1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 19
Текст из файла (страница 19)
а',„] » > ав! ° ° ° ~~»> ! Яв ! Ф ! !!ич ! а!! ' * ° а>н ° е и„! ... а»» исс«|ел!и!липе кРип! |х и поие!'хин|:т! Й (гл. ъ'и! 9 2. Инварианты уравнении криво':! и иозерхности второго поряд!'.а относительно преобразования координат 11усть иы имсси уравнение поверхности в1оро|о порядка а||хз--2и|зху+... - азз - «О (з) и какой-нибудь системс прямоугольных лекартовых коорди- нат. Уравнение втой поверхности в л|обой лругой системс прямоугольных декартовых коорл|п|ат х'у'х' получэется па уравнения (з), если и пего вместо х, у, г иодстави1|, их выражения через х', у', г' согласно формулам 1! 4 гл.
Ч: х -а„х'-, 'а, у' ' |з|зг'- -а„ Ф Р у== азгх .„' аззу — ', аззг*, а„ г-=а,х' -|-а„,,у'-| аззг' — ', а . 11ри втои уравнение поверхности булст а,',х' - 2а',зх'у'-( ... — ', а'„-.О. Фупкн;|я |(|(л||, и|„, ..., л4з), пс яв:||пои!энея коне!энтой, называется !|нвари!|нго.|! уцтапени!! поверхности относится!.пю прсобраз||вэпив коорлипа1, еглп ес эиачепия пс зависят | г спсгсл|ы коорлипат, к которой отнесена поверхность, 1. е., если какова бы ии была система коорднпэ! х'у'г', 1 (|тз|1 ||ь ° ° ° р лзз) - Ц (из|ай и|»1 .. | из!). Сс!!'|ас иы ий||нсз! Одни из Осиовиых нииар!!антон ур;|и- псиия поверхности, будем рэссиатринэть параду с персхолом к новой сис!с гс координат х'у'а' прсобравованис кнэдрэ п|чпой форпы из|х| —.
лззх»'. иззх|"-'оззх|х» . ~"ззхзхэ'. 2йз |хзх ! — Х (х', + х» - ;'- х.„') к новым иереисииыи х'„х'„хз по форз|уз|эз! «,=а„«, |-п~з« -,'-а««', хз =- аз1Х| -|- аззхз —,' аззхз, хз= а„х,'-. а .х,'-'-а„х',. 11срвая часть Формы ло !непа Л(х', ( х, '.1 х,') при так|о! преобразовании примег нцл "1|хз (-аззх» (- аззхз- 2а,'зхзх» ' 2и»зх»х + 2лззхзх'„ 334 исслалоВАния кенВых и пОВГРхиосткй (Гл. тн1 Перейдем в этой форме к новым переменным х', ио формулам х, = а „х', + а„х', + а,зх,' — *, а„х,', х,=-а„х', +аззхз —,' а„х, +а, х'„ (»»») хз=аз1х',— ', аззх,' — ', а„х',+а, х"„ „,=О,+О х;+О.х,—,-~., " 1!рн этом получим форму пах~ + 2й1зх1ха+ ° - ° —, й4зхз где а',~ тс же, что и в преобразованном уравнении поверхности, Так как детерминант преобразования (»»»), равный детерминанту преобразования (»н), раасн ~- 1, то дискриминанты исходной и преобразованной фариы равны, т.
е. й',) ... а'„ а 41 ° а 44 И детерминант ! действительно является инвариаитом ураниения поверхности. Дословно такими же рассуждениями для уравнения кривой второго порядка хз+2й, хр+ аззУз+2й„х+2йззУ вЂ” ', а,з=О получаются инна- аы азз~ = и +азз /з= 1 й,1 йзз~ lз =- Упражнения 3. Вычнслить инварианты уравнения поверхности ахз+2Ьхр -срз — ', 2аи-'-фу-'-,2тз — 'о=О. 2. Вычислить инварианты уравнения позерхпостн хз-'- уз+ аз — Ьз (ак -'- Ьй+аз)з = О. и„... П,з ° ° йа ° ° ° азз относительно преобразования координат рнанты 1 (А) =-. й„— Х и, азз — А йт1 й~з йм йзз азз йзз йз1 "зз йзз ~Ж нсслгловлник кгнвой нтогого ногялкк ф 3. Исследование кривой второго порядка по ее уравнению в произвольных координатах ) )усть лана кривая второго порялка в произвольиык декартовых координатах гуе: а„хз-,'-2а,зкУ вЂ” , 'а»зря — ', 2а/зк+2аз»У — , 'азз — — О.
В $8 гл. !1) мы показали, пто перьходои к некоторой говой системс координат уравнение кривой можно нривссти к внлу акз — ' $)у~ 4- ал. - ,'- Ьу + с = О. Не пахолм самой системы координат, мы можем просто н«йтн коэффнннспты а и )э с помогпью ннварнанта /(Х). Лкйствптсльно, О р — Х асч а,— Х Отсюда видно, что а и Р корпи уравнения /(А) =О, т.
с. уравнения Хз — /,Х -;- /„= О. Допустим, оба корим оказались отличными от нуля (это будет, если /., =Ф= 0). Тогда, как показано в том же ф 8 гл, П1, уравнение кривой л|ожно сдвигом системы коор:п|нат привести к виду ахз-~-~у'-~- /==О. 11етрулно найти коэффициент 1/, используя инвариант /з. Имеем Отсюда /» /» ««вЂ” ар /з Итак, если /зч~ь О, то уравнение кривой в соответствующей системе координат прилет вид /з Х,кз — ', Х,уз — — *=О, / ! а О 0 0 р О О О / а„а, а, аз,а а азл азз азз )зв иссл!л!!Вл!!ин кении!х и !!онаРх пост ей )гт!. ч[!! где Л и Л.— корни уров!!ения ~ат! — Л и .- О.
а„а,— Л ;!опустит! теперь, что оди!! нз корней уравнении У(Ц равен нул!о (это будет, если Р ==О). Тогла олин нз коэФ- фнцие!!тон а нли ~) равен нул!о; пусть дли опрслелсниости а — О. В этом случае, как показано в ф 4- гл. Ц!, кривая в соответстну!о!цих коориииатак заластси уравнением ру» — ', 2ух=: О, 3!ии Руе+б=о, имсиио, первые уравнением, если 1,ч!ьО, и вторым уравнением, если 1з =-. О. 11уст! 1,=АДЬО и, сясцоватсль!!о, кривая заластси урависиисм руй — ', 2ух — -О. Из уравнения Ла — Г! Л -; — Уа - - О ири Р,= О иак!!дна! р = Ут; ~! николин, ис!:ол! з) я ии!гариант Именно: ООу ОРО ~ОО Отс !одс1 Итак, в с!!!чае Уа= О, Р =дь О кривая в соогветств!тющих коордикатая задается уравнение!!! У,у'+2х ~ — ~" =-.
О. т Т! Рассмотрим, наконец, сиучай, когда У =У =О, Изменим коэффициенты уравнения кривой на малые величины в; . Можно так распорихгаться лобаяками и;, что П, булст о!- ли пит от иуда и уравнение кривой можст быть иризелспо к Вн)фу Л,хе+ ЛеУ' — '-" = О. () е —, у — ° 6 31 ПСС;1КЛОВЛИ1ГЗ КРИИОЙ ВТОРОГО ПОРИДКЛ )З7 Лтсисрьисрейлсм киредслу при е, — ь О. Тогда урав11сиие (а) исрсйдст и каиоиичсское урин11сиис исходной кр1гио. )! р и и е р.
! )усть У, = О, 7э = О, а „, ч~ь О, Положи 11, е гт --. ~, а всс Остальные и; раппы нулю. Тогда, исрсходя к пределу и уравнении (а), подучим :ааа ааа) Уч' — ', -'* " — О. 1Х вЂ”, ааа й заключение заметим, и то обраи1ение инварианта 1з в нуль есть необходимое и достаточное условие распаденил кривой второго лорлдка на парр лрлмых, Чтобы в этом убедитьсл, достаточно вычислить 7 длл канонических форм уравнений кравых. Упражнения 1. Какому услови1о дольтпо удовлетворять Х, чтобы кривая втор~го порядка 1а„х'+ 2а„ху+... +а,,) +) 1Ь„х + гЛ„ху — ', ..
+Ь„) = О распадалась иа пару прямых. 11оказать, что прямые, иа которые распадается эта кривая, проходят через точки пересечения кривых а 1ха+2а~зху+...+паз=О, Ь ахэ —,' 2Ь аху+...—,' Ь „=-О. 2, Уравнение четвертой стспсин аах1 — ', а,хэ ч-а,ха — аач — ', а„О эквивалентно системе аауа + а,ху+ аах' -)-а,х-,'- а„= О, у — ха=О. Свести решение уравнения четвертой степени к реи1еии1о уравнения третьей степени и квадратного ~сэ1. уир.
1). 3. Уравнение гипербольь отнесенной к пеитру и одной из асимитот, имеет иид у =ах "1-— ' х Выразить а н )э через коэффииис11ты уравпеиня гиперболы в произвольных координатах. 4. Если за оси координат припять равные перпенд1 куляриые диаметры эллипса, то его уравнение ирмметакд ха+уэ+2ах11+б =-О 1)айти а и б, располагая уравнением эллипса в ироиэн1гльмых ко ордмиатах.
ИССЛЕдОВЛПИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ (ГЛ, ЧИ! ф 4. Исслсдоваиие поверхиости второго порядка, ваааииой урависиием в произвольных коордииатах Как показано и ф 1 гл. T11, исрсходои к новой сисгсме координат урависиис иоисрхпости может быть приведено к виду ах»+()уе-,'-1>ге — '«х ', 1>у+сг+г1=-0. Используя иияариант 1(Л), получаем а — Л 0 0 о о — л о О О т — Л =- — Л» -'- 1,Л» — 1,Л -'- 1я.
1(Л) = Таким образом, а, р, 1> суть корни уравнения 1(?.) =-.О. Допустим, всс корим отличии от пуля (1» ФО). И этом случае, как известив ($ 1 гл. 711), переходом к Новым координатам урависиие приводится к Виду ах'+ 1)у»+ 1>г'+ б = О. Коэффициент о находим, используя иивариаит 1,. Иыеиио' а 0 7 О о аи °, ° а~а аа ° ° ° а»» Отсюда Итак, в случае 1 чоь 0 переходом и некоторой новой системе координат уравнение приводится к виду Л,х»+Л»у»+ Л»а»+ 1' =О, 1о где Л>, Л„Л» — корпи урависпия 1(Л) =-О. ;.(опустим тсисрь, чго олин иэ корней уравнения 1(Л)=0 равен нулю, а два других отличны от пули. Это будет, если Пусть поверхность Второго порядке задана уравнением В ироизяольиой системс прямоугольных координат худ аик» вЂ” '2«>»л..у-',....
+о, ==О. 41 нсоледовлннв поввгхностн втогого погядкл 139 7в=- О, по 1вчвь О. Тогда переходом к новым координатам (ф 1 гл, УП) уравнение поверхности приводится к одной пз Фор: ах'+ру'+2ра = О, а ха . ' рух — ' о = О. и уравнение поверхности будет Й случае 1 =- О изменнм ноэффицненты уравнения поверхности на велнчнны е, так, чтобы 1 ч~ьО. Тогда переходом к соответствующей спстеме координат уравнение прпволнтся к виду Л,хв — 'Х,Ув — ', $.вав — ' — '=-- О. в1$,~4 ~в Производя теперь предельный переход при в; О, получнм каноническую форму ураинеппя наьпей поверхности. П р и н е р.
Пусть 1в = У, =- О, ио а„а„ Положим, еав=~, а остальные е; равны пуд~о. Тогда !пы а~в аы ав, а„а Первая из случао 1, = 0 В первом ниварнант ! . ппх соответствует случа1о 7 -.~ь О, а вторая— случае коэффнпнент р находим, используя а 000 ОрОО ОООр ООр О Л,. +Х,ух+~ Ьа=О. 340 исслаловлпиг. КРпвых и ПОВГРхпосткй ~гл. уп1 Каноническая форма уравнения поперхности1 а„а,е ад ае) аек ае4 Е хе-1-Х ~е-~- —" " ь1 =О Наконец, в случае, если лва корня уравнения У(Х) равны нул1о, уравнение поверхности приводится к одной из форм: ах'+2рг=О нлн ах'+6=0.
Коэффициенты р и 6 1гамолягся путем варьирования коэффициентов уравнения поверхности подобно тому, как н только что рассмотренном случае. Мы не будем приводить этого исслелованпя. Упражнении 1. Найти капоиическу1о форму уравнеп11я поверхности (ах-~ Ьб+и+сО ~а,х+Ь,а+с,е+й1) О. 2, Показать, что если 1,—.-О, то поверхность гредстаиляет либо конус, либо пилиидр, либо расплдеетск на неру плоскостей. 3.
Показать, что если 14 — — 0 и 1е=0, то иоиерхиость распадается иа пару плоскостей. 4. Огределить коэффициенты р н 6 в каноническом уравнении поиерхиости в случае 1~= 1, 1~.=0. ф Б. Диаметры кривой, днаметральные плоскости поверхности. Центр кривой н поверхности Пусть поверхность второго порялка задана уравнением в произвольной декартовой прямоугольной системс коорлниат а„х'-1.2а1сху,:-...
+ а„=-О Для краткости записи в послслувп1их выкладках впсдси слелу1ощие обозначении; 2Р= а.дхе-~.2а1 ху+... + а,, Р„= атех -~. а1еи -1. а1аг -~. а14, Г'к = ае1х+ аиУ+ аеэг+ ае4 Р, = а„х+ а,р+ а„,г+ аа4. дилч!.теы, дикмктакльш1я Плоскости 141 :т1ы уже знаем ($8 гл. Ч11), что ссрсдины хорд данного ннираилсния Х: р:~, т. с. иараллсльиых иримой у а 1 1=' 3 лсжат в диамстраяьиой ияоскос1и.
Составим ес уравнсиис, сслн поверхность задана уранисиисм (»). Пусть (х, у, а) — ссрсдина произвольной хорды. Координаты концов хорды можно записать в яидс х1 = х + И, у = = у -1. Х~, е, = а -(. О, х, =- х — М, у, = у — И, з, =- я — О. Подставляя эти координаты в уравнение поверхности (»), иолуиасм 2У'(х, у, х) -~- .~-21(Х/:,,(х, у, -);-ф' (х, у, е):,-И:,(х, у, е))+ -;-Р(а1гХ;-асей а»,7»-, 201»3ф-( 2аюфУ ' 2а 1й).-0. Из этого равенства слсдуст, что коэффициент нри 1 должси быть раиси иулкк и-,.+1<Ä— И-;=0. (»») Это и есть уравнение диагаетральной плоскости, соотеетств1гген1ей хордаи данного направления Х: р:м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
