1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 14
Текст из файла (страница 14)
!1оказать, по три плоскости, задаваемые ур>п»еиии;и> »х > Ьп —,сг+а-"-' О, ах-~-(3д р ух+6 —, О, Е. (ах р Ьй-> сг) 1-1~ (сгх+(1>1-',-уг)-> '«:-О, при й Ф М ~.1>б ие имеют общих точек. распали>кап пг плоскости 6. Написать уравнение нлосиости, лроходящей через окружность, по которой пересекак>тся две сферы: хз+ уз+ хе+ ах + Ьд+ сх+ >! = О, хе+ уз+ хз+ ах -1- ру+ чх+ Ь = О, 7, Показать, что преобразование инверсии переводит сферу либо в сферу, либо в плоскость. 8, Показать, что уравнение любой плоскости, проходящей через прянув>, ио которой пересекая>тся плоскости ах+Ьу+ с«+0=О, ах+(!у+ух+6=О, может быть представлено в виде Х(ах+Ьу+сх+>!)+!ь (>их+!)д+чх+Ь)=-О, Э. Показать, что плоскость, проходвщая через три даю>ые точки (х>, дт, х>) (>=1, 2, 3), задается уравнением х у х ! х> у>х, ! х, д, хз ! «з уз хи ф 2.
Расположение плоскости относительно системы координат Выясни«>, какие особенности в раслолоясении плоскости относительно систе>иы координат цде>от место, если ее урав- нение того или иного частичного вида. 1. о.=О, Ь==О. Вектор >з (перпендикулярный плоскости) параллелен оси х.
Плоскость параллельна плоскости ху, и частности созпиист с плос иост>по .>су, если и с( = О. 2, Ь вЂ” "О, с -.О. Плоскость параллельна плоскости ух и совпадает с пей, сслп с! = О, 3. с=О, а=О. 1!лоскость параллельна плоскости хх и совпадает с ией, если Ф=-.-О, а. а=О, ЬФО, с 4= О, Вектор >и перпендикулярен осп х (е„т> = 0), !!лоскость параллельна оси х, в частности про- ходит через псе, если >! =-О. 5. а ФО, Ь=-О, сФО.
11лоскость параллельна оси у и проходит >ерез нес, если с(=О. б. аи'=О, ЬФО, с=О. Плоскость параллельна оси х и проходит через йее, если Ф = О, плоскость >и пРямАя 7, 0=О, Плоскость проходит через начало координат (его координаты О, О, О удовлетворяют ураиненьчо плоскости, если с(=О). Если все коэффициенты отличны от пуля, ур»внепис ь>ожио р»зделить аа — И.
Тогда, полагая получаем уравнение п»оскосг» в следу>ощей форме: — + — + — — 1 =-О. х р () >х Числа >з, р, у с точностью до знака равны отрезкам, отсскаемым плоскостью иа осях координат, Дсй>ствитсльио, ось х (у =О, г= 01 плоскость пересекает в точке (>з, О, О), ось у в и точке (О, 1), О), ось г — н точке (О, О, у). Уравнение (и) называется уравнением плоскости в отрезках на осях, Й заключение заметим, что л>об»я плоскость, не перпспдикулярн»я плоскости ху (с=Р-'= О), может быть задан» уравнением вид» 2 =- рх > ду + > Упражнения 1, Найти условии, при которых плоскость ах >- Ьу 1 сг + >1 = О пересекает положительную полуось х (д. х).
2. 11айти объем тетраздра, ограничиваемого координатными плоскостями и плоскостью ах-,-Ьд+ се+>(=О, если аЬс» ФО. 3. Доказать, что точки пространства, длн которых .'х1+1р'+1 1< а, расположены внутри октаздра с центром в начале координат и иер« и>иначи иа осях, 4. Дана плоское;ь о уравнением в прямоугольных декартовык координатах ах+Ьд+ сх-> >1=0 Составить.уравнение»аоскости и', симметричион и, откосительао плоскости х>> (кача.ча координат О). утлаиание плОскОсти 6.
Йвио семейство плоскостей, в»висящее от иврвметра Х, ах+Ьу+сх+д+Х (ам+()д+ уг+ б) =О, Найти в семействе плоскость, параллельную оси а. 6. В семействе плоскостей (а,х+Ьау ) с,а+а,)+Х(а,х+Ь|р+с,х+д,)-)- )-)~ (азх+Ьву+свх+Ю =О войти ялоскость, параллельную плоскости хр. Нар»ивар»ми семейства являются Х и р. $3.
Ураииеиие плоскости в иормальиой форме Если точка А (х, у, 4 принадлежит плоскости ах + Ьу -) - са -)- д =- О, тО СС КООрдннатм удОВЛСтяари1От ур»ИИОИИВ (я). Выяснив, какой геояетрический схяысл ияеет выражение ах+Ьу-,'- се+ а, если точка А не принадлежит плоскости. Оиусгни из точки А псрлсидикулир иа Плоскость. Пусть А„(хь, у„, св) — осиоиапис псрисидикуляр». Так как точка Лв лс)кит иа Плоское~и, то ахв+Ьу — - с.г„+д = О, Отс ~ода ах+ Ьу ) сх-,'-Ф= -= а (х — х„) 3- Ь (у — у„) -',- с (а — ав) == и А,А = + ) и ~ о, где и — Вск10р, исрисидикулярный Плоскости с координат»ми а, Ь, с, а 6 †расстоян точки Л от плоскости, Такии образом, ах+Ьу ~.сх.)-Ф положительно по одну сторонй плоскости, отрицательно по дрйгую, а по абсолютной величине пропорционально рассто»- нию точки А от плоскости.
Коэффициент пропорциональности; 1")а) Е )"/ав ) ой+се $ Л. В. Пяторелов 1гл. 71 плоскость и пнямля Если в уравнении плоскости па+ба.~ се=1, то ах'+ Ьу + се+ И будет равно с точностью до алака расстоянию точки от плоскости. 11 этом случае говорят, что плоскость задана дравнениеьт в нормальног1 форме. Очевидно, чтобы получить нормальную форму уравнения плоскости (и), достаточно рапделить его на -Е Ках+ Ьа+ са. Упражнения 1. Плосностн, задаваемые уравнениями в прямоугольных декартовых координатах; ах —;Ьу-! се+0=О, ох+Ьу-~-сх-~-г1'= О, где и' ФИ' пе яме~от общих гоген, следовательно, параллельны.
Найти расстояние между этими плоскостями. 2. 11лоскость ох+Ьу+й О параллельна оси х. Найти расстояние оси х от этой плоскости. 3. Что представляет собой геометрическое место точек, расстоя. ння которых до двух данных плоскостей находятся в данном отно- шении г 4. Составить уравнения плоскостей, параллельных ах+ Ьу+ сх-~. Н= О и отстоящих от нее пя расстоянии 6, в.
Покаэать, что точки пространства, удовлетворяющие условию ~ах+Ьу+сх+И~ < 6', расположены между параллельныыи плоскостямп ах+ ЬУ+ сх -1- д .-Ь, Ьа = О. й. Заданы уравнения плоскостей, в которых лежат грани тетраэдра, и точка М своими коордиивтамн, Как уанать, лежит гочка М внутри тетраэдра или неть 7. Составить формулы перехода к ионой прямоугольной декартовой системе координат х'у'х', если новые координатные плоскости в старой системе ведаются уравнениями а,х+ Ь,у+ г1х+ И, = О, пах +Ь,ц +г,х 1 йа =О, а,х+Ьзу+ с,х+Иа — — О. ф 41 взлимнов Рлсположения плоскостсй $ 4.
Вввикиое расположение плоскостей Пусть имеем двс плоскости: а1х+Ь,у+ саг+Ы1=0, а х+Ь„у+ сяг+йа=О. ~1 ! ~! а, Ья с, ' Это условие нмсстс с тем достаточно для параллельности плоскостей, если онн нс совпадают. Для того чтобы плоскости (ю) были перпендикулярны, необходимо и достаточио, чтобы указанные векторы п, и п, были перпендикулярны, что для неравных нулю векторов вквнвалситно условию п,п,=О а,а,+ЬА+с,с,=о. !1усть уравнениями (а) даны две произвольные плоскости, 11айдсм угол, образуемый этими плоскостямн, Угол Ю между векторами аа, и вв равен одному из уг- лов, образуемых плоскостями. Угол между вскторамн и, н а, легко найти. Имеем (в,в,) = ( и, 11 в, ( сов О.
Отсюда сов д.= а~а~ -;-Ь,Ь~+с1с, У", -Ь;+",1Г .+Ь,--4 11усгь имеем трн разлнчныс плоскости: а~А+ о1у+ стг+И1=-0, аях 1' Ь~я+ с вг+ Фя " О аах+Кау+ свг ! с1а =-О (юм) Выясним, при каком условии эти плоскости; а) параллельны, б) перпендикулярны, Так как а„ Ь„ ст †координа вектора а„ перпендикулярного первой плоскости, а ая, Ь„ с †координа вскт«ра м~, перпендикулярного второй плоскости, то плоскости «цраллсльны, если вскторы в,, па параллельны, т. с. ссли нх координаты пропорциональны: (гл, ч плоскость и ирямля 100 Плоскости (»») либо пересекаются в одной точке, либо параллельны некоторой прямой, в частности проходят через прямую, )ссли плоскости (»») пересекаются н одной точке, то система уравнений (»») имеет единственное рси>синс.
Как известно из алгебры, это будет тогда и только тогда, >р>г>га детерминант системы !гг! Ь, с, ~". -. а» Ье Гх !ая Ьа гв Что монкио пояснить и лщгии способом. асти! плоскости пересек>ыотсн в единственной то >ке, т>! векторы л! (а,, Ь,, г, ! ° ггв(а», Ь.„с.,), гт» (а„, Ьа, гя) ис л>оглт быть пара.!.>сс>ь>и> ! л>н>й п.>искос'>и (ибо г!>гда и.и>с!'ос ги, псрссскансь и !пикс. пересеки.",ись бы по прямой), а слсдонач с:>ьио, ик смсшашюс произведение, ра>пи>с детерминанту Ь, отличии от иулн. !1>!Ос!'ости (»») булл г ии)>алл>лшиа! некоторой прмиой, сс,п! Л-=О, что означает иараллельиг>сть викт!>р!>н и!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
