Рпс. 12. Рис. (1. 4. Состаяпть урвппекае кривой, которую описннаетточкв окружности радиуса И, катящейсн по осн х (рнс. 12). 1!ркиять в качестве параметра путь з, пройденный центРом окружности. Считать, что я пачальпый момент (в.=,О) точка А совпадает с началом координат. Гх, в~ / Отя. к=-Я ~.-'- — а!и — ~, у =К ~! — соа-- (цпкюкди).
~т л~ ~ ж б, Крняан задана уравнением ахт -~- Ьху-)- суэ -)- Лх-)- еу= О, Показать, что введением параметра 1= — можно полу 1пть слеу дующие уравнении этой кривой я параметрическо!! форме~ Ы-(- И й -1- е!' у=- — — — ' а ';Ь! )-сл ' и !-Ь(+ сР 6. Покивать, что эллипс хе уе — + — '=1 (упр, б $ 4) дт ' Ьэ допускает параметрическое задание х=асов(, у =Ьа!и!. Х 1!оказать, что гипербола ха уй — — —.
=-1 да Ьа (упр. 6 допускает параметрическое эадапяе х=асЫ, у-*ЬзЫ, точки паевоачяиия кеивык $ В. Точки пересечении ирииви Пусть в плоскости ху даны две кривые: кривая у~, заданная уравнением Д (х„у) =О, и кривая 1х, заданная уравнспием ~,(х, У) =-О. Найдем точки пересечения кривых у, и ух, т. е. координаты зтих точек.
Пусть Л (х, у) †тач пересечения кривых у и ух. Так как точка А лежит на кривой у„ то ее координаты удовлетворяют уравнению ~' (х, У) — О. Так как точка А лежит нв кривой ух, то ее координаты удоалстворнют уравнению ~х(х, У) =- О. Таким образом, координаты любой точки пересечении кривых у и у удовлетворяют системе уравнений Л (х, У) =- О, ~', (х, У) = О. Обратно, любое вещественное реп~ение втпй системы уравнений дает координаты одной из точек пересечении кривых. Аналогично в случае, если кривая у1 видана урависвнси Л (х,у) =О, а кривая у уравнениями в параметрической форме х=~РР) У ФЮ, координаты х, у точек пересечения удовлетворяют системе трех уравнений У,(х, У) =О, х =-у(~), У= ф(~).
Если обе кривые заданы уравнсниами в параметрической форме 'Р1 Ж У =. тр~ (~) Т.; х=н;,(т), У=-фв(х), 2б и!'ммоуГОл! иыГ дГклРтов14 кйОРднилты НА илоскогти !Гч ! то координаты х, у точск исрссс >спия удонлс!воряк11 сис1сме «1стьврсд уравнений: х — 11, (К), ! = Ь! (К); х 11:.,(т), у=ф~(т). П рпмс р. Най1и 7!1чки пересечения окруии1ос7сй х'-'-1-у'"'=. 2их, х -'! 3Р =-2Ьх. Вм ипаи уравнении но 1.7сиию, находим ах — Ьу. и Подставляя у= — х в 1и риое уравнение получим Ь а' '! ь-/ ' 1 ~-.-- . х'-' — 2ах —.-О. Отек!да 2иЬэ х=-О х 1 9 а ай„.ьа ' Им соотнетству1от 2ЬИЗ У~ О.
Уа — яз ~,з ' ( 2аЬ' 2Ьа' Искомые точки пересечения (О, О) и ( —— яа. ЬФ 3 нФ! Ьа / Кривая своим уравнением Оирсдслена однозначно. 11аиро- тин, один н та жс кривая может задаваться разин 1и! 1ч!! уравнениями, Именно, если ~ (х,у) = 0 — уравнение кривой у и ~а(х, у)--Π— лгобое эквивалентное сну уравнение, т, е. имс1о1цсс те же рс1испня (х, у), что и /;---О, то оио, оче- видно, тоже будет уравнением кривой.
И обратно, ссди кри- вая задается уравнениями ~',(х, у) =0 и ~а(х, у) = О, то, вти уравнения эквивааеи1иы, т. с. Каждое ров!ение (х, у) первого уравнения будет реп!синем второго уравнении и наоборот. Приведем иример, 11усть Д!(х,у) и Д (х, к) — две фуикинн, Оирсдснснныо внутри кв11драта ~х~ ~~1, 1у ~ а::1 равенствами ~; (х, у) = х'+у' — 1 ~ х — $'1 — у', ссии к~~О, Л(х У) =! 1 х 1-),~1 — у'-', сС!1И Х.: О, 1)крт11«1И1с1Ь Г ис«и!р1ги и начале !«Оорлии«7'!" и радиусом 1 м1ы«с7 Г1!Г71«311д«и!11 и )11111:11ин!с«! ~! (л', у) == О, и урк1чгс11исч ~;,(Х, !'..
$ 6! точки пяРеснчГния кРивык Унражнення 1. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты урав- нения окружности х'тУ т2ах-~-2аУтс=О для того, чтобы окружность а) не пересекалась с осью х; Ь) пересекалась с осью х в двух точках; с) касалась оси х? 2. Канону условию должки удовлетворять коэффициенты ураи- пепнй окружностей х», у», 2л~х ~ 2а,утс1 О, х» -',- у» т 2иэх -~-26»у 1 с» = О, чтебы окружности пересекались, касались? $. Найти точки п«ресечепия двух окружностей: 1) х».1 у»=1; 2) х=со»1т1, у=а(п1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
