1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Любви плоскосп задастая уравнением вида пх+Ьу- — сл-,- и'=О. Ч'зк нпк точка (хв, ув, еь) прииадлсжит плоскости, то ахв-(-Ьув+ сев+й. -О, Огсвдп уравнение искомой плоскости пх , '1>у- -сл — (пх„-(-1у 1 се ) =-О, или ( х) !-о(у —.ув) (-'( г ) О Очсвидио, при любых и, Ь, с зто урависпис удовлетзористси точкой (хд, ув, лв). Составить уравнение произвольной прямой, проходящей через точку (хв, ув, лв).
Искомое уравиеиие: — у-ув я Г ги Действительио, зто урапи задает прямую, проходящую через точку (х, у, ев), координаты которой, очепидио, удовлетворяют уравнению. Давая й, ), гл произвольиые (пс все равные нулю) значения, получаем прямув произвольного иаправлеиии. Составить урпвнение прямой, проходящей через две данные точки (х', у', л'), (х", у", л ), Уразиеиис примой можно записать и форме (гл. ч плоскость и пРямАя Так как итораи точка лежит иа примой, то х — х и — у 3 — х Ф 4 т Это иозиолиет исключить й, 1, в, и мы получаем ураанение х — х' у — у' г — а' х" — х' у" — у' х' — г ' Составить у равнение плоскости, проходящей через три очки А'(х', у', е'), А'(х", у", е ), А'" (х"', у"', е"'), не лежащие иа примой.
Пусть А (х, у, е) — пронзвольнак то из искомой илоскости. Три вектора — — з. А'Л А'А" Л'Л'" лс кзт и одной плоскости. Следовательно, — — ю — т (Л'Л Л "Л" Л'Л'") = О И мн полу ием искомое уравнение Составить уравнение плоскости, проходящей через задан-. ную точку (ха~ уь~ хь)> пара 1лельную плоскости ах + Ьу+ се -;- а = О. Искомое урааиспно: а(х — х,)+Ь(у — у,)-! с(х — е,) =-О. В самом леле, ета плоскость проходит через данную точку и параллельна данной плоскости. Составить у равнение прямой, проходящей через данную точку (х„, у „ х ) параллельно данной прял~ой х — х' у — у' х — г' к 1 ж * Искомое уравнение: х — х' х — х' х "— х У вЂ” У У У У У е — е г" — е' е'" — х' ОСНОВНЫВ ЭЛДЛЧВ Прямая, проходящая через точку (зсе, уа, еа) перпендикулярно плоскости ах+Ау+ се+4=0, задается уравнением х — хл ф — уа а-аа а С Плоскость, перпендикулярная прямой х — х' у — у' г — а' Л 1 ли 1 проходящая через точку (кр, уд, еа), зпдаетгя уравнением А (к — я ) ' Х (у — у ) + ят (е — е„) =- О, Составим уравнение плоскости, проходяи(ей через точку (хе, у,, е„), параллельно прямым: к — х' у — у' т- т' й' 1' а' х — х" а" Г г)и" Или в компактной записи; х — хо у — уо А' еа пл Уарааенеииа уравнение плоскости, равноудаленной от двух прямых, заданных уравнен1 ями в канонической 1, Составить скрещнваюнлпхся форме.
2, Иокааать, что любая плоскость, лроходяпыи через прямую а1х+Ь,у+ела-Ф И~=О, аах,' Ьау -1- саа+ ах =Ою Так как векторы (й', Г, пт') и (к", Г, ти") параллельны плоскости, тп пх векторное произведение перпендикулярно плоскости. ()Тсюла исконное уравнение ПЛОСКОСТЬ И ГГРЯМАИ (гл. чт задается уравнением вггдп Х(игх ' Ь,у+стаи-г1,) 1 р (ахх , 'Ь у-1 с з 1-г(г) —.О. 3. Показьгь, что плоскость. проходвигая через ирнчую х х' у у' г- -г' ю н точку (хв, у„та), не легкащ)ю из ирятгой, задзсгся уравнением х -хв у--ув х ха ~ х' — хв у'--у„з' -г, ~ =-О.
гг 1 гп 4. 11оказать, что любая ггрячэн„пересекающая данггые: агх 1 Ь,У 1 сгт-г-д, .-:О, а,х 1-Ь,у )-с,г ~ г(, =О, азх 1-Ьзу+сет )-гГ, — О, а х-г.Ь.у ~-с х-г-г( =О, ведается ур гниениями Х(агх ', Ь,у 1-сгт+4)+Х'(а,х+Ь,у+с,г )-г1,)=0, )г(азх-,- Ь у) сег '-гЦ 1-1г' (а х )-Ь у , 'с г 1-г( ) =- О. б. 11оказать, что копи гсская игигерхпость, образованная прямымн, проходящими через начало координат н пересеканицнми крн. гцпо ~р(х, у) =О, г= 1, задается уравнением г'х у~ — — =- О. гг ' з,г' В. Показать. что иианмдрическан поверхность, образованная дрямыыир г1гг)ге тлел ьиьгчн х ф й — — — — ( ФО) Х н иерессквнииими кривую Ф(х, у)=0 гитоскостн ху, задается урав. иснвеч 1г гр (~х- - х, У-- — зг) — — О. У ' 9 7.
11ги,з~ ь, что иггггерьиость, образуемая ирн вращении кривич ~; ~х„гг: г, ь -О около иси г, зздаегся уравнением <111 х1.!-у', г) =-О. Глава И! ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ф 1. Специальная система координат Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнсцпю нила аых + азьУз+ аззгз+2а,.хУ-«-2пззУе+2, ха+2п«зх+ +2аз у+2аз,в-«.
а„= Г««а) О «с««««д««о, это определен««е нивприаитио отиоспзельио выбора систеэ«ь«координат. Йс««ст«н«тсл«««о, уравнение поверхности н любой лрт«ой снсгсчс коорлнцат х'у'е' пол~чаегсн иа уравнении (е) валеной' х, у и е липсйныин в««ран«с««««ями относительно х', у', х' и, следовательно, в координатах х', у', е' таня«с будет иметь вид (е). Любая плоскость пересекает поверхность второго порядка по кривой второго порядка. Действительно, так как определение поверхности инвариантно относительно выбора системы координат, то моя«по считать, что секущей ллосностью является плоскость ху (л= О). А вта плоскость, очевидно, пересекает поверхность по кривой второго порядка а,зх'+2а„ху -1- а,.„у'+ 2а„х+ 2а„у+ а4, —— О, В частности, прямой круговой конус с осью е Хез = ха+уз являетсн поверхностью второго порядка и, следовательно, любой плоскостью пересекаетси цо кривой второго порядка.
Если секущая плоскость нс проходит через вершину, пара прямых исключается. Остается эллипс, г««пербола нлн парабола, Чтобы исследовать геомст рическпе свойства поверхности второго порядка, естестве«н«о отнести ее к такой системс координат, в которой ес уравнение будст иацболсс простым, (гл. уп 112 ПОВКРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Сейчас мм укажем систему координат, в которой уравнение ловерхности значительно упроститсл. Именно, коэффициенты лри ух, хх и ку в уравнении гюверхности будут равны нулино. Рассмотрим функцию Р(А) точки Л (х, у, х), опрсдслясчую во всем пространстве, кромс начала координат, ранснством аох-'-~ ах~ах ' адхх+2и,ххУ4-2ах,,аг-:-2а ьех ( .з .,и; ха Иа сднни гной сфсрс (х'-'+ух+.гх=-1) она ограничена и, слсдоватсльно, достнгаст лбсолк~тн<и о минимума в нско1орой точке Л„.
А так каь она постоянна вдоль любого луча, НСХОДИЦЕГО НЗ НВЧаЛа КООРЛЛНГат (Р() Х, АУ, ХЗ) -=-)т(Л, У, Х)), то и Л„Г достнгзст абсолютного минимума значений но отношсншо ко всему пространству (а вс только на сднннчиой сфере), Ввсдсм новыс дскартовы координаты х'у'х', сохранив начало О н иринин нолунрямую ОЛ„за ноложнтсльнун> полуось з, Как нзвсстно, связь мсжду коорднна1амн х, у, х и х', у', х' устанавднвзстси формулами вида х = аых + 01.у -,-а ~зх'1 1 Ф Ф у=-а,х , '«х у -, а,ах, у'-! а Уравнснис новсрхпости в новых координатах х', у', х' иолу гастся нз уравнспяи (ь) заменой х, у, х чсрсэ х', у', х', согласно формулам (и~) и имеет вид а~,х'~ (- а'„,У'х-~ аэьх'х т 2а,',х'У'-(-2а,'зУ'х'-~-2а|фх'.8' ',. -~ 2а'„к' -! 2атху'+ 2аие'+ а„= О.
Функции Р в новых координатах имсст вид а'„х'~ ( а'„ц'1+а' г'х+2а' х'у'+2а' у'х'+2а', х*х' и получастся зачсной в старом выражении т".к, у, х на х',у', х' тоже согласно формулам (ае), Знамснатсль по форме ив измсиился, так как нрсдставляет собой квадрат расстоянии точки А от начала координат, который в обоих системах выражается одинаково. кллссиеиккции иоввгхиоствй Согласно выбору системы координат х'у'»' минимум функции Р достигается при х' = О, у' =О, »' = 1. Иовтому, если и вырлжсиил Р положить х' = О, »' 1, то получим функц>иб одиого перемсииого а'„„у з р 2а е» + аэз 1-~- р" которая достигает минимума цри у' =-О.
Стсд»ватель»о, Ч Ь') - — =О ири у'=О. а>' Но Ф Ь')! — = 2а.'„, а!> з>'= 9 Таким образом, лт>вффлцис»т при у*»' я уравнении поверхности равен нулю. Аиал»ги и>о показывается, что коэффициент ири х'»' тоже равен иул>о. Иглы, урллисиис пгл>срх>и>сти и систсъ>с к<>орд>тат ху'»' булсг а»х'з ~- 2а„х'у' -~- а',,у'з + 2а'„х' ->- 2в',>у'->ы -!.2аз,»' ~-а,„з»'~+а =О.
Если тсисрь ииссти новые координаты х",у", »" по формулам х' = х" сов О +у" з>и О, у' = - — х" а»> О -ыу" сох Ь, »'==»' ! то так жс, «лк и ири рзссмотрсиии «рил>ах ит»р»г» порядка (ф 8, гл, Ч), соответствующим выбор >и угла О можно доб>гтьсв того, что козффи>ц>с»т ири х"у" тоже будет раиси иу:ио.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
