1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 12
Текст из файла (страница 12)
кооРлинлты Ввктосл Тогда й1 Ме»+й» Ха)е»+(Х» — Х')е =: О. Умножим это равенство скалкрно на вектор е. >'е», 11олу н|м А л~) (е»е»е») " О Так как (е,е»е»):г' О, то Х,— Х;= О. Аналогично заключасм, что А — 1;:.—. О, 3~ — Х, =- О. Единственность представлении (») доказана. Локажем теперь возможность представлении (+). Допустим, вектор г параллелен к»- »тр кому-нибудь из векторов е1, е», е», например е,. Тогда "а 1г! г =- + — е» = Хео '!е! в где знак + (плюс) надо брать, сслн векторы г и е, одинаково панравлсны, а знак — (минус), если онн нротивоно- Рис. 61.
ложно направлены. Пусть теперь вектор г вместе с век горами е, и е» параллелен одной плоскости, но ис параллелен нн вектору е„ нн вектору е, 11ровсдсм через конЮу цы вектора г прямые, нараллсльныс векторам е, и е (рис, 61). Тога» Ио но доказанному г =Х,е1„г»=- = 1„е . Следовательно, г=-Х,е, +Х,е» Я Пусть, наконец, вектор г нн с У~~ какой нарой векторов е,, е,, е„ е»; е„е, не параллелен одной нлоРис.
б2. скости. Проведем через концы век- тора г плоскости, параллсльныс ук»- занным парам векторов (рис. 62). Тогда г = г~ + г» т гэ. И так как но доказанному и» '= ~е», гз =- "»е» вактогы то г = ~~е1 + )'ге ~ )~»е». 13озможность представления вектора г в фирм (ь) доказана во всех случаях. Координаты вектора имеют простой смысл, сслн базис состоит пз трех единичных попарно ортогональных векторов. Лейст«»тельно, умно~на» равенство г — "- А,е, + баге»+ к»е» последовательно на е„е, е и замечая, что е, =е",;=е, '=1, а е,ег =- е,е, =- е»е, =- О, получаем Х,=ге„А»=ге,, Х» ге,.
Пусть г — вектор с координатами Х„Хг, Х», а Г' — вск- тор с координатамп А'„Х„', Х»', Найдем координаты вектора г-+г'. Имеем Г =- Х1е~+ баге» .)" Аге», г = Х~ц -'г- Х~ег+ Х»е». Отсюда г+- г' = (Х, -~ Х;) е, —;- (Хг -~- Х',) е, + (Хг .+ Х;) е,. И, слеловатсльно, Х -»- Х'„ Хг -~- Х;, Х» +- Х', суть координаты вектора г -Е г'- Апалогично наказывается„ что вектор Аг имеет коорди- натами И , Юг, ХХ». Отсюда следует, что у лара.глельных векторов координатьг пролорииональны, Пусть базис е„ е„ е» состоит из трех единичных,, по- парно перпендикулярных «скторов, смешанное произведение которых равно + 1. Пайдем стсалярное произведение векторов г и г' с координатами Х„ Хг, Х н 1,, 1;, Х; соответственно. Имеем г=Х,е,+Хге»-!-1»е», г'=-Х;е1 ! Х ег+Х»е».
( ) Отсюда, принимая во лннманнс, что е,' = е,' =-.е,' — 1, е,е, =- е,е, = е е, -= О, получасы гг Ю -~- Мг+ "»~'»* Найдем координаты вектора т'Хг'. Принимая во нппиапие представления (ья) дл» векторов г, г' ~ соотношения е, хе, =е,, е, хе, =-е,, е, хе, =е,, пил учасм гХг'=(Х»Х; — Х»Х;) е1+(Х»Х1 — Х„Х;) ег ) АХ» — "»Х;) е». Отсюда координаты вектора г х г" ~г "г "» ~1 )'~ ~г ); х,' х,' х; ~х', х.„' нооглиизты ВГктопл Вычислим, наконец, смешанное произведение векторов гА, Хэ Х ), г'(Х'„Х», Х;), г" й~, Л~, Х~), Имссм (гг'г") =(гХг') г = Упражнении 1. Показать, что координаты вектора г отпосительпо базиса е», и„ е, соответственно равны; 2. Показать, что координаты вектора г относительно базиса (е» )С ез), (ез Х е»).
(е, Х ез) соответственно равны: (ге,) (ге,) гез (е,е,е,) ' ' (е,е,е,) ' ' (е,е„ез) ' 3. Разлагая векторы а, Ь, с по ортогональному базису, с помощью теоремы умножения определителей докзза1ь тождество ~ (аа) (аЬ) (ас) (аЬс)' ~ (Ьа) (ЬЬ) (Ьс) „(са) (сЬ) (сс) 4.
Доказать тождество (аХЬ, ЬХс, еХа) (аЬс)з, Б. Показать, что объем трехгранной пирамиды с боковыми ребрами а, Ь, с и плоскими углами при вершние а, (), 'у соз у сов !) 1 сова сова 1 1 и= — аЬс сову б соз |) б. Вывести формулу для объема треугольной пирамиды с бо. ковыми ребрами а, Ь, с и двуграинымн углами при этих ребрав Л,В,С. ~з ~з~ . "в "1 ~ ., "» "з ~ "»+» )„~)~» т ) ° ° ~)"з= "» з 3» 1 ~з (~ езез) (гезе,) (ге,е») Х,=* —, Хз=. Аз= — —- (с,езез) ' '(е,е»ез) ' (е,езе,) ' Х, Х Хз Х, ~з Хз з» "» )1з Гла аа У ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ИРОСТРАНСТВЕ ф 1. Общие декартовы иоордииаты Проведем из прои»воль~ой точки О пространств» три прямые — Ох, Оу, От, пе лежащие в одной плоскости, и отложим на каждой из прямых из точки О отличные от пуля Рис, б.'3 векторы е„, и„, е, (рис.
63~. Согласно ф 6 гл. ГЧ любой вектор ОА допускает, и притом елпнствеиное, прсдсгавление вида 04 = ха„-'г уа„+ ев,. Числа х, у, г называются обгнилнл декартоаыии координатажи тонки А. Прямые Ох, Оу, Ог называются осями координат: Ох— зсь х, Оу — ось у, Ог — ось е. Плоскости Оху, Оуа, О.гх нааываются координатными плоскостлии: Оху — плоскость ху, Оуа — плоскость 3я" Ойх — плоскость ха. Каждая из осей координат разбивается точкой 0 ~началом координат) иа две полуоси. Те из полуосей, куда направлены векторы е„, аю е„называются положительны,чи, другие от- ДЕКАРТОВЫ КООРДППАТЫ и ПРОСТРАПСТВР (! Л Ч 84 3. Где расположены точки прострапстаа, у ко~орых 1х) < а, 11т) < К га1< с. 4, П)с;ь Л вЂ” какая-нибудь аершппа параллелен> мг.~а, А,, Аг, Аг--вершкпы.
смежные с А, т. е. Концы рсоср, псходшцсх па А. !1айтп коордапаты всех всршнн параллелепапеда, прнпяа аа начало Координат центр параллелеонпеда, а копцгс йаапспых аекгороа н вершинах А~, Аг, Аг. Б. г)айти координаты гочки, н которую переходят точка (х, д, х) прп иоаороте около прямой. соединяющей точку (а, Ь, с) с мачалов коордннаг, иа угол и=-.тт2. Система координат прямоугольная. 6. 7".шить эадачу Ь прп произвольном а. ф 2.
Простейтиие задачи аналитической геометрии в ттростраистве Пусть в пространстве введены общие декартовы координаты хуе, 4 (х, у„ е,) и 4,(х,, у, е ) †д произвольиыс точки пространства. Найдем координаты точки А, делящей отрезок А,4 о отношении 2.г: Хг (рпс, 65), и Ф Ф. Векторы А,Л и А4, одинаково направлены, а пх абсолютпыс вели'тниы отлосвтси как Х~:Хг.
(.ледовательно, ХгЛ,А — Х,ААг — — О> или Хг (ОА — Ос!,) — Х, (ОА, — 04) =-О, Отсюда Рпс, 65, ).,ОА, ~-Х.,ОА, Х1 '1 Х2 Тек как координаты точки Л(х, у, е) ссть не что ипос, как координаты всктчра ОЛ, то Агкт + 3,тхг )-~+)г у Агат + Агрг Х,+$ф ее,г ьь йг+ Ъа $2) пяасттйгнпт 1АдАчи Иусть система координат прямоугольная.
Выразил расстояние между точками А, и Л через координаты этих точек. Расстояние между точками Л, н Л равно абсолютной Ф величине вектора А А (рнс, бб), Имеем г АтА»= СА,— ОА, =е„(хз — хт)+ +е'„(у, — УД+е, (зз — з1). Отсюда (А1А»)' = (хз — х~)'+ (у» -ут)' т +(зз М'". Выразим ллощадь треугол »ника в ст' плоскости ху через координаты его веРшин А1(х„У„О), Аз(хз, Уз, О), Рнс иб А» (хз,у, О). Абсолютная вслпчпна всктора А,А»ХА1А» равна удвоенной площади треугольника А»А»А», х,— х, у,— у, А,А» х А1А» е, х» — х1 Уз-У1 Следовательно, площадь трсуголшгнка ~ ~х,— х, у,— у,[ 2)х — х у — у )' Выразим объел тетраэдра АтА»А»Л4 через координаты его вершин.
Смешанное произведение векторов Л„А, А,Л», А,А с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного па этих векторах, и, следовательно, ушестеренному объему тстраэдра А,А,А»Л,. Отсюда хз — х1 Уз — Ут зз — 8 ~ )т = — хз хт Уз У1 гз 1 б х4 хз Уа У1 г4 г1 двклртовы кооедпилти в пиострлистви (гл. ч х1 уз «» ! х,у,«,1 хз Уз «з ха Уа «а ! 1 6 8. Для того чтобы четыре точки А~(хг, ун «;) лежали в одной плоскосги, необходимо и достаточно х» у~ «з 1 хз Уз «з хз уз «з =О ха у» «, 1 Доказать. 9 3. Уравнение поверхности и ириной в пространстве Пусть кисеи поверхность (рис.
67). Уравнение ~(х„ у, г).= О () пвзыиастся дривнениел» поверхности и кеявногг форл!е, сслп координаты каждой точки поверхности удовлетворяют этому Упражнения 3. Найти расстояние между двумя точками в общих декзртовцх ноордниатех, если г!оложитсльпые полуоси образуют попарно углы а, р', у, а бяэнсныс векторы вх, вэ, в едяннтте. 2. Найти центр сферы, опйсзнной около тетраэдра с вершинами (а, О, О1 (О, Ь, О), (О, О, ), (О, О, О).
3, Доквззть; что принце, соединяющие средины противополож. ных ребер гетряэдря, пересекаются з одной точке. Выразить ее координаты через координаты першин тетраэдра. 4 Доказать, что прямые, соединяющие вершины тетреэдре центрами тяжести протипоположныя граней, иересекаютсн н одной точке. Выразить ее координаты через координаты вершин тетраэдря, б, Лусть Л;(хг, у;, «~) -вершины тетраэдра, Локеззть, что точки с координатами х=.Х,х, + Хзх»-,Х«хз+Хчх„ у =Х»у»+Хада . Хада+Хадани «- Хг«1 ! Ха«а+Хз«з+ Ха«а при Х» > О, Хз > О, Хз > О, Ха > О и Х, +Ха+Ха+ Х»= 1 Расположены внутри татреэдрэ, В.
Выразить площадь треугольнике общего рвсположепия через координаты его вершин. Система координат прямоугольная. 7. Локазать, что формула для объеме тетреэдре через координаты его вершил преобрязуегсн к виду % З) уелвнание поваРхиостн авнснию. И обратно, любая тройка чисел х, у, «, удовлеуравнснию.
редставляет собой координаты одной творяюивая уравнению, пред из точек поверхности. Систему уравнений х=Д! (и, т!), у=К« (и, е) «=Уя(и э), (" ) как ф ик!!ии двух зада!о!пу! о ко!!ртинаты точек поверхности; фу ти в напараметров (и, т!), иа ь (,, 3 $ва!от уравнениями новерхност раметрической форме. г Рлс 66. !'ис, 67. И ,ю !ан параметры и, о и:! систс ы ( ) темы ( «), моноло п!л, скл ч ь у тавпсиис поверхности в нсннпо !1«>р. !!нгь; ! Составим сравнение !!роизволы!ой гф р р . е ы в и л.ио!!ео.!ь- ных декартовых координатах ху«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
