1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 15
Текст из файла (страница 15)
и,, иа гскоторой;!лоски сти, Ес:и! при этол! сис1сл>а (» !) с!и>л>остии (имеет рсшсиис), то плоскосги >>срссскаются и! прныо!!. Уира>к>>ения 1. Пой; и ) глы, гбр,>зуемые п лоскост ью ох~ Ьр->- с»+>3 — О с осями координат. 2, Но>>>и 1> ол, >Г>;.,!)еды>> плоскостью г= рх+ др+1 с и:. ° >скос>>ю хр 3. Плоншль фиг) ры Е и плоскости х= от > Ьр+с и ило>иг;,ь ге ироекиии р на илоскость х)> сила>!иц соот>>ошецнем Ч (Г).= )' ! ! о' )-Ьл Б(Р). Пока»а гь.
4. При како» услоиии плоскость ох — Иц) сх)г! О пересекает оси х и я иол рвань>ми угла~и>> Прн каком условии она пересекает под равными углами все три оси х, д н х? урлвнаннв прямой (О! $. Показать, что и,иоскость, проходящая через точку (хе, уз, х,) н параллельная плоскости ах+ Ьу+ сх+ Н = О, задается уравнением и (х хз)» Ь (у уе)+с (л х(() О 6. Показать, что плоскость, проходящая через точку (хз,уз, го) и периеидикуляриаи илосхостят( а,х»-Ь,у»-с(а»-(тт=О, а,т»-Ь„.у»-сеа»-й,=О, задается уравнением хе у — у» х х» Ь, с, аз Ь, 7, Среди плоскостей пучка ),(а,х»-Ь,у-;с,г» ((Д-;-)т(атх+Ь,у»-саа+йе)=О найти плоскость, и(*рнсид(и(улярпую ик» Ьу~-(л»-(( — (!, В.
1!усть атх-» Ь,у»-с(х+((( =О, ах» Ьу»си+((,=О, а,х+Ь„у»-сзг»-((„=-0 — уравнения трех плоскостей, пе иараллелыых одной прямой. Тогда ссибая илоскос(ь, проходящая через ".очку и»рссе (ения двииых, имссг уравяеш(е улда Хт (атх»-Ь,у»-стх» й()»-3,, (а,х Ьзу-~-с,т-» ((,)-»- +).'. (а,х+Ьау» „х+й„) =.О. $ 5. Уравнение прямой Лвбув ирямув можно задать как пересечение двух плоскостей.
Следовательно, любая прямая может бетта задана уравнениями: а,х+ д,у + с,г -'; а' = О, а,к+азу-»- с а+ т(,=О, нз коих первое задает олпу плоскость, а второе †друг. Обратио, лтобая совместная система двух таких неэависиммх уравнений представляет собой уравнения некоторой прямой, )гл. Ф плоскость я ПРммля 11усть Ле(ха,.уе, х,) †как-нибудь фиксированная точка прямой, Л (х,у, л) — ироиэвольпая точка прямой и а(Ф, Е, т)— отличный от пуля вектор, параллельный прямой (рис. 7)). Тоглд векторы А Л и е параллельны, слсловатсльио, их координаты пропорциональны, т.
с, л --"» р — н» а 1 //~ Эта форма урал испив ири иой иаэывас тс и кано//ц /вской и ирсдс г а ваяет собой ч астиый слу 1ай ( »), т аи как дону екает зквивалситиу е эа ии с ь х» р /!/и у — у» ~ гз /л соответствую/иу~о (а). Пусть прямая эадана уравнения- ми (»). Составим сс уравнение в ка- //Э ионической форме. Длв этого до- статочно найти к//ку~о-нибудь точку Рнс. 71.
Л на прямой и вектор а, парал- лельный прямой. Всякий вектор е (й, Е„лт), параллельный прямой, будет параллелен кажлой иэ плоскостей (ч) и обратно, Слсдова« тельно, л, Е, гл удовлетворяк/т уравнениям; а,й+ Ь,Е -1- с,ги = О, а Ф+Ь~Е+с щ О, Таким образом, в качестве х», уа, г~ для канонического уравнения прямой можно иэягь любое ранение системы (ч), а в качестве коэффиииситов А, Е, 1в — ледобое рсгиеиие (»»»), например; Иэ уравнения прямой в канонической форме можно по- лучить се уравнении и параметрической форме, Имсиио, утлвняиих ИРямОЙ иа!згая общее значение трех отногисиий канонического урзписиия равным Ф, получим х- й~-~-хы у — "й-~-у~, х=гл~-(- уравнение г3рямой в параметрической !рорме, Выясним, каковы особенности в располохсении прямой относительно гигте!!ы координат, если некоторыс из козЧЬ- фициентов каноническоео уравнения равны нулю, Так как вектор в(к, 1, гв) параллелен прямой, то ирц и! = О прямая параллельна плоскости ху (ее, =.
0), ири — О прямая параллельна плоскости хх, ири А=О прях!зя параллс!!! !!з плоскости ус. 1!ри А=!) н !=О прямая параллельна оси х (в11в,), прл Ф: О и л!=-Π— парачлсльиа оси х, ири й=О и л! -О— параллельна оси у, Н закл!оченце замстич, что ураписииями нида (») и (»») прямая может быть задана и об!них декартовых координатах (а нс только прямоугольных). Упражнения 1. Прн каком условии прямая, заданная уравнением н кзпони.
ческой форМ (»»), пересекает ось х (у, х)? При каком условин пряная лежит в плоскости ху (уг, зх)? 2, Показать, что геометрическое место точек, равноудалениых от трех попарно не параллельных. плоскостей, есть прямая, 3. Показать, что геометрическое место точек, равиоудзлениых от вершин треугольника, есть прямая. Состзвить ее уравнения, если заданы координаты вершнн треугольника.
4. !!оказать, что через каждую точку поверхности проходят две прямые, целиком лежащие па поверхности. 6. Если прямые, задаваемые уравнениями агх 1-Ь!у+с!х !-а!.=О, ( а»х ~ Ь у !-с»х !-а .=О, !! а,х )-Ь,у ! с,»1 а,=О 1 а»х 1 Ь!у ! с,г-! а! -О. пересекаются, то а! Ь! с1 И! а,Ь»сев, , а» Ь! !» а» ! !!! Ь! сз а» Показать. ггноскость и леяыля $. Плюккероаымгг коордггнатааггг прямой < «гл-(-аау-) ааа-) «, -О, Ьгк-. Ьау+Ьат )-Ь,*=О называются велгг1гииы (Р,г=- .Ргг).
и также любые вслггииггы, ич кропорцггоггальггы~ Показггть, что илюхксроиы коордииагы ке ззиигят от ого, канпчи плоскостячи пупка задается ирячья. Показать, ито плюккероиы коордгггг,ггы свгзаиы согпггогггсггггеч РгеРаг' Рг.ргг пырю=О и исикуго систему иелггчгги, )дов егнорхюгиих эгочу услоиин, чожио рзссчигрииать как плюккерииы лгюрл,и игы некотории ирячой Показать, что если ггричыг е(гг,г) и Ь (пг ) иересг кию.ся, то Рга904 -) Ргау42 ! Рггдг, ' Р.гцгг Р .ье„ Р::гд - - О Показать, ято если прямые а(р„) и Ь (у„) ггерссск;гютси, то координаты ггу лгобой прямой пучка, оггределягчог о гризгыми у и н, догг ус хи го г и рея с.
а илсгг ге Гг/ ~-Ргу — р гг~ т ф 6. Взаимное расположение прямой н п.(оскости, двух прнмьгх Иусть инеем прямуго н плоскость, задагггггке ураииеипнни ах+Ьу — ', са -Ы-:О, ла у уь ~ хю Тагс как вектор (а, Ь, с) перпендикулярен гглоскостгп а вектор (к, 1, гн) параллелен примой, то пря.иая и плоскость будут параллельны, если зги векторы ггерггендигсгглярны, т. е. если аг(г,'- И спг — О. Если при етом то гка (хс, у„, а ), ггрггггаллежащая примой, удовлетворяет уравиеникг и;госкосггг ах,+Ьу„+се,л И=О, то прязган лежит и плоскости, $8) Взлимное Рлсположйния пРямой и плоскости !(5 Пряиая и плоскость перпендикулярны, если .вектор!и (а, б, с) и (Ф, 1, (и) параллельны, т.
е. если а б с (ьь) а г (л' Можно получить условив параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая зала«а псресечсиисм плоскостей а!х + б!у -',- с!е + Ф! =. О, а,х-(-б у-,'- с е-' Фа = О. Достаточно зачс(ить, что вектор с коорлииатами ,~ ! 1 1 у 1 ! „, ! ! параллелен прямой, и воспользоваться условияии (к) и (еь) ) (усть,лвс «рячыс заданы уран«сникни в канонической форме: Так как вектор (к', Г, т') параллелен псрвой прямой, а вектор (я", Х", ((!") иараллслеи в!орой иричо!), то прязиие параллельны, если ь' (' (и' л ( (ч Н частности, прямые совпала!от, если при этом точка первой прял(ой, «а«ример (х', у'. с'), удовлетворяет уравнении! второй иряч(ой, т.
с. если Х' — К" (('-У' 1'- 1" (" т" Прямые перпендикулярны, если векторы (й', !', щ') и (ь', 1", (и") перпекдикйлярны. т, е, если А'й -) ('( +т'((!" = О. Если ваданы две прямые уравне«иями одной из рассмотренных форм, то нетрудно найти угол между ними. Достаточно найти угол между векторами, параллельными прямым, 1гл. тет плоскость и игямля 1(аиример, и случае задаиця прямых уравиоииямп в канонической форме (»яя) для оетцого ии двух углов д, образуемых прямыми, получаем й'й" -~- Е'Е" + не'ст" сов(г=-— ф7 й'»+ Е'» )-т'» ')~ А"» 1-Е»й+гл~а Упражнения 1.
11окатать. что если для прямых, ааданаемых уравнениями (а) у — у г — г гл' е" к' — х" й' й" -.= О то црямыг снбо параллельны, либо цересекаюгся. 2. Найти расстояние между двумя црямымц, заданными уравцеицямц и каиоицческой форме. 3. 11айтц условие параллельности 1цериеидикулярцостн) прямой о~х+Ь~у+г~г+0> =О, а,х+Ь,у+сев )-О» О к плоскости ак+Ьу 1-ге+0=- О. 4, 11яйти условие параллельности (перпендикулярности) прямыхе а,к+Ь,у+с,к+гЕ1 О, ~ оах+Ь,у+с»г+тЕ, О, и пях+Ь»у+с,г+гЕ»- О т а х+Ь,у+с,а+В, О. б.
11айти уравнение конической поверхности с вершиной (кя, Ее„го), обРазУюЩце «отоРой цеРесекавт плоскость ак!-Ьу 1-се+И=О с плоскостью их ~-Ьу+сг+И.-.~О, Выяснить, что представляет собой пересечение атой конической поверхности с плоскостью ху. и, стсреограерцчепой проекцией снеек» иааыиается проекции из произвольной ее гочки иа касательную плоскость в диаметрально под углом а. 6. Написать уравнение прямой, проходящей чарва точку (хе, уе, ге) и параллельной плоскостям: о,х+ Ь,у+с»а+ гЕт О, а»х + Ь»у + сег + И» = О.
7, Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке (О, О, 2И). если оиа проходит через окружность, аадаваемую пересечен ием сферы ха !-ух+а».=2Яа осиовиыв влдАчи иротивоположпой точке, Покивать, что ири стереографическом ироектироввиии окружностям ив сфере соответствуют окружности и прямые ив плоскости проекции (см. упр. 7). 9. Какое преобразование па плоскости стереографической проекции соответствует всркальиому отрвжгинв сферы и ее диаметральной илоскостир й 7. Осиовиые задачи ив прямую и плоскость Составить уравнение произвольной плоскости, прокодяп(ей через точку (кв, ув, л ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
