1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 13
Текст из файла (страница 13)
!!, ж, '— пент сферы, а Й вЂ” ее радиус, аж!!усть (х«, утн «я) — и "р !и! ()!' дая точка (х, у, ( , , «) сферы наводится па р;!сстоянии гс !центр!!, а сл . .' слов1тсльно удопт!с! норис г уравнении! Ф Об °, побоя то и!а (х у, «), удои!!створ!попы!я уравне(х «) находится на расстоянии й от (хя, ур, "фе с, С!!гл!!сио оирелслсиппо ст!сд!!в,!тел!,и!1, ирииаллськит сфере, ур авиеиие (««) есть уравнение сферы, Составим йравнение ир!!гово«о чили линд!а с осью 0«и ради!! !с (р лтк1"той<! КООРлнилт<л и пРОГТР\нгтВР Ггл ч 13озьа<сь! в качестве паратастров и, тл, характеризующих положение точки (х, у, в) иа пйлиидрс, координату «(э) И УГОЛ (и), КОтОрЫй ПЛОСКОСТЬ, ПрОХОдящая ЧсрСЗ ОСЬ «И то'!ку (х< У> 2), образует с плОскОстью хз.
Тогда получим х=йсози, у = <се!ии, г=-т< — уравнение цилиндра и параметрической форме. Возводя первые два уравнения в квадрат и складывс» <е <<!сино, получим уравнение цилиндра в неялнои форме— Л + а <г2 Г1усть имссм некоторую криву<О в пространстве, Систсчу уравнений ~'<(х, у, а)=-О, ~,(х, у, «)=О называют ураанениял<и кривой в неявной форме, если коор- динаты каждой точки кривой удовлетворяют обоим уравне- ниям, И обратно, любая тройка чисел, удовлетворяющая обоим уравнсиияз<, представляет собой коортп~<аты некоторой точки кривой. Систсыу уравнений х = %1 (!) У = Ц'л (!) 2 = БАГЗ (~), зада!он!у!о копрди!<аты то <ск кривой как функиии некото- рого параметра (1), называют дравнениял<и кривой и пара- л<етри <есной форме, Дис поверх<юсти, как прав;<т<О, пересекаются по кривой.
Очевидно, сслн иоиерхн<.с:и задак<тся уравнениями Д! (х, у, «) =-О и /;,(х, у, «) = О, -о кривая, по ьо1орой пс!!ссск«<О1ся по»срхиости, заластся систст<ой уравнений /'! (х, у, «) — —.О, !"а(х, у, «) = О. Составил! и!<аанение произвольной окрумгно< ти в про- гтри!«Стае, !!<Обу<О окрркиость можно прсдсчавить как <<еГ<с- ССЧСИИЕ двуХ Ефср. Г<!ЕЛОВатСЛЬио, ЛЮбая ОКружппстЬ ИО!КЕт быть зада!на системой уравнений (х — а,) '- — ' (у — <т!)' 1- (а — с,)' — <С<; = О, (х — аа) а -;- (у — Гт ) з -!- (а — с )' — <с:- = О. Кривая и поверхность, как правило, пересекаются в от- дельных точках.
Если поверхность задается уравнением ~(х, у, в) =- О, а кривая уравиеиияии у' (х, у, а) =О, ас УР%РЛ!РПИ~ ~ОВРР'ГИЛГТИ ~е(к, у, г) =- О, то точки пересечении кривой с поверхиостыс удовлетпорик~т системе трех уравнений ,т" (х, у, г) =- О, )', (х) у, г) —. О,,~д (х, у, х) = О. Решая нт) систему, находим координаты точек пересе. чепин. Упражненна 1. 1!оказать, что поверхность, задаваемая уравнением вида хз ~-у'+гг+2ах+2Ьу+2л+ И=-О, сслп аг ! Ьх ! се-а > О, есть сфера.
!!айти координаты ес кситра н радиус. 2. Окруи(ность зэлаиа пересечением двух сфер.' !, (х, у, «)=ха ! уз+ гз+2а,х-!-2Ь,у+2с г+а,- О, ~, (х, у, г) = х'-~. уз+ гз+ 2а.х+2Ь,д+ 2саг + И, =- О, ))оказать, что уравнение любой сферы„ироходяи:сй через зту окружность, моною задать уравнением ХД (х, у, г)+Кое(т, д, г) =О. 3. Показать, что поверхность, задаваемая уравнением вида ~р(», у)=О, цилиндрическая. Оиа образонама прямыми, иарадлель- пымн оси г. 4.
Составить уээвпеиив грямото кругового конуса с осью Ог, исрьчиной О и ) лом при нери1ине, раиным а. 6. Состани-,. уравнение поверхности, которую описывает сере- дина отрезка, копны которого принадлежат кривым у, и тз'. а=ах~, ! г=Ьу', д.=.О, 6. Составить урлинение поверхпос1и„которую описывает пря- мая, пересекая крипыс у,, уг, оставаясь нсе время параллельной плоскости уг; =.ц ). у=и а ° ° г =~р(х), а ~ Ь уа' „— Ь .р г=у ($Гх®+у~), 8. 1(оказать, что цилиндрическая поверхность с образую.ними, иарэллельиыни оси г, проходя~дан через кривую г =- ! (х), г.= ср (у), зэдае1ся уравнением ! (х) — ~р (у) О.
7, Показа ь, что кривая —.6(х), д=О (х> О) ири ярапдспип около оси г описывает поверхность, задаваемую ч эвнеиием двклРтовы «оопдиилты в пеостгАигтве (гл. и ф 4. Преобразование координат Пусть в пространства введены две об1пие декартовы систсн1 координат худ и х'у',я' '(рис, 69). Выразим координаты произвольной точки А в системе координат х'у'е' .через координаты ее и системе хуе, Ииссн: Ь О'А =-х'е„-з у'е„. +г'е... О О: =х»е»' ! у>>ее' ~ я'»ес'> ОА=-хе„. ~-уе» ~-ге„ + >' — > О'А = — О'О,. ОА — (.
',е. >-у'„е, +е'„е, ),- Рис. 69. (хе„.' уе„,-ее,). Викторы е„., е„, е, допуска~от одиоэияииое представление марсо вскторы е„., ее., е,; е,.=а„е, +а.ее„+а,яе... е„=- а,е,'; а,,е„'-;-а.„е. > 1 е,=а„е„+а„е +а„е... где а,~ — координаты векторов е,, Ец, е, относительно базиса е,', е,, е'. Подсгивлии эти выражении и О'А, получим 1 О'А = (х',-'-а,1х >-ач,у-,-аул.) е',. 1- >- (у~ (- а, ~х,".
а, у ~- а„те) е„. + -1-(л,' ~.а,„х+а,еу -п,„=)е„, Выра>кении и скобких этой формулы суть координаты вскторя О'А относительно базиса е, е„, е... т. и. коорлицаты точки А в системе х'у'е'. И мы иолуиясм искомые формулы: -а1,х ~ ае,у, а:„т 1 хо, у = а> >х + аму 1" азат+у>> ~дх+а,яу+а е+г',. йккзвтовы коогднилтн В ПРостРАПГтвР [гл у Обратно, формулы (ня), если выполни!отса условии («т«), всегда монгио истолковать кдк переход от некоторой прямоугольной системы координат х'у'г' к системс прямоугольных координат хуа, начало которой в точке (х„у„х„), а базисные векторы задавтси формулами (н), В силу условий (ннн) баЗИСНЫЕ ВЕКТОРЫ Е„, ЕР, Е, СДИИИ ПИЯЕ Н ПОИаРИО перпендикулярные. ' Заметим, что я слу гас прямоугольных декартовых координат хух и х'у'х' Л =--+ 1, причем Л = + 1, если олпу систему координат можно движением совместить с другой.
Если же это можно сделать движением и зеркальным охражениец то Л=- — 1. Упражнения 1, Как будут выглядеть формулы преобразования координат, если плоскость ху совпадает с плоскостью х'у'Р 2. Известно, что в некоторой системе координат уравнением аыхз-1 а««дз.(-аз,з' .-2а„хУ 1-2а«адх-г2аз12х=а задается сфера. 1!айти углы менщу осями координат, 3. !1усть имеем две системы координат хдх и х'у'2' с общим началом О.
11Усть ео ез, е,— базис пеРной систсз ы, а е~ Хе,, е«Хе„ еРХе,— базис второй. Составить формулы перехода от одной системы к другой. 4. 11ереход от одной прямоугольной декартовой системы координат хух к другой прямоугольной декартовой системе координат х'у'2' с тем же началом моного выполнить в трн зтаиа; х, = х соз ф — у з!и у, у«ха!п~р+дсоз~р, 21= 2, х,=х„ д„=- у, соз Π— 2, в!п Ф, х,=у, а1п О+2, соз О, х' = хз соз ф — д, з1п ф, д' =х, з1п ф+ д.
соз ф, Ф 2 хя Углы у, О, ф называются углами Эйлера. Выяснить их геометрический смысл. 6. Показать, что преобразование пространства и себя, задаваемое формулами («+) ири условияк («««), есть движение, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ф 1. Уравнение плоскости Составим уравнение произвольной плоскости в прямоугольных декартовых координатах хуг. Пусть А„(хе, у,, а») — какая-нибудь точка илоскос1и и в †отличн от пуля вектор перпендикулярной плоскости. Тогда, какова бы ии была точка А (х, у, г) плоскости, векторы А»А и л перпендикулярны (рис.
70). Следовательно, а А»А.п =О, (») Пусть о>, 1), 'т — координаты вск- А в тора л относительно базиса е„, ец, А о,. Тогда, так как А,А =- ОА— Р ОА», нз (») следует: Р 3' о(х — )-: Р(у — у»Н 7( — =.)=О (ЕК) Рнс. >О Это и есть 1р»Г>уечос уровне»нс.
Таким > бравом, уравнение любой плогкости линейно относительно координат х, у, 2. Так как формулы переколи от одной декартовой системы координат к другой динсйн>,>, то уравнение плоскогти линейно в любой декартовой гистече координат (а пе полька прямоугольной). Покатксч теперь, что любое уравнение ах+(>у — ' гг >.с(=О нвляетгя уравнением некоторой плоскости.
Пусть х, у», е» вЂ” какое-нибудь реи>еиис данного уравнения, Тогда ох»+»уе+ се»+и = О> (гл, чк ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАИ и уравнение можно переписать в форлге а (х —.Ка) + Ь (у — у,) >- с (х — ха) = О. (»»») 11у ть гл — вектор с координатами а, Н, с относительно базиса е,, е„, е„А — точка с коордниаталш х„, у„, х, и А — точка с коордннатамн .>с, у, х. Тогда уравнение (»»») ыож»О записать л вквиналеитиой форме АаА ° гг =О, Отс>оча следует, что нсс 1очки плоскости, проходяилсй чсрсз з»чку Аа перпендикулярно вектору и (и только они), удовлстворя1от ла>п>ому уран«глино и, следовательно, оио пил«ется уравнением етой плг>скос1и. Зал>стим, что коэффш(иситы при х, у, х в уран«сини ил<>скости суть координаты вектора, перпендикуляр»ого плос>;осги относительно базиса е„, ек, е,.
Упражнения !. Составить уравнение плоскости, если зчдаиы лис сичл>етрпчио расположенные относительно «ее >оч> н (х,, й„г>) и (х„у1, г~). 2, 11оказать, что плоскости ах 1- Ь1>+сг+>(> -— .О (>Г> Ф Их), ах+Ьу+сг 1- >га =-О параллельны («е пересеки>отся). Э, Что представляет собой геометрическое пес>о точек, коордпл>ачы которых удовлетворяют ураннеишо (ах-', Ьу+сг-'-а)л — (>хх-,-(1>> ~ уг->-б)»=щ 4. Показать, ч1о кривая, задаваемая уравнениями Г(х, д, г] >-а,х+Ь,у 1-с>г+Ы>=0, 1(х, у, г)+оах+Ь~«+глг 1- Йх —.-О, п«пскзя, т, е, псе точки атой кривой «рииадлеж»т некоторой пло- ское ои 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
