1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Итак, гуи>егтврет такая система иря»>одгольнь>х декартов«>х ксирдинат, в которой аралнение»аверхкости имеет вид а»х "ззу + азз» -! 2а>х+2азу ° 2аз»+ а =-О. ф 2. Кл»ссифик»ция поверхностей второго иорядк» Как показано в предыдущем параграфе, персходом к со»твстствувщей системс координат уравнение поверхности второго порядка можно привести к лиду адхз-',— аззУз+ааз»з+2а1х+2азУ+2а»+а =О, (в~ ЛОВЕРХПОСТИ ВТОРОГО 77ОРйДКА 1гл. Рм Будем различать три основных случаи: А — все три коэффициента ири квадратах координат в уравнении (~) отличим от пуля;  — два коэффициента отличим от нули, а третий, например ааа, ранен пулю; С вЂ од коэффициент, например ааа, отличен от иулн, а дна другис равны нулю, В случае А переходом к новой системс координат, согласно формулам к'=к+ —, у'=ут —, ~=я+в ап а~а аез что соответствует переносу начала координат, приводим уравнение поверхности и виду ак'а+ ~1у'а+ух'" ~-6 = О.
Тспсрь различаем следующие подслучаи случая Л. А,: 6 = О. Г1овсрхиость прсдставлнст собой хонус— мнимы71, если а, р, у одного знака, вещественный, если среди чисел а, р, 7 есть числа разных знаков. Л: 6=,Ф-.О, а, р, 'у одного знака, Поверхность прсдстанлнет собой вллилсоид — мнил7ыи, если и, р, у, б одного знака, вещественный, если знак 6 противоположен знаку СГ~ Р~ "Г Л: 6 ч60, из четырех коэффициентов а, Р, у, 6 два ковффицислта одного знака, а два другие — противоположного. Поверхность — однололостный гиперболоид.
Л : 6 чу= О, олин из первых трех коэффициентов противоположен по знаку остальным. Иовсрхиость — двулолостный еиларболоид. В случае В переходом к новым координатам по формулам х'=х+ — ', у'=у+-'-, л'=х а„ ' а я' приводим уравнение поверхности к виду ик 'Я -! ру 'х + 2рх' -~ д = О. Здесь надо раэли гать слсдуюигие подслучаи: В,. р=О, а=О, Поверхность расладоетсл на лару лло» СССОС 7 ЕЙ кллсснеиккции понеехпостяй — мнимых, если а и р одного знака, вещественных, если а и ро противоположных знаков. Ве: р =О, а ~ О. Поверхность — цилиндр — мнимый, если а, р и д одного знака, вещественный, если есть коэффициенты разных знаков. В частности, если сс и р одного знака,— эллиптический цилиндр, если а и Р разных знаков,— еиперч болинеский цилиндр.
Ве1рФО. Параболоиды. Переходя к повыи координатам приводим ураяпепнс поверхности к инду ах "е+ ру"в ',- 2рх" —. О. Параболонд — эллиптический, если а и р одного знака, параболопд — еилерболиееский, сслн и и р разных знаков. В случае С перейдем к новым координатам х', у', х'; х'=-х, у'=у, х'=я+ — ". ахи Тогда уравнение примет яид ух'я+рх-~- ду+ « =- О и можно различать следувгцне подслучаи: С„: р=О, а=О. Поверхность распадиетсн на нару лара,и лельных плоскостей — мнимых, сслн у и «одного знака, вещественных, если у и «противоположных зиакоц поела~ дающих, если «=О. С,: хотя бы один из коэффициентов р или ~у отличен от нуля. Сохраняя направление оси д, возьмем плоскость рх -';ау +» за плоскость х'у'. Тогда уравнение примет зпл.
уг'Я -,'- ох' = О. Поверхность †параболическ цилиндр. Упражнения 1. Кривая я плоехости ху а1,хе+2а,еху-~-ае,у~ +2а,х ~-2а1у ~-а=О представляет собой еллнпс (гиперболу, параболу). Что представляет собой гояерхиость второго порядка г ад1хе ~-2а„ху ~-а„ут ~-2а1х+2аеу ~-а. иовеРхиОсти ВТОРОГО ИОРяякл 116 (гл, ~ц й, Показать, что поверхность второго порядка Х(а,х-( Ь,у Ье,г з-Ит)»+(з(азх+Ьзу-т-сзг (-Из)а=О распадается на пару плоскостей. 3. ~)тобы получить гроекцню иа плоскос".и ху кривой пересечения поверхности агтхт 1 астре ",-агзгт (-2а, хул....
+ аы О с илоскос ~ ью г "ах ( Ьу (-е, игдо подставить в уравнение (з) г=итм.ЬУ ( е. Покачать. 4. 1(оказать, .то с«пинк поперхнув гти второго порядка параллельными илоскостячи подобны н подобно раскопок сны б, 11оказать„что коническая поперхпос.ь, образованная пряыыыи, проходящими через лациую точку, и иересекнкниими крин)1о второго порядка, есть гозертиос;ь второго порядки. 6. 11ус~ь /(х, у, г)=0, ~1(т, у, г)=0 - уравие;пгк тзух поверхностей второго порядка. Показать, что уравнение поверхности н:орого поряакя, проходяи;ей через точку (хе. у,.
г„) н пиресеченч днух данных поверхностей, бтдег 1(х У г)Ф(хч. Уе га)- 9(с> У. г)1(хо. Уя. го) 7. 11оказнть. что ирниан, запанаеиая уравнениями (и~х-' Ь1У ° е|г ' Фз) ! Х(ехтх 1-~ту ( уз» бз?--0 (азх т Ьзу-~ е,г -',- Уз) ( †„ (тххх ) )тзу (-у,г (- б„) .=. О, лежит целиком на поверхности второго порядка (а,х ',-Ь! у т-е,г-ит(й) (асс- Ьеу (-е,ал Нт)- — М 1 Риу~-у1г ' У>) (ссзх+ Ь-'-угг-- ба) -.О 6. Выяснить. что иредс-анлиет собой поверхность, образованная прячычн, пересскь.ищи~ и -ри язинмс ье параллельные и не пересекающиеся прямые 6. Состани гь урав".е и:е цоверкчостн, интор) о описывает пряная а=ах 1 Ь, (,а, Ь,с, Изао) с=еу,' Ф прк вращении около осн г. Ф 3! эллиисоии !а 3.
Зллиисоил Уравнение аллиисоида (рис. 72) ах'-,'- ~!у'~- уха б лслеиисм иа б, полагая -6=0 Ь аа ьа Ф !! В ирнвсдем к инду хв у' . а' .+ — -..— — ! =-О, аа + Ь* ' с1 иа осях координат поверхиостгио аллиисоила Из уравнения (ю! внднгв, что координатные плоскости явля1отся илоскосгями симметрии аллин:оида, а на° гало координат — иси1 ром сггчметрии, ! !одобно тиму, как аллиис иолу гнется равномерным сжатием из окружности, любой аллиасаид получается Рнс. 72. рааяомарны,я сжатием из сферьв относительно дауа лераеидикуллряыл плоскостей Имсиио, ссли а — ббльигая из полуосей вллиисоида, то ои может быть иолупси из сфсры хв уз ая — -г- — + — — ! =.О ав ' а' ' а~ равиомериыч сжатисм се относительно иноскости ху с коэффициентом сжатия — и отиосн1сльно плоскости хе с козфа Ь фиииеитом сжатня —, Ф Если две иолуоси эллннсоила равны, иаиримср а = Ь, то ои называется эллипсоидом арагаеиия х~ у~, га а а' с' -«+ — -г — — ! =О а, Ь, с иазыааготся полуосями вллиисонда и иредстааля~от собой отрезки, огсекаемые новхгхиости втогого ноищка )гл, чп Дересекза его любой плоскостью з = Ь, пэрзллсльиой плоскости ху, получаем окружность -)-у =-1 — —,, з й т т с центром иа оси з.
Таким образом, и этом случае зллил- соид обритцеге я лри вращении У эллипса «« 1=-О аа ' с' лежпгцего в плоскости хе, около оси х (рис. 7Ь). Гели нсе три полуоси ~ллиисоиди риени, го он иредгч авляег собой сфера. Линия иерегечения зллаисоиоа с произвольной ллогкосгью пред- Э с«являет Гобой эллилс, Действительно, эта линия Рис. 73. представляет собой кривуго вто- рого порядка. Так кзк этз ли«ип| конечна (эллипсоид коисчси), то оиа ие может быть ии гиперболой, ии параболой, ии парой прямых, а слсдоватсльио, она — эллипс. Уирамиеиня $.
Эллипсоид эращеиия ха уа р+-а+ — ~=1, если а С с, представляет собой геометрическое место точек, сумма всстояиий которых от двух даиямх точек — фокусов — иостояппа. айти фокусы аллипсоида, 2. Пусть имеем эллипсоид сь«'-~- ~у'+ ута+ Ь =.О. Показать, что если поыерхиость с«х«+Ь'-гуг' г б — дФ-га'+за+О)= О распадается ыа пару плоскостей,то эти ч.
~ скис и и'е ~кают эллипсоид по окружностям, Обосновать па агом способ рсэыскаипя круговых сечений эллипсоида. ф 4( гипееволоиды 3. Где расположены точки пространства, для которых «ы уы гы — (-.--! — — ( < О, а' Ьы ' сы 4. Покызыть, что эллипсоид лы уы ты аы Ьы гы --+- — + -=-1 допускает эыдыипе урыяпеииямп я параметрической форме~ х=асоа асов и, у=.Ь сова Мп о, с=с ы(пи. б. '(то прсыстяпляет собой кояерхпость (а,х -г-Ь,У ~;с,т)ы+(а,х+ ЬыУ-;'-г,г)ы-(-(аых-( Ьзд (-сыт)ы = (, если а,Ь,с, аы Ьы сы ах Ьы с, В. ((айти урыянение крпяой пы плоскости ху, огрыиичпяэ|ощей облыстя„я которую эллипсоид хв уы аы Ьы сы — + — + — =( проектируется пучком прямых, параллельных х у г — — — — (т Ф 0).
Х ~А М $ 4. Гиперболоиды Полобио тому как и случае вллппсоида ураписпие гиперболоидов можно привести к виду хы уз ыы аы'Ь' с — ~- — -а — 1.- =О (одпополостпый гиперболоид, рис. 741 $ Ф аы д' а Ь' с --а+ — — -4+ 1 О (диуполостиый гиперболоид, рис, 7Я. Оба гиперболоида имеют координатные плоскости ллоскостнми симметрии, а начало координат — центром симметрии, Если полуоси а и Ь гиперболоида равны, то оп пааывается гиперболоидом вращении и получается вращением около оси х гиперболы кы ты — --- — (=-О и-О аы сы )гл. чи !20 иоакгхиостн ьтогого погндкл д случае однополостного гиперболоида и гиперболы гг гй —,— — г+) =0, у=о а' сг Рис. 74. Рнс.
75, Прн пересечении гипсрболонлов произвольной плоскостлио лонгу г получатьсп ралли нные коиичсские сечения, )!апринср, плоскости г = 7г, параллельные плоскости ху, пересекают одвополостиыб ~нпсрболоил хг уг гл — -' — — — — 1 =0 аг Ьа сг ио эллиисаи лл , нл ал ' — + — — — — 1=0, х=Ь а" 'ал сл а плоскости у =- Ь( 7г! ФЬ), параллельные плоскости хг, по гиперболам; хл гл йл +~, ~у в случас двуполостного гиперболоида.
Общий гнпсрболоил (и =,Ф= Ь) иожст быть псрболонда враиссинв (а=Ь) раяпоиериын расгнжсонеи) относительно плоскости хг в получен нз гнсжатисм (нли и отноп1 сини илРлволоидьт Плоскость у Ь пересекает гипврболоид по двум иряиыи: ха аа — — -:о у=ь. па са ' э Упражнения $. Составить уравнение гнперболонла. котор1лй обрлаус1гя прн в жценни и ямой Р х — а, Ах~их — 0 около осн 7. 2. дийти нругонь1е сечения ган;ербопоила ха Ка ха .4. „ †!=О аа ' 6' са (саь упр.
2 5 Э). 3. Цокнтпп, что через кчжиув точку пространства„не прнипллежз~цу~о коорлпиптиып плоскости», проколнг трн поверхности сецействз ха Ва га аа А Ь ). ' С (Х (к — ппрпчетр сепейстна1--апл пс ч з, ол:ии о.остнь:й гнис! Оохонд и двупалостный гниерболои,т, ф 6. Параболоиды Уравнения параболоилов приводятся к виду ха, ра х= — а+ ч (эллинги ~еский нара(ньн>ил, рис. 7('), ха да — — — (гппер~юлппсский илраболоид, рис. 77).
Плоскости хх и рх явли1отгя и.,оскостнми сиииптрии параболоидов. Их пересечение (ось х) ипн1ляастся осью па- раболоида, а исрсссчсине осн с иоперкнпстно иараболо- ила — вершиной, Прн а = Ь ЭЛЛИИТИЧССКнй ПарабОЛОИЛ на:Илпаетея Ларпболоидом арап(ения, Он нолу гаетсн при вращении параболы ха х=- —,. у=-О около оси Общий вллпитинасний иараболопл кожно полупить ия параболоила вргицсния ха уа па+ па 1»ОВКРХНОСТИ ВТОРОГО ИОРядкк ~гл. т!! Рнс. 76. Рис. 77. и иа, пересекаются ио равным, параллельно расположенным иараб!»л:»и, Лейстиительн!», плоскости ' х =- 7т пересека»от эллиптический параболоил по параболам И у~ е —,; —.йа, х~й.
и Ксли каждую иэ Втик иарабол сдана" нуть В наиравленнн е на отрезок †,, то по'»учим од»»у и ту жс параболу р з=- — х=7г. фф Р»!с, 7В. Отск»да следует, что э.»,!и»»тический аараболоид обрагуетгл щ»и параллельном сдвиге параболы а — - —,, х =- О, когУ~ Х да ее вершина деижетсл вдоль лараболь» е —. —,, у =- О (»ч»»с. 78». Ан»»л »ично обраауе»сн гш»с!»боличсский параболоил (рис, 79» раиномерным сжатием (растяжением) относительно илоскости хе, Оба параболонла (эллиптический и гннерболический1 плоскос гя»»»и, параллельными координатным »»лоскостям! хе »с конус и цилиндРм Плоскости, параллельные плоскости юу, кроме самой плоскости ху, пересекают вллиитинеский параболоид по Рис, Уй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
