1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Простым отиоьченисм трех точек Л, В, С на ирямой называется число (ЛВС) .— Е Покажем, что простое от>гошенис трех точек иа пря»ой сохраиястсн ири аффиином ирсобразоваиин, т, е. если точки Л, В, С исреходят при аффиином преобразовании в точки Л', В', С', то (ЛВС) — (Л'В С ). Нс ограничивая об>цностц можно считать, что точки Л, В, С лежат иа осн х (примусе ЛВ можно принять за ось х). Далее можно с>итать также, что точки Л', В', С' тоже иа оси х, так как ортогональным преобразоваииез>, которое, очевидно, не меняет простого отношения (сохраняя длинь> отрезков), тройку точек А', В', С' всегда можно перевести на ось х.
Л в ятом случае имеем (,»>с> - ~ * — "" ' ~-, (А в с ~ -. 1" — "'- — ""-'~, 1хн=хс ~ ' ~хп хС~ По координаты х' точек 4', В', С' с координатами х то- чек А, В, С связаны равенством х' =п„х-,'-а, и равенство простых отношений (АВС) (Л'В'С') очевидным образом проверяется. з'»ражненне 1.
Показать, что су>исствует»фф>ии>ое иреобразо»ание, ко1ор»е переводит произволы>ьй данныи >реугольннк в»р>нн>ль»>ай. Показат>ч нто то;ка пересечение медиан нереходит и точку пересече>:ня медиан. 2. Показать. что аффшгиым преобразованием л>обой данны>1 нара>глелограмм можно исренестн в квадрат. >>1ожио ли ли бой четырехугольник нсреаеств аффниным преобразованием н квадрат? 3. 11рв каком условии аф1» нное нреоГ>разованне ллоскосгн, задаваемое фора>уламн 1е) »рень>ду>дено нараграфа, ос|залает пекод.
внжной некотору>о гочку. л»»»»сй>»ие нееоаслзовьиия (гл, »к Все э.г.ги>»с»> аффиппо эквивалент>нк ок»>у>»г>»огти к- 1-у'=-1. В: е гип»ч>боль» аф»р»»чно эквавалептнь» раепобокой г»н»»уболе хе — у-"= ! Иге пи,>аболь» аф>р»»>»>»о з>»в»»виген>пь» парабо.ге У вЂ”.. А'-'. , 1»>кзжс>»»»а>»р»»з»ср, первое утвср>клсиис.
»!и>г>ой эллипс ортг>го»»»»эьн>ть»»»рс»>бре1»>ва>г»»с>» можая быть исрсвслсн и, эллипс Ъ"-, рь ,>>»з Л этот эллипс ревномсрныи сжатием (раста>»»с и.си» <>т»»»>- ситсл»иго коорл»г»»>»>»»»»>» осей »> >>У перевод»»тся в окружнос»ь х' (-у'-' 1. В с:»учае пространства имеют место аналогичные утвсржлснпя об аффпипой эквивалентности поасрк»»остей второго порнлка, 13 закл>очснис покажем, что лн>бое аффинное преобразование на плоскости можко получить, выполняя последовательно три преобразования — равномерное растяжение (сжатие» относительно двух взаи»»но перпендикуляркь»х прял»ь»к и некоторое ортогональное преобразование, Йоказа тельство просто.
Окружность ха+уз =1 (рис. 90» при аффинном преобразовании исрейлет в некоторый эллипс Е'. !!усть Л' и В' — иве его иослсловатсльиые вср»»>ины, О' — иситр, А и  — соотвстствугощис точки окружности. !1ря>»ыс Ол» и ОВ»»ср»»е»я»»кулир»»ы, так как являются сопряженными »»»а»>»страь»»» круга (оии ведь соотвстству»от соп р>»же»»м»и» ииамстрам эллипса 0'Л', 0'В'», лФФииныя пРяоьРлзовлимя Введем дяс системы координат: ху, взяв за положительные полуоси х и у прямые 04 и ОВ, и х' у', приняв за положительиыс полуоси 0'А', 0'В'. В системе координат х'у' эллин с Е' звластсн уравнением л' ах'+ Ру'э = 1. б В' Су1цествуст ортогональ- л иое преобразование, кото- д рое переводит эллипс Е ср -$ ох +ру 1 в эллипс Е'. При этом его вер~пииы А, В перекпдят в вершины Е'.А' и В'.
Рассмотрим теперь аффиииое преобразование, которое состоит из равномерного растяжения (сжатия) относительно оси у, прп котором точка А переходит а А, равномерного растяжения (сжатия) относительно оси х, при котором точка В перекодит в В и ортогонального преобразования, переводящего эллипс Е а Е'.
Построенное таким образом аффнппое преобразование так жс, как и лапнос, переводит точки О, А, Й в точки О, Л", В', а следовательно, совпадает с ннм (% 2). Утверждение доказало. Аналогичное предложение имеет место для аффнпного преобразовании в пространстве. Именно, любое аффиннов преобразование а яространстас поясвт быть разложено ни три равномерными сясатая (растялсения) ло трем оптино перпендикулярным направлениям и ортогональное нреобрааоаание.
Ъ'вражке иия !. Вывести свойства сопряженцык диаметров эллипсе ня свойств диаметров окружности. !3ывссти свойства диаметров и лпв~к1рвльиыл плоскостей эллипсоидв иэ свойств диаметров и дивиетрвльиык плоскостей сфер ы. й. Аффияпое преобразование нв плоскости эвдвпо фоРмулами х'=-в,х 1 Ь,у 1 с„ и =Мех!-аер-" Ъ )гл. ~х линий гпяе пннонРаэовкнин Кнк показано, зто преобразование можно разложить нэ равномерное растяжение (сжатие) по двум взаимно перпендикулярным направлениям н некоторое ортогональное преобразование, 11аВти козффнцненты растяжения (сжятнн). ф 6. Проективиые преобразовании Аффииные преобразовании фигур представляют собоИ частигаИ случай более общих, так называемых проективных преобразований, задаваемых формуламн а тх-~-аду-',-агат+а, ° х =-- а4 х- -аду-~-адзг+ аы ' а~д х -~-аязу -',-аззх -'; азе У = адх-"аду"';а4зг ) ад а„р-~-аязу- -аз„а+аз, а4,х ~-а„у 1 а,зг ~; а~, ' коэффициенты которых удовлетворя~от единственному усло- вн~о: а11 а1з а|з а1е а и ага а а„аа, а„а„ а4, ааз аез аа4 Этими формуламн преобразование определено для лвбой фигуры Р, не пересекающей плоскость и„: а,цх -'- а у -1- а х -~- ал — — О.
В ближайших рассмотренинх мы будем предполагать, что преобравуеман фигура не пересекается с плоскостью и„. Очевидно, данное определение проективного преобразова" нил инвариантно относительно выбора систеяты координат, Непосредственной проверкой можно убедиться, что последовательное выполнение двух проективных преобразований есть проективное преобразование, обратное к проективножу преобразованию снова провктивное, тождественное преобразованиее — проектиеное. Проектнвное преобразование обладает многими свойствамп «ффнпиого преобразования. В час.гности, ири проектиэных преобразованиях точки, лежащие на прнвюй, пере.
ходят в точки, лежащие на примой, ияотктивные ПРеовРАзойаиив Простое отношсш!с трех точек при проектнвном преобразовании, вообще говоря, не сохраняется, но зато сохраняется сложное (анеармони!!еское) отношение чстырсх точек иа примой. Это отношение определяется следующим образом. Пусть А, В, С, Π— четыре точки иа прямой и в — отличный от иулн вектор, не перпендикулярный прямой. Тог!!и сложным (ангармоничсским) отношением точек А, В, С, О (взятыг в данном порядке) называется !ясли! (АВСО);.= — '.: — '.. е АС,е А0 еВС еВЙ (ЛВС0) = - —.
«г — х ! х!г — х! хс — «и 'хл! — кн ' (ч!) Если осн у и к не перпснликуля!гиы пря!Л)), то полу'!Лютея низ!!о!ичныс формулы с координатами у и к. Покажем, что сложное атно!!!ение четмрвк точек Л, В, С, 0 лрлл!ой сохранлетсл при л!роентивкол! !!реобрамвании.
Не ограничивая общности, монин! счита!ь, что гочки А, В, С, О лежат иа осн х (пряму!о АО можно взить за ось х), Можно счигать, далее, что их образы А', В', С*, О' тоже лежат на оси х, так как ортогональным прсобразоианиел!, которое, очевидно, ие меняет сложиого отношении, оии могут быть переведены на ось х. При агом координаты х' гочек А', В', С', О' выражаются через координаты х точек А, В, С, О, ио формуле а„х-~-и!! х =- — ' — —, а!!х+" и и иеиосредс!венной проверкой убс!кчасчся, что х,. — «!.
хо. — хл. «!. «н «!! «и "с "!г хо' «н' (4%:О) =(Л'В'С')л')„ '! ! о и ! !рсб:иа.ь!.'ь дик!1.1Ф!гь, е О !свод!;о, это сирс.!сл!анис инвариантно относите!!ь!!о выбора вектора и. Поэтому, взяв и начес! ис нек!и)!и е бгзисный вектор вх, сслн ось х ие перпендикулярна пригн!й АВ, св!!у !пм линвйныв преоврлзовлпия )гл. |к 11роективные преобразования на плоскости задаются формулами Р а11«-ь.а1»У-~-0!3 х = — '-.- -' —, и и и а»И+а»»у+~Ь» п»1 п»»п»» Фб а»1«, ату+а»» (~нн~) « «» У Уе «ю « — «а У Ф» ««а Отсюда — «е« -',- т«е Ф вЂ” «» » — 2 «еУ ~ «Уе Так как х, у и а линейно выражаютсн через х и у (фигура Р получается ортогональным преобразованием из Р), то выражения х' и у' через х и у будут имать внд (и»а). А это значит, что получаемая проектированием фигура Р' может быть получена проектнвным преобразованием фигуры Р.
и обладают аналогичными свойствами. 11азвание «ироективные преобразованная связано со следующим свойством втнх преобразований. Всякая фигура Р' плоскости а, полученная из фигуры Р втой же плоскости проективным преобразованием, не сводящимся к аффинному, может быть получена центральным проектированием из некоторого центра Ь' фигуры Р, равной Р. Обратно, всякая фигура, получаемая таким проектированием, может быть получена проективным преобразованием из Р.
Мы докажем только втору1о часть утнержденни.11е ограничивая общности, можно считать, что плоскостью а является плоскость ху. Пусть А (х, у, О) — произволюп1н точка фигуры А (х, у, «) — соответствующая точка Р, Ь'(х», у», а )— центр проектирования и А' (х', у', 0) — проекция А из центра Ь' на плоскость ху. Так как точки 8,А и А'лежат на одной примой, то $7) одпоголпыг капчннлты Украине»нн 2, Показать, что проект»нное преобразование на плосност» однозначно определено, если оно задано для четырех точек, из коих и»ивине трв ие лежат на одной прямой. 3. Выразить через ангармоинческое отношенве (АВС0) ангар.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
