1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Тягла ири ортогональном рпс. Ю преобразовании опа цсрсйлст в цскотор)чо сцстсму коорлинат а*, относительно которой координаты точки Л' будут х, у, г (рис, 89). Таким образом, залача сос1оцт в том, чтоГ>ы выразить коорлццаты точки Л' в системе коорлипат г, ссяц известны се коорлнпаты в системс г'. Еак извес~ ио Я 4 гл Ч), свазь миклу координатами точки относительно лвух лскартовых прнмоугольпых сцстси координат устацацливас гсв формулами (гл.
>х лине>>ные ПРГОБРАзоВАнии Отсюда, прн>шмая но винмаинс вышснзложсн»ое, заключаем, что любое ортогонпльное «реобрпэование эасается формулами (»), козффи>у>енты котарь>х удовлетворяют условиям (»»). Покажем, что н обратно, всякое «реобраэование, задаваемое фпр.чулами (») «ри услоаиял (»») есть ортогональное иреобраэование, т. с.
преобразованная фигура получастсн движением или движением и зеркальным отражением иэ данно>>. Пусть Л, (х, у„» ) и Л,, (х», у„г ) -две нроизвольн>гс точки фигуры Р, Л', (х'„у,', г',) н Л,(х,', у„г,') — соотвстствуюи>ие точки фигуры Р'. Евалрат расстояния мсжлу точками Л; и А, равен (х', — х,')'+ (у,' — у,')'+ (; — ~)'. Ясли в вто выражение подставить выражсння х'„х'„у'„у,', согласно формулам (») и воспользоваться условиями (»»), то получим (х~ М -'г (у> — уг) ~ (г'~ М ° Таким образом, расстояние между любыми двумя тачками фигуры Р равно расстояния> мсжлу со»твстстыу>о>цил>н то >- ками фигуры Р'. Следовательно, фигура Р равна Р' и Р' получается движением нлн движением и зеркальным о1ражсиисм из Р.
Орто> овальные прсоб>разовання обладают сле~ц >ощими геометрически очсвндиымн сио>>став»н>, которые, ниро >се>, можно проверить и аналитически с но»>ощью формул (»). 1. Последовательное выиолнение двух ортпгональны т «реабраэованцй есть сновп ортогональное преобразование. То есть, если фи>ура Р' получается ортогонал»н>г»> мрем.браэованием нз У', а фигура ~'" ортогональным преобразо>ими»см из Р', то Р" нолучастсп ортогон»льнь>ь> нрсобразованнсм из Р.
2. Преобразование,обратнс>е к ортогональнол>у, есть ортогональное «репбраэование. То есть, сели фигура Г' »олучастсп ортогональным преобразованием из Р, то Р полу >астси ортого»альным преобразованием из Р'. $1) ОРТОГОИАЛЬИЫВ ИРСОВРАЗОВАИИЯ 3. Тождественное !!реобрачоаание, т. е. !!реобраэование, задаваел1ое формула.1!и х'=-х, у'.--у, л'=х, есть ортогональное !1рсобраэоаа!!!!е. Ор1!1Гоиальиыс ирсобра,!Ов1ии!н иа плоское ги опрсдсля!Отся аналогично и об!лада!От а1!адоги'и!ыми свойствами.
0ии и:1да!О1СИ фИр1!удава! х ' а 11х а1ау а 13 у'- а.,х',' ае,у-,'-а.а. ги эффииисн1ы которых удовлетв1!ри!От условя!!а! а ! + а21 ' 1 а х-'-а,'"'х -. 1, а„а,,-,'- а.,а, = О. ах'+рув-',-у =-О, аха+ ру* =- О, аха+2ру =О, ахе-1-у=О, х'=О. Упражнения !. Составить формулы ортогонального преобразования, которое плоскость ху (у», хх) переводи! н себя, плоскость ху переводят в плоскость ха (уа). й.
Составнть формулы ортогонального прсобразпзаиия, которое оставляет ин месте начало коорд1гипт, а ось х переводит в пряму!о х у й !1, р Так как формулы ирсобрази ганги! прямое!О;1!.п1ех декартовых коорди!Га г (~ 7 1л, 11) совпадают с формулами Ортогоиз,1ыиех и1!ообраз!!и:ии!й, то из рсзультатол !1 8 гл. Ш, касающихся 1:ривсдсиия урап!!еиий кривых второго порядка и каноническому виду, следус г, ито л!обую кривую второго порядка можно Ортогональным ирсобрэаоваииеы перевести В КРИВУ!О ОДИОГО НЗ С;1сДУК1ИО!Х тнПОВ: лггпкйиггг и г»гвг ьзовьиия 152 (гл.
гх ф 2. АфФггггггыс преобразования Ортогоггалып,гс прсобразоиаггия являютсв частным случасм Гголев общих ирсобргиюиаиий фшур, так называемых аф4гинных преобразований, Лффггггггыс прсобразоваиия зала- ются формулами х": - аггх-; '— агьу+а,„х-'-л,, Р у ' а»гх + а»'гу " а»»х а 4 Ф а = аа х -'- ааеу -'- аь,а -,:- а гггс ковффициситы а; — любые всигсствсииыс числа, уловлстворигогцнс слггггственггоыу усл«вшо и г" и азг ааь аьз х —.- а'„х' )- а,',у'+ а;»а' ,'- а„, у = а',,х' -~. а,',у' + а,'»х' + а,'„ а=а'„х -~.а,'»у -,'-а'»»е -; '— а,'„ (жьь) г,г а,:, ири Е, гга~.
3 прслставляют собой привслегиияс алгсГ>- раическис лополиеиия элсггситов аг и А. Дстермииаит Ь', составлсггггый из а;р как извсстио, Равси Л г~О. Отсюда 01гсвггдгго, ято оггределепие инвариантно относительно выбора системы координат, тми как коорлииаты тоцкгг в од«ой сис1сггс коорлииат вырамггиотся лгигсйи«через сс координаты и тиобой пру ой систсме гок>рлггиаг. Аффиггигес ирсобраз«~гаиггя облалают слелуюпогми .цапко ггровсрггсьгг гми св«йствами: 1. Последовательное вьтояненне двух пффинных преобразований есть аффинное преобразование.
2. Преобразование, обри~нов аффинноггц, тоже является аффиннылг преобразованием, 3. Тождественное преобразование являет ся аффинным. Всс вти своИства лсг ко ировсряются с помощью формул (»). 11ровсрим, наиримср, второс свойство. Рсгиая систсму урависшгй (») отиоситсльио х, у (лстсрмииаит системы отличен от пуля), получим ЛИИ(2!И(ЫИ И!'((ОБ!'ЛЗ((ВАНИ(! (Гл, (х ф 3. Лффиивое преобразование прямой и плоскости 1Ь О (ц (.пичной образовании Ф и =.О„Х ((!«У у' = «,,х-',-«с,у Од(З --- «,„У !2аЗРСШИХ(ОСТИ фОРИУЛ аффиицси! о ЦРС- Л вЂ” ((., «... ! .
~ =,~= и »!»" „Л' ' О»(2(п",, ' (((ат 1 яы, (- О!»а (- О, "«((а ! (е Оь Относи(с(2(си~~ и, у и я следует, чт(2 222«з.((('(н(2(а тО((си 22я! пф:(2((2(2(ОЯ (222РОб(о((о2ООО(((((! 2(сйс(тод:и 6 (2((О.Р('(2((2(('. и 2(«.2«()((2! то(кп (с, )2, 1 ((ал(((у((гя ОО/2(гзол кг(ся(!02(о(! (((о(22и (х, у, с). Д((к.(2ксм, что при п((24ь((ннох! 2(!(еобдоооои((ии 2!.(О~(((2гт(2 т рстод((т о ллоскогть, л!(н.((п;( о прл (:2((о, готр((2(((с((2! ПОР ПЛЛС.(!.2(ОГ! Ь, 11ус ! ь а — ((!(оизвоььиая и (((с(:((с1 ь и Ох+(2У-'-г,г '; ((--0 (" ') сс уравис(и(с.
11ри аффиии (я ((рсобр,(з 2ввиии ( ) ((((((ск2(с!ь а псрсх(22(ит и искотору(о фигуру а'. Тик как коордии(! ! ы квжд(2(1 то гкн а уд(2(2(с(и(2!2((2(2! уравцси2цо ( «) и 2(иисйи(2 выражаются чсрсз ьоорлии зты с(2(2! В(2 ! с! Иуюии:и 1очки фн(уры а', то коо!хчииа(ы точек а' удонлсгвиряк(т такж» лиисйному урзиисиию а'х* —,' д'у' + с 'г ' -,'- г(' — О, ( (':) которое получастся нз («») вамсиой х, у, а их линейными вырви(синди отиоситсльцо х', у', г' согласно формулам (»») т(рслылущсго параграфа.
Урав((синс (»»)' ис может быть тождеством, так как, вводя и исго вмссто х', у', л' переменные х, у, а по формулам (»), мы снова должны получить (»»). Таким об(разом, а' лсжит и плоскости, задаваемой урависинсм («»)'. 1)окажсм, (то а' совпадает с этой плоскостью. Лсйстяитсг(ьио, пусть (х', у', а') — любая точка плоскости (»»)', Ес образ при аффиниом преобразовании, обратном (+), улов!(створяет (»»), а слсдоватсги (ю, принадлежит а.
Отс(ода мы дсласм вывод, что а' совиадаст с ((чос((! стью ( «)' (а ис яилястсн сс чзс(((о). Тсм самым доказацо, чти цл (скость при аффиццом преобразовании ПСРСХОДИТ и и:(ОСКОСТЬ. основной инвлтиАнт Так как плоскость прн аффиниом преобразовании перс- ходит в плоскость, а обратное к аффиниому иреобразонанню является аффиииым, то различные плоскости переходят в различные. Так как различные точки нри аффиыиои преобразовании переходят в различиыс, то параллельные плоскости переходят в параллельные.
Так как чсрсз пряную можно провести лне различные плоскости, а различиыс плоскости ори аффиниом преобразовании псреходят в различные плоскости, то лрямал лри аффинном преобразовании переходит в прямую. Так как двс параллельныс прямые можно определить пересечением двух параллельных плоскостей с третьей плоскостью, а иаралзсльныс плоскости при аффипиом преобразовании переходят в параллсльныс, то лри аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в паралч лельные. В заключение заметим, что аффниные преобразования иа плоскости обладают аналогичными свойствами.
В частностк, лри аффинном преобразовании на плоскости пряные переходят в прямые и сохраняется параллельность. Упражнения 1. Найти плоскости, в которые иерейдуг координатные плоскости ха, рх, хх ори аффкнном иреобрааоваиии (+). 2. Йайтн прямые, в которые перейдут оск координат ори аффннноч преобразовании (е1 $ 4, Основной нивирнаит вффиииого преобразования При ор|огональном преобразовании расстояние чсжду точками ис изисиястся. 13 связи с этим говорят, что расстояние между точками есть инвариант ортогонального преобразования.
л1ожно было бы назвать много других нцвариантов ортогонального преобразования, например угол между прямыми, площадь треугольника. Расстояние между точками нвлястся ис только простсйгиим, но и осиоиинм иивариаитом, так как через него мо~у1 быть выражены нсс остальиыс. 11ри нффиииоы ирсобразоиа пни расстояние между точкамп, как иренино, нзмсинстск, так что расстояние между линейные >>Рг>оьРАзовм!ия (гл. гх тачками це является ш>вариантом общего аффишюго пре- оГ>разова>н>я, Простейшим и основным нивариаитом аффиш>ого ирсоГ>- разованин является простое отношение грех точек ни прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
