1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рсл1г поверхность ичсст цснгр, то каждая диаметральная плоскость ироходи1 чсрсз цситр. Стедоватсяьио, центр поверхности определяется 1граенениями Для кривых второго иорялка можно провести соиергиснио аналогичное рассмогрсинс. Принедсм окоинатсльиый рсзультат. 11усть кривая задана уравнением 2(Ь вЂ” а1,х'+2а„ху-~- а»„у -'.2а,ах 2а»„у 1. а„, —. О. 1(оложим Ф =-а„х-1-а„у+а,а Фе =- а»1х+ а,д '-а„з. иссльдовлипг кяиних и позгихиостни ~гл. у1п Т гда диаметр, гоо~еетгтау~а~ций «ордам нанраалсиия Л:р, т, е. иар иллельнслм ирялгой х и Х р ~ аадае~гл риа ненигм Л~~~, +р©.,=. О.
ч1р наиной ~если нриаая имеет центр~ определлетгя из сигталил ураинсмш М>„=. О, Ф„=- О, Упражнения 1. Пиивзв:ь, что если иоиало коьрдинлт перенести в венгр кри. во» второго ииридня а„хе ф 2а„хр ~ а„ух ~ 2а„х+2а,,п+а.„=О то уравнение нриноп ирциет вид Ьдх~ + 2а> хр+ певце+ — =О. 2. Показать, что если яа ило координат перенести в вситр поверхности второго порядка адх + 2а11хр+... +ам - — - О, юо уравнены поверхности примет вид Ре ад1хв+ аеере+ а„еге+ 2а, ех Р+ 2ахе Уг+ 2ав1гх+ — ~ = О, $ 6. 0си симметрии кривой.
Плоскости симметрии поверхности Определим плоскости симметрии поверхности, заданной уравнением в произвольных координатах. Пусть Х.'и:ч — направление, перпендикулярное плоскости симметрии. Так как средины хорд направления Х:р:ч лежат в плоскости симметрии, то плоскость симметрии задается уравнением ЛР„+ нРе+ 'чР',=О.
() Так как направленно Х.р,«ч перпендикулярно плоскости (и), 1о а„М~ а„ч+ а,яУ а„~. + а,у+а„м ае1Х+а„,р Х-а,хУ Х У оси и плоскости симметРНН Опрслслпв нз втой системы уравнений Х:р:к и подставив в уравнение (в), получим уравпспнс плоскости симметрии поверхности, Чтобы упростнгь отыскание Х:р.и пз системы (в~), обозначпи $ общее значение трех отношений (вв).
Тогда получим вквивнлснтпую систему (а„— ) ~+ а„) -~- а,р = О, а„Х ~ (ааа — $) р -(. а, и = = О, ав,К+азу+(аза — ~) ч- -О. Тая кок Х, р, ~ не все равны нулю, то а,1 — $ а,в а1а аа1 а~э $ ааа ахт аъв абаз — $ Опрелелвя отсюда $ и подставляя его в систему (в~в), находим нз нее Х:р:ч. Умея находить плоскости симметрии поверхности, нетрудно найти систему координат, в которой уравнение поверх ности имеет каноническую форму, Приведем пример. Пусть в результате исследования ппварнаптов поверхно- сти оказалось, что опа вллппсоид.
Тогда ес каноническое уравнение будет Х,.к'-!- Хау'+ Х,х'+ — ' = О. Мы видим, что ноорлннатные плоскости являются плоскоствмн симметрии поверхности. Бслн корни $„$с, $а уравнения 1(е) все различны, то втп плоскости определню1 сн однозначно указанныи способом. Если же среди корней есть равпыс, то втот способ пс даст однозначного решения (случай поверхности вращения), И к тому требованию, что координатные плоскости должны быть плоскостями спииетри11, надо присоединить требование псрпепдикулярпос1н, Рассмотрим еще прпмср. Пусть поверхность является гиперболическим параболоилои.
В зтои случае есть дне и только две плоскостп симметрии„ Они являются координатными плоскостяии. Пачало коордипаг находится в точке 14$ исследовлнив кРНВых и иовгРхиостей (гл. ып пересечения оси гиперболоида (прямой пересечения плоскостей симметрии) с поверхностью, Соотвстствующсс рассмотрение для кривых второго порядка приводит к выводу: Оси симметрии кривой второго порядка зада1отся уравнениями ~Е, + рф„.= О. Из системы (аг,— $) Х+а,,р=О, „Х (.(а,.— ц1 =О, где $ — корень уравнения У(Ц) — О, определяется Х:р. Система координат, в которой уравнение кривой принимает каноническую форму, определяется из соображений, аналогичных тем, которые вышс применены для поверхностей.
Упражнения 1. Найти ось кругового конуса х' —, у' ~ ге — (ах ~ Ьу — гг)' =-О. 2, Найти першину н ось параболы (ох+ар -с1х — ах-'-бз-'у=О. 3. Найти ось симметрии крноой х' ~ „',-(их 11к- у~~ ~ а,х ~ б,у,'.у, $ 7. Асямптоты гипсрболм. Асимптотнческий конус гиперболоида Пусть гнгсрГилз ззлаиз уравнением в произвольных коордн ната х ху: 2Ф.-: а,х 2а злу -', ах у~.,-2омх. 2ахзУ+ азз=О. (Ч Найлом урзвнсицс сс осизи:тот. 11срейлсн и системс координат х'у', в которой уравнение гиперболы имеет кзноинчсскуго форму: 2Ф' =-ах'з ' ру'е-1-у= О.
В втой системе координат, как мы знаем ($5 гл. 1Ч), обе асимптоты задаютсн уравнением ах' ~у' = О, КАснтн!!лнля т. в Если тсисрь перейти снова к коорлииатаи .ъу, то ллп гиперболы мы сиона июл) >ни уранисиие (>), а следопнтелы1о, для ее асниптот уравнение 2Ф вЂ” у. !!остонииая у, как известно Я 3 г ь ~71!1), равна — ' !а !» Таким образом, уравнение аги натот синерболы, заданной уравнянислл о общем видя. бус)ет 2Ф вЂ” '- О. кф Проводя дословно такис гие рассуждения дл» гиперболоида (олиоиолост ного, двупало ст ного) 2Р=а~~ха ' 2йн,хр',-... '-алл —.О, иакодии уравнение сго асиипснгичсского конуса 2Р-- — '.= О. /р Упражнения 1.
11айти асими;оть гиперболы (их ~ Ьу ! с) (алх-1-Ь,у+с~) = сопл!. 2. 1!айти асн~т~оты гиперболы ). (ПХ+Ьу 1-~)"-~-р (П,Х+Ь,у-1-Г,)'=.т~ фрх <О). 9 8. Касательиая криво,'1. Касательная илоскость поверхности !!усть кривэн второго порядка аалаиа уранисииси обнисго вида 2Ф= а„х~ 2а,~ху -:-... -:,-а =О, Составим уравнение ес касатсльиой в ироизпольио1л точке 4о(хо, уо? 14а нсследовмшв кгивых и повеихпостей (гл. т1п Касательная к кривой по опрсдслепн1о есть предел секущей д, когда точка К неограниченно приближается к Л» (рнс, 86).
Пусть А (х, у) †произвольн точка касательной, Обозначим Л'(х', У') блнжайшув к Л точку секущей. Очевидно, когда К- Л„Л'- Л. Координаты точки К чсрсз координаты Лр и Л' можно записать в виде х„=х»-~.1 (х' — х,), Ук =У» -( г (У Ур).
Подставляя координаты точки К в уравнение кривой, получим 2Ф(к — — 2Ф(лв-~-2~ ((х х») Фх(ле-(-(у у») Фх(Аа) + -1. Р(а„(х' — хр)р-( 2а„(х' — х ) (у' — у,) -,:- ар,(у'-ур)') = О, где индекс Л» указывает на то, что в качестве х и у надо взять к~юрдийаты точки Л,, Так как точка А, лежит на кривой, то Ф,'л, = О. Поэтому равенство можно сократить па Ф. Г1олучиы 2(х' — ») Ф,(-, у»)+2(у' — ур) Ф„(х, ур) -'.- + Ю (а „(х' — хр)» +.
2а1» (х' — хр) (у' — у») -(- а,, (у' — ур) р) = О. Пусть теперь К - Л, Тогда У - О, а Л' — А (т. е, х'- х, у' у), н мы получаем (х — р)Ф„(-, у») .'-(у — ур)Ф,(х, у )=О (») Это уравнение линейно относительно х н у н поэтому является уравнением некоторой прямой. Произвольная точка А касательной ему удовлетворяет, Следовательно, вто— уравнение касательной. Касатеяоной плоскостью поверхности в точке А мы будем называть такув плоскость, в которой лежат касательные нсех кривых па поверхности, выходящих пз Лр (рнс.
87). Составим уравнение касательной плоскости в точке Лр(х», у, л») поверхности второго порядка: = а~~х + 201»ху + ° ° Ф + а»4 '-" О. клслтильиая Проведем пр>извольиую плоскость гг через точку Л ° Оиа пересечет ионсрхиость по кривой ягорого порядка й,. Ироислем касатсльну>о кривой Ф, в точке Л и обозначим А(х, У, а) произвольную точку иэ втой> касательной (рис. 88), Рнс. 83 Рис 87.
Ъ»зь»см точку К нэ й„г>лиль) >о к Л, и прояелсм через тои:и Л„, К сскущу>о д. Пусть Л'(х', У', а'» — точка сскуи>сй, блн кап>иан к А. Очевидно, при К вЂ” Ло А' Л. Коорди»эть»очки К через к~и>рдииаты А, и А' можно прсдстаыигь в ниде ~к ~0 ' Ф (~, хо) Ук=Уо+ т (У вЂ” Уо) ~к=~о ' г(а ао». Лолставляя координаты К в уравнение пояерхиости, получим !лэ > ((к "ко) ~д ~л~+ (У Уо) г я !лд + -(- (' — М ~'*!л.'г+ ~' И (к' — М'+ -> ~п>о (к — -ко) (У -Уо) + ° ° ° + аоо (а — М ) = О (") Но 2Р[л,— О, так как точка А, иа поверхности, Деля равенство (о) иа Ф и персхолв к пределу ири К Л,, получаем (>с — М~„!л,-('(У Уо) ~о!Ао+(а о) > о1л. ==О.
Это уравнение линейно относительно х, у, а и поэт»му залает некоторую плоскость. Так как ему удовлетворяют координаты;иоб>ой точки А, касательной Й, в тн иге Ло, какова бы ин была а, то оно представляет собой урэ>и>синс касательной плоскости поверх>ы сти в точке А . 148 исследОпяи11Б кРпвых и пОвкРхд10стий !ГД. У11! Упражнении 1.
1!Окяозпи что касательная плоскость поверхиост11 второго «прядка и;Очке !' иард;1лельи«лиачс1ра.и,цо1! плоскости, соответ!1вуюиий хордам, иаралледьццч диаметру, проходящему через 7!. 2. !!Усть 2111=-а„хо-«2и1охУ-1-...- вц — -Π— нРгвон втоРого цорядка, Л„(хо, уо) — точка и11е этой кривой. 1)ро!!сдео! через Ло 1роизвольиу1о прямую у. 1!усть Л (х, у) - произвольная тачка этой . ряоюй. Координаты любой точки (! прямой у кожно представить и ! 1ИИ в=хо 1-1( — хо), у!1=уо (. 1(у-у).
Значении паРаметРа !. Отвеча1ои!ие точкам !!! и Во пеРесечеи1«Я хрцвой 2Ф=-О с цргмой у, находятся из квадратного уравнения 2!Р(хо , '! ("" хо) Уо — ! (М вЂ” Уо))=О. (оо) Когда пряиаи у прцблцжае1ся к касательной. корпи уравнения (чо) е л и ив 1Оте и. Составить, принимая но в11цо1,!ицс ткчз:пц;ое со!!бряк!ение, ,.равнение пары касательных хргиюй в!Оро!о порядка 2Ф (1, цсхо- ляип1х из точки Л„ 8. Состав«.ь УРавнение ко«Уса с веР цц«ой Ло(хо Уо* хо) ка- !акц1!е1огя поверхности второ!о 1.Ор!11!ка 2у=О (см уир. 2). 4. Составить уравнение цилиндра с Осью, параллельной прямой Х У 2 Х 11.
У ОписяицогО Около иоверхиОстц и~о!ро1!! 1:орйдкз 2! О. й. Показать. ч1о 1еометричссксе место верги«:1 прямых трех. 1раиицх углов, грац« которцх касаются элиисо:!ди, есть сфера. и. П«качать, что геометрическое моего веригин ирнчцх трех- гранных углоо, грани которы.1 касаютсв эллиптического гараболоцда, есть плоскость, 7. 11оказат1ь что касательная плоскость одиополос!иогн г,ии р- болои,;в и ! и11ерболического иараболоида пересекает ио!и рх1юсть цо лвуи прям!им. 8. Какому услови1о удовлетворяют коэф !ци;исн ы уравнении плоскости нх+Оу+ж2 ~ 1з если эта плоскость касается эллипсоида хо уо хо — — -' -- =17 ао ао со 8. 11оказать, что софохусице позсрхиости вгорого порядка х' уо хо ио — ' Х ~ Ьо «-7! ' ао — 'Х проходящие через точку (хо, уо, д„), иересенвютсв в этой то:хе пои «рямым углам.
1(рсдполягастся, что точка ие лежит ин в одной из кооркииати1цх илоскосте11. Глава !Х ЛИНЕИНЫК ПЮОЬМЗОВАИИЯ ф 1. Ортогональньас преобразования ! а,»у,' и,аг -1- а, „ ,-а„,у.,' и., ' а„, 1-а,,у--а, г ,'- а,„. х'=а„х у' — а»,х г == аа,х коэффициенты которых а";, + а";, -,:-а„', - 1, а;, -,'- а,, и- а,"., = 1, й х х х а~а аы 1 аха (х) уло влет ворн 1о г условии и аыа1» -'г" а. ~ах» -~- и, 1ах» =. О, а„а1з+а»ча„, . а.„ах ах ~а 1» + и»аа»~ ' аа ~их~ О, Пусть произволы ан фигура 7' движением илн движением и зеркальным отрав<синем переведена в некоторую фигуру Г' Тогла говорит, что фигура 7" получена ортогональным преобразованием из Р.
Очевилио, ири артогонь нально.и щ>еабразааании фигуры расстояния вежду ее точнагви не изме- уР нянчатся. НаПлсм формулы, устаиавлнвло1иис свн ~ь между коорлцпатамц ироиз- о4 вольной точки Л (х, у, г) фигуры Г и соотвстству1оп~ей точки Л'(х', у', г') А фигуры Г', 11рслставцм ссбс, что система ковр- ,е дипат а (х, у, г) жестко свнзацэ с фигу ро$! Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
