1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 23
Текст из файла (страница 23)
мопическне отношения этих точек, взятых в любом другом порядке, например (АСВО), (ВАСО) н т. д. ф 7. Однородные координаты. Пополнение плоскости и пространства бесяопечио удаленными элементами Булем называть однородмылш координат«ми точки иа плоскости любые три числа х1, х . ха, пе все равныс пулю, связаьппве с ес декартовыми координатами равенствами кв х=-- «е ' хв ' Олноролпыс координаты точки определены пс однозначно. Именно, если х„ х,, хз — одпородпыс координаты точки, то числа рх1, рхе, рх„ при р ~ О тоже будут однородными коорлннатами этой точки. Так как любая прямая и декартовых «оординагах эалаетсн уравненном о,х+ азу+ аз = 0 (а', + а, 'Ф О) и любое такое уравнение ссть уравнение некоторой примой, то любая прямая в однородных коорлипатах аадастсн уравнением а,х,.:-авх,+о,х,=-.О (а',+а',-з~=О) и любое такое уравнение являстся уравнением некоторой примой.
Для кажлой точки (х, у) плоскости, очевидно, можно указать тройку чисел, являющуюся ее однородными координатами, например х, у, 1. Обратное, вообще говоря, неверно, Имснпп, дли тройки чисел х, хв, х, у которой 1. Показать. что любое рапстве можно разложить на проективнпе преобразование к к =— проектнвное преобразование и проствффиннае преобразование в простейшее лннкйныа пеяовзлэовлния (гл.
гк а,х,+а,хе+а,х,=О является уравнением некоторой прямой. Если а1 = ае О, то прямая бесконечно удаленная, На раса~иренкой плоскости любые две прямие пересеки« ются, так как систем» двух линейнык уравнений а,х,+а,х +а х„-О, (ч) Ь, +Ьех~+ Ь = О всегда имеет нетрнвнальное решение (не все х„х, х равны нул1о). И частности, дее параллельные прямые пере- секаются в бескокечно удаленной гонке. Действительно, если прямые (з) параллельны, то — — — — Х а1 аа 3~з Ьз Поэтому, если второе уравнение системы (з) умножить на и вычесть пз первого, то получим (аз — ХЬз) хз = О, откуда хз ~ О.
Введенное иамн проектнвное преобразование фигур (й 6) можно продолжить на расширенную плоскость, Ймепно, рассмотрим иа расширенной плоскости преобразование, за- даваемое формулами хз анх1+ аихе+ анхел хе = ае1хе+ аезхе+ аез"сз хе аихе+ аеехе+ аззхз, аы азе атз ан аее аез аз1азе азз чей О. Зто преобразование пз нерасшнрепной плоскости совпадаег с введенным раисе просктнвным преобразованием, х„=-О, нельзя указать точку, для которой втп числа были бй ее однороднымн коордниатамн.
Это обстоятельство сомает большие неудобства прн рассмотрении ряда вопросои, и частности, касающикся проективиык преобразований фигур. В связи с втим мы дополним плоскость новымн элементамн: бескокечко удален кымм точками и бескокечко удаленной прямой. Именно, мы будем говорить, что тройке чисел х1,хз,хз, если х, = О, соответствует бесконечно удаленная точка плоскости. Геометрическое место бесконечно удаленпыя точек будем называть бесконечно удаленной прямой. Оа рапииренной таким образом плоскости любое урав- нение 4 у! однотодиыи коотдиилты 165 Йе!!ствительно, на нерасшярениой плоскости ха~ О, х'.-~ь О. Повтому почленным делением нервык двух формул на третью получаем ац атэ а,э аы а., а. а а , аэ! аьэ азэ $4 "6 О. а~ о4э аьэ а выл-.'— аьау+ е|э х в~~к+ е~~у+еээ ' а~,х 4- вэбу -',-а,э У = еэ1х !-еэау+вээ В случае пространства однородные координаты х„х„ хз, х, точки вводятся аналогично, как четверка чисел, связанная с декартовыми координатами равенствами х, к1 Хэ х=-— Н Я= — ' х, -' х~ Х1 Так же, как н е случае плоскости, пространство по- полняется бесконечно удзленнымн злсментамп: бесконечно удаленньики точками, бесконечно удаленными прямыми.
бес- конечно удаленной плоскостью. !! ри атом получается, что в пополненном бесконечно удаленными элементами простран- стве любое уравнение а,х, + аэх, + пьхэ + а„х„=- О задает плоскость !бесконечно удаленную, есла а =- аз = аз=О); любые два независимык уравнения а,х, + аэх„-!- аэхэ -!- а4х —" О, Ь,х, + й,х, !- Ьэх„+ Ь,х„= О определяюг пнлмчн ! чн с."> б ~'ь б ск жн- «о удаленную, е, е., и,~ если ь, ь,' ь, ( !!роективные преобразования, определенные в $ 6, про- должаются на расширенное пространство и в одннроднык координатак зада!отсн формулами: х', = а ых, -!- а„х, + а,эх, + а эх4, х а21х1 + а эхе + птах 3 + а44х4 хэ а83 кт+ аз РФ т аээхз + азьх41 х,' = а нх, + аихэ ~- аээхэ+ аээхэ, Лннвйнык ПРГОБРАЗОЯАИИЯ (гл.
гк Упражнения 1. Составить формулы проективяого преобрмоваиия 'расширен* ной плоскостп, переводящего прямые х,=О, х,=О, х,=О в прямые а,х„+Ь,хе 1-с,хэ —— О, а,х~-~-Ь«хе-~-с х«=О, аех1+Ьехе+ сохе О. 2. Пайти координаты точки, в которой пересекаются прямые «,«,- «,«««а,— «,а««„а,— «,«, й, йе ф 8. Проектнвиые преобравоваиня крнвык м поверкиостей второго порядка Кривая второго порядка в однородных координатак, очевидно, задается уравнением а„х',+2а, х х +... +а„к~=0, (Ч которое получается из уран~синя сс н декартовых координатах адх'+2а1,ху+...
-~- и .= О (««) венской х на — и у иа -~-. х, х хе хе ' Исполним плоскость бескопсчно удалонпыми впсментамн и продолжим кривую, заданиуи> уравнением («), иа расширенную плоскость, присоединив к исй ясс несобствепныс точки, удовлетворяющие уравнению («). если таковые су~цествуют. Покажем, что кривая второго порядка на расширенной плоскости проективни вквивалентна одной ив следукмцих простых кривых; х,'+х,'+х'=О, х~ — х1+х~ -О, х',+х, О, х',— х,': О, х~~ О, («««) т. е. просктивиым преобразованием можст быть переведена в одну из ник, 167 иРоективныа ПРВОБРлзовлиия Рассматривая вопрос о приведении уравнения кривой второго порядка к каноническому виду ($ 8 гл.
Ш), мы покавали, что существуст такая система координат х'у', и которой уравнение кривой (»») принимает одну из следу~ощих форм~ йх" + ру'а+ ~ —. О, ах'»+ ру'.=- О, х"=О. Аналитически это иначнт, что в уравнение (»») можно ввести новые переменные х', у', связанные с х и у формулами вида а11х+ а1».у ~ анв у"= а„х+ а~~у+ ащ, так, что ураянсние (»») примет одну иа указанных форм. Отсюда следуст, что если кривую второго порядка (») подвергнуть вроективному преобразованию Х~= а~ х +а~ хх ! и1»ха, х,=а„х,-~-а„х,, ~ а,„хв, Ф х» а= ха, то получим одну из следующих кривых: ахэ+~)х~»+ух*= О, ах,'; рх,' О, ах,' )-Рх,х„= О, х',—:О. Что касается втих кривых, то их легко простым проективным преобразованием перевести в криаыс (»»»). Например, н первом-случае надо взять просктивное прсобрааование х', -=3~па~х, х,'=-Щх„х', =-~Яха; во нтором— х', =.
)~ Га~х, х', -3/ ДЦ х„х', =ха; н трстьсм— х', — )~ ~а(х~, х,'=.— "'- — ')~ ~~~~, х,' -х» ъ»)/~р лннтйныа игновглаовлнни (гл. пг Для поверхностей второго порядка и пространстве, наполненном бесконечна удаленными влементамн, можно доказать аналогичное утверждение. Именна, иобая поверхность второго ларлдка лроектнено еквивалентна однойнзследркнцик: «3~ + «» $+ «» э+ «~» «', +Щ+«3 — «, '=О, 1+«$ х3 «$ О х, '+ х.", + «, "= О, х'-)- х'-«' = О 1 "~ з Э е х;+«. =О, х' — х*= О з — э «®= О. Доказательство аналоги гно прпвсдснному лля крнвык. Упражнения Наатн ероеитнвные преобразования, которые переводят кривив (а,к„+а»к»+е «в)» ~ (Ь,к,+Ь к,~.ар»)к= О, (а1 «1 + а»к, + а»кв)(Ь, «1-~- Ьккк -)- Ь»к») =О в одну н» канонических Форм («»»). ф 9. Полюс и нолира Если в формулу (»») $6 для ангармонического отношения ввести однородные координаты, то получим «,л «1о х, х, (АВСВ) (») х,в хкс~ х,в к,с~ хкв «ю~ к,,в к,р) и соответственно две другие формулы с заменой х, всюду на «илн хв.
Ангармоннческое отношение точек на пряной в пространстве, пополненном бесконечно удаленными влементамн, мы определим формулой (»), )(езавнснмо ат доказательства, приведенного в ч 6, можно показать, чта определяемое таким образом ангармоиическое атиашеинс сохраняется прн проектнвнам преобразовании.
Мы опус|им эти выкладки, полкк и поляРл Пусть имеем поверкность второго порядка Ф 2Р Х и;/ххах — — О ь у~в я точку А(х'„х'„х'„х,1, не лежащую на поверхности. Проведем через точку А пронзвольиую прямую н обозначим С н 0 точки пересечения ее с поверхностью (че1, Постронм точку В, гарноенческн разделяющую с А точки С н О, т. е.
такую, что (АВС0~=-. — 1. Геометрическое место построенных такнм образом точек д яазываетсн аоллрой точка А, Точка А по отношению к поляре называется аолюсож. Составим уравнение поляры. Пусть х1, хе, хз,-х4— однородные координаты В. Коордннаты х, любой точки пря~ой АВ, отличной от А, можно представнть в виде х~ хам+Ах~ (!=1, 2, 8, 4), (чав) В самом деле, прямая АВ задаегся двумя линейиымн уразпеннямн ~~~~а,х = О, ~~Ь~,д~х~- -О. Так как ранг матрицы равен двум (уравнення независимы), то любое решение втой системы представляет собой лннейную комбинацию двух иезавнснмых х~ пи+их~ (1=1, 2, 8, 4). Рслк точка отлична от А, то (ач~О и координаты х можно рачдеянть на и, получив указанное выше представленне.
Непосредственной проверкой можно убеднтьея, что ачгарманнческое отношение четырех точек А, В, И+В, мА+д ($А+ — точка с координатамк "-.х, +х,'~ (А, В, ХА+В, мЛ 1-В) = -. И липяйныа прдовмэовлння (гл. ~х Отсюда следует, что точки С и 0 пересечения прямой АВ е поверхностью второго порядка допускают представления С- . АА+ В, а - — И+ В. Подставляя координаты точек 0 и О в уравнение поверхности, получим. ' а~~(-~ Хх~ - - х~)(+ Ах~+ х~) =- — Х'Х агух;ху.-Е 2Х „"Р ацхуху+,'~' а,,х,'х~ == О.
Г~ п3 Отсюда следует: а ~~х~х~ ~ О. Это и Есть уравнение поляры. Таким образом, поляра представляет собой плоскость. Отметим два важных свойства поляры: 1. Иоляра любой точки В поляры точки А проходит через А. 2. Ясли точка А движется вдоль прямой, то ее поляра поворачивается около некоторой прямой. Действительно, уравнение поляры точкн В(х",) а,ргх~ О удовлетворяется коордипатамн точки А, так как а а~~х',х~ = ~~ а,~Хх~ (аг а,), аггх~х~ ~ 1, в силу того, что В лежит иа полире точки А. Пусть точка А движется вдоль прямой, соединяющей точки А'(х~) и А" (х",).
Поляра л1обой точки втой прямой будет а~~к~ (Х х~+ А х~) — О нлн Х 1~~ ацхгх~ ~ Х ц)х~х~ - О гг ~ полн)с и пйляРА Отснна видно, что поляра вращаатся около прямой, задаваемой уравнениями ф~ д~,х~ О ф~уЯ~~ *Я~~ ' О ю В $ Поляра точки А (х',„ х'„ х,') отпоситально кривой второго порядка определяется аиалогично (рис 91). Она представляет собой прямув и вадается уравиеиием если кривая задается уравиекием Рис, 91 1. Показать, что точка С, которая вместе с бесконечно удаленной точкой примой АВ гармонически разделяет точки А и В, есть средина отрезка АВ. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
