1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Показать, «то кривая третьего порядка иа»о«»с»а» — йа»„а,»а1» — — О пересекается с кривой у в шести точках А;. Показать, что подходящим выбором параметра Х можно добиться распадения кривой третьего порядаа на кривую у и прямую. 6. Доказать теорему Паскаля: три точки пересечения прямых а,а и о»», и», и о«», а»» и а»» лежат иа одной прямой (рис.
46), Глава И ВЕКТОРЫ ф $. Сложение и вычитание векторов Пол вектором мы бухем понимать направленный отрезок (рпс, 471. Иаправлсппс вектора указывается стрелкой. Точка Л называется началом вектора, а В в комцом. Дпа вектора считаются равными, если один из пих может быть получен параллельным переносом из другого (рпс. 48). Очснплно, если вектор а равен Ь, то Ь равен а.
Если а раасн Ь, а Ь равен с, то а раасн с. р пс. 4п. Два вектора называются одинаково направленными (противоположно направленными), если онн параллсльны н у ра1ппля нм векторов, имскпщнх общее начало, концы располагаются по одну сторону от начала (соотвстствснно по разные стороны от пачала1. Длина отрезка, изображающего вектор, называется або о,иатмой величиной вектора.
!!улевым вектором называется вектор, у которого начало сспп1аласт с концом. Нля векторов вволятся операции — сложение н вычитание. Писппо, суммой двух векторов а и Ь называется вектор и - Ь, который получается из векторов Ф и Ь или равных пм векторов так, как показано на рнс. 49. Сложение векторов коммутативно, т. е. для любыл векгоров а и Ь а+Ь=Ь+а (рнс. 50). (гл. иг вгктогы 4. Показать, что три вектора го ге. гя заяясимы тогда и только тогда, когда для иях выполняется условие («). б, Показать, что для любых четырех векторов (г,г,) ° ° (г,г,) -О. (г,гг) ° ° (г,г«) б, Пусть („..., Е,— четыре луча, искодя1ияе из одной точки, агу — угол между лучами 1г и !у. $!мест место тождество соя м! соя сг1з газ а1 ,созии Показам ~ . ф 4.
Векториос произведение векторов Ленгорным лроитяедениеч нсктороя й и Ь иазывается исгг1 гр гтхЬ, опредсляемый слс !ующим образггч. Если хотя бы один из векторов й, Ь равен нулю или векторы параллельны, 1о о! хЬ == О. В других случаях этот вектор ио абсолютной велич!гие рокси площади параллелограмма, иостросииог иа векторах й, Ь, и иаираялсгг иериеидикулирио плоскости этого параллелограмма а' так, и го я(гзгисиие и иаираялеиии ог а к Ь и иаправлсиие гз>:Ь образу!от <правый яинть (рис.
5Ц. Ь Изоиределенич оенторноао произ- ведения нелосредстеенно лояучаегся: анЬ !) ихЬ= — ЬХа; 2) !' й Х Ь '' = ( й !' ! Ь !' а> п О, ! де Π†уг, образуемый вектор~ми Рис. бб. а иЬ: 3) ().гз) >;Ь=-Х(ихЬ). Проенциег1 вектора й иа плоскость называется яск1ор га', начал гч кит >)ьгго является проекция иачала вектора й, а копи ~и — ~ р!скиия каипа вектора й. Оченилио, равные векторы и.и.гог раоные проекции. проекция суллы венгороа раина сулле проекций (рис. 57), Ф 4) вактоРноя пгс<извад«ния В«КТОРОВ 7я Пусть имеем два всктора а н Ь.
Обозначим а" проекцию вектора й на плоскость, перпендикулярную вектору Ь (рнс, 58). Тогда ахЬ=а'хЬ. Доказательство очевидно. Лостаточио заметить, что векторы йХЬ и й' х Ь имеют равные абсолютныс величины и одинаковые направления. Рис. 58. Рнс, 57. Векторное лроиаведвние обладает свойством дистрибутив- ности. Именно, для любых трех векторов й, Ь, с (й+ Ь) х с-- а х с+ Ь хс. Утверждение очевидно, если с=О. О невидно, лалсс, п<> равенство («) достаточно показать для случая 1с( =- 1. так как в общем случае оно тогда будет следовать нз упомянутого выше свойства 3, Итак, пусть )с1=-1, Обозна- а'+д' чин а' и Ь' — проекции векторов а и Ь на плоскость, псрпсндно кулярную вектору С (рис. 59). Тогда векторы а' хс, Ь' х с и (й' -,'- Ь') Х С получаются нз векторов а', Ь' и а'-<-Ь' соотвстственно поворотом на угол 90'. И, следовательно, а'+ Ь') хс — — а' хс+Ь' хс.
викт отч> (гл. >ч $ 2. Ув>кожанке вектора иа число Для векторов оиредслястси операция умноженпя на >ясно, Именно, произведением вектора а на число Х называется вектор ад =-Ха, абсо:»отпав величина которого ) Ха) =-~ Х 1) а1, а направление совпадает с н.апрааленисм а илн противоположно ему, смотря по гому К.: О или А ~ О.
Прн Х=-О нлн а==О считаем Аа равным нулевому вектору. Умножение вектора нв число обладает свойством ассоциативности и двггмя свойствами дистрибутивиости. ИА>енно, для любых чисел Х, р и векторов а, Ь г (1>а) =-(М а (псеоцивтивность)р (1+1>) а=Ха+1>а ~ (дистрибутивность). ат )= т >(окажем эти свойства. Лбсолютные величины векторов Х (ра) н (Х1>) а одинаковы н равны ~ Х 11 р,)) а(,11аправлсиия этих векторов либо совннда>от с направлением вектора а, сслн Х н 1> одного знака, либо противоположны, если Х и 1> разных знаков.
Таким образом, векторы А фа) н (Хр) а равны но абсолютной вечнчине и одинаково направлены, следовательно, равны. Если хо гя бы одно из чисел А, 1> или вектор а раасн нул>о, то оба вснтора равны нулю н, слсдовате»ьно, равны друг другу. Лссоцнативность доказана. >'(окажем теперь первое свойство дистрнбутпвностн: (л+1>) а=-г.ат1>а !'анснстно очевидно, если хотя бы одно нз чисел А, 1> или вектор а рзвсп пулю.
1!овгому можно считать, что Х, 1>, а отличны от пуля. Если Х и р, одп<н'о знака, 1о векторы Ха и 1>а одинаково напр»»»сны. Поэтому абсолютпан величина вск1ора Ха 1-ра равна 1Ха1 — ~1>а)=-1ХЦа) (1> 11а,'.=()Х)+~1>)))а).
Лбсолютпаа величина всктоР» (Хт(>) а Ранна ',1+1>~',а~ —— = (~ Х ~+ > 1> )) ~а ~. Итак, абсолютныс величины векторов (1+1>) а и Ха->-1>а равны. Их направления тоже одинаковы, Именно, прн А» О, 1>» О их направления совпадают с направлением и, а нри А (О, )х с'. О противоположны а. Случай, когда Х и 1> разных знаков, рассматривается аналогично. умно!гггииг вг!сто1»а ич число Х(а '-Ь)=Ха ! ХЬ, Пусть а и Ь вЂ” мснараллсльш!с нсвт»ры, Тогда мри Х -! О не!свор АВ (рис. .531 изображает с одной ст»ромы Ха~- Ю, с другой — ХЛС, равный Х(и '; Ь), 11ри Х,О»>ба вектора меня!от направления !!а Рис. 53, нротивоиоложныс. Упражнения 1, Век!оры г„ге,... иазыва!отея данейко незаоисимыми, если ке су!!!ег!пуст чисел Х„Х,„..., !!! коих но крайней иере о;!но от* ги нго ог муля, и такнь, что 1» ю -~ )„ге+.
° ° =. О, 11оказать, что дча вектора мезеннснчь! тогда и только зогда, когда нн»1лнчмы от нуля н ме параллельны, Пик!зать, что трн вектора независимы тогда и только зогда, когда онн отличны от нуля и ие существуег параллельной нм илос. кости. 2.
Пок»ззагь, что !!избыв трн нгягора, лезкан!!!е в одной плоскости, нсггда завис»!иь». Показ'пь, чго лгобые четь р; и» ягора исегда зависимы. 3. Показать, что если даа век!ора н плоскости г, и гз нсзавнснл!ы, зо .!вбей вектор г н э!»й !:лоскостн лннеГгно выражается черо! г, и г,: г —,".,г, + Езг,. Числа )! и 1., определив-,сг одиозна и!о. 4. 1!Оиаз!т!»» '!то если трн !Икзорз Г!» гз» Гз не !аннсн'н!, То л!обг»й вектор г через инх одиозна гио в!"ражастся в анде г= )!"!тМ+)з'з.
Докажем второе свойство дистрибутивиости; т (а-' Ь) '=-)!ат)сЬ Свойство очевидно, если один иэ векторов или число Х раино иул!о, 1'.сли векторы а и Ь параллельны, то Ь можно предатавить в вндс Ь=)га И второе свойство дистрибузивности следует из мерного. Действительно, В Х(1 ' )!) а=- Х(а,'- ра) —.Ха-'-Л)!а. Отс!ода йГКТОР> ° (гл, %ч ф 3, Скалярное проиаведсиис векторов Углом мс клу векторами а и Ь называется угол между векторами, равными й и Ь соответственно, имсюи>ими оби>ес начало (рис, 54).
Скалярны>л произведением векторов а и Ь называется число (аЬ), равиос произвсдсгиио абсолготиых величии векторов иа косииус угла мсжду ними, Сналярмае произведение абладаег следдющиаии очевидными свойствами. Ю непосредственно вытекающими иэ его определения; 1) аЬ=Ьа; 2) а'=аа---,'а)'; 3) (Ха) Ь= Х(аЬ); 4) ссли(С(=-1, то(Хе) (рг)=Ар; б) скаляриос произисцсиис всктоРис. б4. ров а и Ь равно иул1о тогда и голько тогда, когда векторы перпендикулярны или олии из векторов равен пулю.
Проекцией вектора а иа прямую называется всктор а, иачалом которого служит проекция начала вектора а, а концом †проекц конца вектора а. Очевидно, равные векторы ииеюг равные проекции, проекция сутры векторов с> ча равна сул1>ке проекций (рис. 55). а'+,ф Скаляриос лроизведсиис вектора а иа вектор Ь равно скалярному проилвсдси>ио ироскции вектора а иа иряму>о, содержащую вектор Ь, иа вектор Ь.
йоказатс.ц стт> очс~и>д>и>. Рес. бб. Достаточно замет>пь, что йЬ и аЬ ранцы ио абсоз>отпой исличицс и имсчот олииаковыс знаки. Скалярное произведение обладап свойством дистрибртиимости, Именно, длл любым трех втгоров а, Ь, С (а-. Ь) с = ас -( Ьс, Утверждение очевидно, если один из векторов ранси нулю. Пусть все векторы отличны от муля. Обозиа иси й, Ь, й+Ь проекции векторов й, Ь, й+Ь иа прямую, % З) Гкллягипп ппппчпглгннГ пгктппов содсржащув вектор с, Имесм (а , 'Ь) с = (а+ Ь) с =- (а ~ Ь) с, ас т Ьс = ас + Ьс Пусть е — елнпичиый вектор, параллельный С, Чогла векторы а, Ь и с допуска~от прелставлеиии: а=Хе, Ь=:(хе, с ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
