1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 11
Текст из файла (страница 11)
И получаем (а ' Ь)с=(Хв-, ре) ю=() -,-)~) о ас+Ьс = Хегм+рече= Ь+ ~я. От с>ола (а-,'-Ь) с=-ас+Ьс. И, следовательно, (а т Ь) с = ас + Ьс. В ваклвчсиис покажем, что если а, Ь, с — отличные от нуля. не параллельные одной плоскости векторы, то из трех равенств та=О, тЬ= О, тс=О следует т' =- О, Действнтельио, если т" ~ О, то из укаваниых трех равенств следует, что векторы а, Ь, с псрпспчикулярпы т', а следовательно, параллельны плоскости, перпендикулярной а", что исвозмогкно.
Упражнения 1. 11усть Л„Л,„..„Аа--всрпп.пы правпльиого и-угольнива -Ф Р Тогда Л,Я,+Л,Ла-- ° "-1 Л„Л,=-О. Вывести отсюда, что ач 4ч (2п — 2) и 1; соа — +соз -1 -1-с05 ' =О. н л н 2ъ, 4п, . (2н — 2) и а1п:-+а1п -- , '* ° ° -~-а1п — — =О. н и л 2. Показать, что если а и Ь вЂ” любые пе равные нулю и ие гараллельиые векторы, то Ра','-2Рр,(ао)-1-рЧ'.вьО, причем равенство нулю имеет место, только если ь —.О, р=О. 3. Покаэать, что для любых трех пекторои г1, га, га, параллельных одной плоскости, ! (г',г,) (г,~а) (г,г а) ~ (гаг1) (гага) (гага) = О, (гаг1) (гага) (г'ага) ~ [гл. иа ягктгн и Сложение векторов ассоциативно, Именно, если а, Ь, С вЂ” любые векторы, то (а+Ь) „'-с=а+ ~Ь~с).
Это свойство сложспии так жс, как и нрсдыдущсс, нсносрсдствснно вытскаст из опрсдслсння опсрацнн сложения (рнс, 5$), Рнс. 50. Р«с, 49. Отмстив, что если векторы а и Ь параллельны, то всктор а -Ь, сслн он нс равен нулино, параллслен векторам а и Ь, нрнчсм одипзково нанравлсн с большим (но «бсод1отной вели шнс) нсктором, Абсолвтная всличина всктора а+Ь Рис. 52.
Рнс, 61. равна суммс абсол1отнык всличин векторов а и Ь, есин они одинаково нанр«нлсны, и р«зн«стн абсолязтных пслнчнн, если вскторы а, Ь против«полоз<но направлсны, Выкиание нсктороя онрсдсляется как онср«цня, обрати«я сложсннкь 31менно, разностью вскторов а и Ь называется вскт«р а — Ь, который в сумис с вектором Ь даст вскз«р а. Гсомстричсскн он получ«екя из векторов а и Ь или равнык им векторов так, как показано на рис. 52.
$11 сложтниг и нычытАиия ннктогон Ллл любых векторов а и Ь иллеет место лераоелство ;а ~Ь1-= !а!~!Ь| (нсрансистио тр«угольника), гсомс~ричсски игиражаинцес собой в случае непараллельных век1оров, что сумма двух сторои треуголышка больше третьей. Это неравенство очеиилиыи образом рлсиростраиистси иа случай л~обо1о числа вскторов: ! а+ Ь;- ° ° ° —; 1! ~~ ! а ~ -,'-,' Ь, + ° . ° + ! Г ~.
Упражнения 1. Показать, чтв сумма и векторов с общим началом в цсвгрс праяильпого л-угольника и концамн н его вершинах равна нулю. 2. Три вектора имеют об~кое начало О, а концы — а вернмиьзх треугольника ЛВС, Показать, что ОЛ-,' ОВ+ ОС=О тогда и только тогда, когда О является точкой псрссс;ения мсднли треугольника. 3. Доказать тождество 2! а !а+ 2 ! Ь Р = ! -и т Ь !' 1- ! а — Ь !а. Какому геометрическому факту оио соответствует, если а и о— отличные от нуля иснараллельныв векторы? 4. Показать, что знак равенства я неравенстве треугольника имеет место только тогда, ко~да оба вектора одинаково нанраялены или хотя бы один из векторов рацеи нулю.
5. Если сумма векторов г„..., г„с общим началом О равна нусио и зги векторы ие лежат в одной плоскости, то канона бы пн была плоскость и, проходящая через точку О, найдутся векторы г;, 6 асположениые как но одну сторону плоскости, так и ио другую.
оказать. 6. Вектор г „ лежит в плоскости ку, имеет началом точку (ка. уе), а концом точку (яб, лб), где из н и — целые числа по ибсолкпиой величине, не превосходящие М и М соответственно. Найти сумму всех векторов г „, выразив ее через вектор с началом в точке (О,О) и концом в точке (к,, уа). 7. Фигура Р в плоскости ку имеет начало координат пеитроч симметрии, Покэза1ь, что сумма иектороя с общим началом и концами в целочисленных точках фигуры г" равна нулю тогда и только тогда, если общим началом векторов является начало координат.
(Предполагается, что фигура г содержит хотя бы одну целочисленную точку, т, е, точку с целочислеииыми координатами). в. Выразить векторы, изображаемые диагоналями параллелепипеда, через векторы, изображаемые его ребрами. )га, ти ввитоты Л так как а'хе=-ахе, Ь'хе=ьхе, (а'+Ь') хе=(а+Ь) хе, то (а+ Ь) х е = а х е -,'- Ь х е, что и требовалось доказать, Отметим следуюв)ее простое тождество, ииею1цее место длв ли>бых векторов а и Ь: (а х Ь) е = а'Ь вЂ” (аЬ) .
Лействительио, если 6 — угол между вехтораии а и Ь, то это тождество выражает, что (' а ~ . Ь ~ а.'и б)е = ', а ~е ~ Ь (е — (~ а ~ ~ Ь1 сов Ще и, следовательно, очевидно. Упражнении 1. Гслн векторы а и Ь периопдккуляриы вектору с, зо (а ХЬ) Хс О. Показать, 2. 1:сли ыектор Ь перпендикулярен с, я вектор а параллелен иек1ору с, то (а х ь) х с ь (ас). Показать. 3. Лля произвольного вектора а и вектора Ь, перпендикуляр- ного с, (а х ь) х с= ь (ас), Показать, 4, Показать, что для любых трех викторов а, Ь, и (а Х Ь) Х с Ь(ас)-а(Ьс).
й. 1)айти площадь основания треугольной пирамиды, у которой боконые ребре раит ), а углы при пери!вне а, )з, у. $ 5. Смешанное произведение векторов Смстианньыт произведением векторов а, Ь, е пазываетсв число (аЬе) = (а х Ь) е. (Ч Очевидно, смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из векторов равен нулю, или все три вектора параллельны одной плоскости, ч 'г) 77 г~гг'ггглггггггг' г:г'Рггу-'гглгггггг яг г'Г арго!г Смсгианное произведенги отличных ог нуля векторов а, Ь, с, не ггарал.гелънггх плоскости, по абсо.потной величине равно объелгц параллелепипеда, построенного ни векторах и, Ь, с (рис.
()г)). В снгокг леле, аг. Ь =- Яе, г л«Ь' — гглггщиль осггоггаггггя гиграллелсгипгеди, иостр»еппого па век'горах а, Ь, а е — -сдииичиьгй вектор, иериепдикуля рпый осиованиго. Лаггее, (ес) с т»чггостьго до знаки равно высоте параллелепипеда, опущсггггггй п,г указаггиое»снование.
(:ледоггательгггг, с точггггстьго до анака (аЬс) равно обьеиу ггараляелспииеда, иостр»еиного на векторах а, Ь, с. Смеиганное произведение обладает следггюгг)им гвоггством. (аЬс) =-и (Ь;:, с). (»») Ф Лостаг очно зазгстггтгч что Рггс. 60, прзван и левая часть равны ио абсолготной величине и ииегот олииаковыс знаки. Из оггрсделеиня («) стгепгаггиого произведения и свойства (ггк) слелует, чтгг при перестановке лгестани любых двух солгножите гегг смегианносо произведения оно меняет энагс на противогголожныгг, В частности, сиеиганное произведение равно нулю, если дви гозгногггите.гя равны. Упражнения <. Замечен, что «а ' Ь) х г) а = (а х Ь) (е х ге), вынестп тождество г(ае) (аг2)' (а Х Ь)(с Х Ф)=-г 2.
С помощью тождесгвц (а Х Ь) (с ':. Ь] = (аг) Ь'-(аЬ) (Ье) цывестн формулу сферической тригоггометрии зги ег ь! и у соь В = сов р — сов у сов а, где а, р, у — стороны треугольника на единичной сфере, э  — угон этого треугольники, ггротиводежащийг стороне р. 3. Вывести тождество (а Х Ь) Х (е х Ф) =Ь (асти) — и ~ЬсЯ. (тл. »т вектор»е 4. Показать, что для любых четырех вектороа Ь (асй) — и (Ьсй)+ Ф (саЬ) — с фаЬ) = О. $, Пусть в,, е„ва — любые три вектора, удовлетворя»ощие условию (вь ва еа) ьйО, Тогда любой вектор г допускает представление (гвава) (гввеь) (ге»еа) г — -" е»+ —" — ва+ ва (в„вас.,) (е,е,в,) (е,вава) Показать. Й. Показа;:„»то решение системы векторных урви»»е»»и»»» (гаЬ) =-1, (гЬс) =»а, (гса) =- (), тде а.
Ь, с — »»а»»»»»»е искторы, удоилетиоря»ощ»»е условя»о (аЬс);~0, а г — искомый вектор, можно записать а инде ( г = — (а»х+ Ь() -»; су). (аЬс) 7. Показать, что если в„еа, ва и г — любые четыре вектора, удовлетворяющие единственному условию (в,е,в ) ~ О, то имеет место тождество »е, хе,.»»гс,> св,х а.»»ге» 1~,ух~еНеь» (в,е. ез) + (езвава) (в»вава) 8. Показать, что решение с»»стеа»ы векторных уравнений ах=»х, Ьх=(ь, сх- у, тде а, Ь, с — данные векторы, а х — искомый, если (аЬс) ~ О, можно записать и форме а Х Ь) у~(Ь Х с)»х+ (с Х а) р ! аЬс) ф В.
Коордииать» вектора от»»осительио аадаииого бааиса Преть е,, се, е — люб»не три отличмыо от нуля, не параллельные одном плоскости лекторы. Тогда любой вектор и до»»у»»;оет, и»»ритон единстоенмое, представление аида г =- Х„е, -;- Хае, + Хзеа. («) ьь»»сла Хь, Л,, Ла называю»си координата»ии вектора г относительно базиса е» ° ея. еа. , ь»»»»ажем сначала ол»»»»стае»»»»»»ст ь представления (»», йо»»уст»»и», су»»(»»стауст другое»»рс:»отлило»»»»о— г.— Х;еь '-Х:,е,+ Л,'е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
