1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 18
Текст из файла (страница 18)
вллипсам, а гиперболический — ио гиперболам.! 1лоскос~ьхи пересекает гиисрбочичсский иараболоид ио двум ирииыч. Уиражиеиия 1. Показать, что зллиптический параболоид ирьчцеиия представляет собой гсометричсское мес.о точек, рььио удалсиимк от иекоторой плоскости и точки (фокуса), 1!айти фокус зллиисоида хе , у' х--'-- — ' ое ' а-' 2. Показать, что никакая плоскость ие исрссгкаег зллиити .с- ский параболоид ио гиперболам, а гиперболический параболоид ио эллипсам. у 6.
Конус н цилиидрц Ураииеиие конуса и мили идрпв второго порядка можно записать в формо хз , уе хе —,-1- — — —,,-=. О, (конус, рис. 80), х' у' — + -, — 1 -- О (цилиилр вллиитический, рис, 81), хз уз — — р — 1 =- 0 (цилиилр гиперболический, рис. 82), о~ ха —,— рх=-0 (цилиндр параболический, рис. 83). Общий конус получается из кругового конуса х~, уе ае — — , '— — —.=.0 а' аз се равномерным сжатием (растякссиисм) итносигельио плоскости х,г. пОВВРхиости ВТОРОГО пОРядкл ~гл.
ум Цилинлры иллиптическнй, гиперболический, параболический пересекают плоскость су по эллипсу„ гиперболе, параболе и образуются пряиыии, параллельныии оси з, перс. секающиин указанные кривые. Рис. Ы Рнс. 81. Рис. 83. Рис. В2. Общий зллиптнческий пилннлр получается из кругового х' у~ — + — — 1=0 дЬ д1 равномерным сжатием (растяжением) относительно плоскос- ти хя, конке и пилинлеы В заключение заметим, ито с олиоиолостинм и лвунолостннм гиисрболоилами сстсствеииыч образом связан коиус ха , аа хз —: — — —,=О, ва Ье га который называется асимптотичагкиьи конусов. Кажлая плоскость, промолвили через ось х, нересскпст гипсрболоиды по гиперболам. а коиус ио днум обрпхукииим, кс торые явля~отса асими ы таин этих гипербол.
И частности, например, плоскость хг (у = О) пересекает гииерболоилы ип гиисрболач а коисс ио лк) и ирииым хе "--"- — О ва,"а > которые чаля~отея псимцтотами этих гипербол. Упражиення 1. Показать, ч;о тракпеппе вру~оного конуса с мер~пипой в иачале коордииат, осью х р е Х и угточ при вери~наг 2а можно записать в виде ().т ~ рр (-ме)» — =- (сов а)-'. (хе ~ де+ аа) (Хе ~ р' —,ъ*) 2. Показать, что урапнеипе кругового цп;.иилра с осью х и г Х (ь у и радиусом Я можно записать в виде 11ОВЕРХИОСТИ ВТОРОГО ПОРЯЛКА (ГЛ. УП Е 7.
При>аолииейяые образующие иа поверхностях второго порядка Конус и пилиидры являются ис слииствсииыми поверхиостя1и> второго иорялка, содержащими пря1>олиисйныс образу>ощис. Оказывастси, этим свойствои обладают также отиоиолостпый гиперболоид и гиисрболичсский иараболпид. йсйстви1сльио, >саждал прлмал е1, задаваемая цравне. нилми а — Х~ -+ — '>, 3=— /х д~ 1>х д1 ~а Ту' Х ~а Ь~' лежит иа гиперболичг> иом параболоидв, ха ут я— а1 М' (»»] так как каждая точка (х, », е), удовлствпря>ощая уравпс»цяа> (»), удовлетворяет уравнению (»»), которое из иих иплучастся как слслствис почлс>шым перемножением.
Иоан>1>о указанного семейства в>, на гиперболическом параболоиде располагаетсл вщв одно сгл>ейство прямых ф; располагаютсл два семейства прлмолингбиых абра.у>ощих— В обо>>х слу >аях (гиперболического иараболоила и олиоип;>пстиого >иисрболоила»грлз>олинеиныа образующие одного сел>е>>гтва не пересекаются, а т>рлмолиие»ные образую>ииг разных семейств нерсгека>отсл.
Наличие прямолинейных образующих иа гиперболическом параб >лоилс и одиоиолостиоы >иисрболоидс позволяет дать новый способ образования этих иовсрхиостсй, Иыеиио Аиало>и1и>о показывается, что иа однополостиом гиперболоиде — + — — — — 1 = О а»'Ь1 с» иРямолииейине ОВРАЗу$0>дие возьмем три прямолинейные образу>ои>ие олиого ссмсйства— А„ее, у». Тогда каждая прямолинейная образукнпая увторого семейства исрссекает дт, Ея,,1(2. Следовательно, поверхность обраэустся прямыми у, исресскан>иц>ми три данные (рис.
84). Рис. 84. Рпс. И,>. 1(т1> касается одиоиот> стиого >пнсрб>о>и>ила нран>ения, то он обр;щстся также нра>неоне>1 л>обой его прямолинейной образу>ощс11 1>ко;и> оси ионсрхностн (ряс. 85), 8 заключение заметим, что ирямолинсйныс обраэувн>ие есть и на других поверхностях второго порядка, только л>нмэ>ые. Например, на вллиисоидс Х, 92, 22 —.: — — '-- — 1==0 м2 Ьф ~ гФ расиолагавтся дна семейства мнимых ирямых— х .2 ( р1 х .2 11 у~ аА. — +! — =-А ~1 — — ~, — — 1 — =- — ~1+ — 1 х .2,~,р~ х 12 1( р~ Ь>'Е.' — + 1 - = А.
( 1 -1- — 1, — ! а с (, Ь/' а с Х(, Ь1' Уира>мнения 1. Показать, «то плоскость хх» У92; 2+2е а~ Ь2 ' 2 пРохоллщаа чеРеэ точкУ (х„Уч, «,1 гипсРболнчсского паРАболоила хч 1>2 — — — ( 2=0, а'> Ьч пересекает гиперболоид по дВУм прямолинейным сбраэук>щим раэ» ных семейств, ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО 110РЯЛКЛ (гл. уи )28 й. Найти прямолинейные образувщие гиперболического параболоида а=п«уз. 3.
Состанить уранззеиие поверхности, обраэоианиой ирямыяи, иараплепьиыьзи плоскости хя, пересекавзиими лне даииые скрсщиаавщиеся прямые. ф 8. Диаметры и диаметрадьные плоскости иоверхиости второго порядка ((рямая псрссскастся с поверхностью второго порядка, как правило, и лвух точках, (хлзз точек пересечения дис, то отрезок ззрззьзззй с кззззнатззт в точках пересечения иа:иаиасгся «ордой.
Средззньз параллельных горд поверхности второго порлдкп лехпт в плогкосги (озза,ззетра зьноз! плоскости), Докгоксм эззз. (зззк показаззо в ф 1, существует системз зсоо(злиззат, и которой ураиисиис зиинрхзюсти имеет вид аззх~-з-а...зуе-з'-ааааа ' 2п,х — '2а у — , '2аззе ' а =-О.
(зз) х д г ((ус з ь .Орды параплслызы примой - = - =- —, Обозначим х ?. ?з у, г кзз<з(здззззззтз,з ссрслиша пр«извольиой хорды, Тогда когзрлззззатз,з копков хорлы и«типо зззззтзсзтз в шздс х=х+).!, у=- -. у+(з~,= =; ъ~.ьззз злззог,зконпа и х=--х — ).!,У=у — (И, Й вЂ” я — И яля лр)гого зазззз!а. Так кзк копны хорлы при паллсзка г позсрхиости, то их коордшизты улззя:зстззорзззот урависишо (х). Отсяздэ пззх , 'а..еу — а„ава — , '2азх — , '2аау -!-2аае — ' а -'-21 ()за„х. - ра„.у -,— та ае-,'- лаз+(за„-з- чае)+ !а (атз).а ',- аа,,)за-)-гтарюе) =- О. (йзск«:пку это раззсззстзззз ззазест мсс1о псиависимо от тззго, с каким;шзкои (.' Пли — ) берется ~, то коэз$зфззз!ззсззт при Е раасн нулзо: )~ (аз1х -з- тз1) + р (а,.у -,'- аа) + ~ (аа„г + а,) = О, (,) Таким образом, координаты с(зсдизз хорд удовлетворяют урав- нению плоскости, что и требовалось доказать.
Очевидно, если поверхность имеет центр, то диаметраль- ная плоскость ззро«одит через центр. В случае иараболоида (а = О) все диаметральные пло. скости параллельны оси параболоида !'Оси я), $8) дили>".Т!'ы и и!лывтглвьи!л!! Плоскости !о9 Злп>ГГ>тичсский (1'нпср>>олиисск>>й) Г!или>>др 11»ест бссч!Г- слсннос ииожсство цситров, раснолнжсин>ах !!а оси ццлнн !ра. !!Овтоиу каждая лнамстральная плоскость цилинлра нр >ходит через его ось. Э!о обс!оятсльство Глражс!!и н и ) р ! 1- ненни диамстра>иных пл>>ск>>стой. !3 сг!> !ас иараболн Гсск>>!о цп.нисцра всс лиг!!Гстраль>ГГ,ГС плоскости параллельны, >(иа>!Отри>!ьныс нлоскости конуса проходит чсрсз ого вгр!нину, Ниссг место сдсду!Ощсс о!>и!сс свойство .н>а>>с!раль!и«х 1>лосксстС, диа,!Гетральные п,гоги!>гти, соогастс!оу>оп!не горда».
паралле,гьнь>.я плоскости сс, либо пересекаются по некогород прн.ио>1 >Г, либо параллельны. Лиа,иетральнап плогкость, соотпетгтарннйал лорда», парил,гельны>и г>; параллельна л. Л1>ка>к>ы это. ! !усть е (1., )г, у) и е' (Х', )>', у') — отли и!ыс Г>т иулн, нс нпраллсиьные вскторы в плоскости х. Тогда любой нсктор в втой нлоскостн >н>жно представить в нилс ~'-, (Й' ь» Ф ' $ (1 Ь ~5 у ).
Йни!страл> ° 1ия илоскость, соотвстству>о!цав х>>рлам, нараллсльи!ам исктору и>, будст $ (Х (а„л: -,:- и, ) -'- >г (аггу -'- а,) . ' з (аале -, 'аа]) -,'- -,-~' (Х' (аг>х.)-а>).,! >1' (п„„у.: аг) 1-У'(а„ьа., :а )) =О и, следовательно, при л!Обых с, х' проходит чсрсз цр>1>>у>о нсрссс !ения !!лоскостсй А(а!>л; Г- а!') ", ~Ф(аагУ "~1- аг) ' У (иааф ) аа) =О, (>>>>%] л'(а>>х —,' а,).; )г' (п„.у-,'-и.) ' »'(агьа-!'-аа) = О, Ос!и! Они 1мрссск!!ГО! С 51, и нГ!р >;1:и.>ьиа и>1, осли изос кости 1!а- раилс!и иы.
! !усть плоскости (г > «) нсрссска>отся и (х", )г", у")— в ктор, параллельный нрямой нсрсссчсння. Тогда Х."Ха ~- >г" >>а.. + У"Уа„„= О, («»»>») ). А а!> ' )л !1 Иаг-~У У ага=О (нараллсльность нсктора (Х", >г", у') плоскостны (»ао)), Ди>!>гст;>1!Г!ьнан илоскост>н соотвстст!>УК>щаЯ хоРлам, па- рад!!С,>ь!!ыи всктс>ру (Х', !1", У"), булст ),е (а„а,) - — )г" (а, у+ и ) + " (а „я+ па) = О. Нз условий («а«») слслуст, что эта плоскость параллельна вскторам е(3., р, у), е'(Х', р', у') и, сдсловатсльно, иарадлспьна солсржа!цсй их и>н>ск1!Кти и.
о Л. В. По.-орелое 5 !! ИРСОВРАЗОВАНИЕ КВА>ДРАТИЧИО!! ФОРМЫ ~З! !1Ыяеипв!„>!ЕЗ!у рЛИСН дИСКрниноант В' !Н!ЛуЧЕИИОй фора!М. ! !Оложпм ,'~~ а,~а,„==а~ . (св) Тогда аа! = в~~~ Ьуа "у!> и слсдонателы!О, Ь, ! !О, согласно фора!уз!Вм ( ), ~~!1 ' ' ' ~'!» ~ а!!, ' Ь!а ! 1ан! ' ° ° !! ° ° ° т а,, и „„! !а„...
а„„ Таким образом, з а!в... и,„ ° ° ° ° и а т. е. дискри,иинпнт нреобразованной фор.иь! равен дискрими- нанти исходной форл!ы, ул!ноженноау на квадрат детерми- нанта нреобразованин. Упражнении 1. Показать, что днскриминаит квадратичной формы !авх! + авхв+ авхв+ авхв) 1Ь !к!+ Ь,хв+ Ьвхв+Ьвхв) равен нулю. Й. Вычислить днскрнми!!аит формы перев!епных хв> хв, хв, хв ~~а!х!) + Д'„Ь!х!) +~~с!х!) + ~~й;х!) . а"!! .*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
