1611141249-5a91c2433955b1ed68e227c24333dcb8 (824986), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В заключение заметим, что уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых: а,х+Ь у+с .=О, авх-, 'Ь у+с О, можно запасать в форме Х (а х -( Ь у -~ с,) + р, (а х+ Ь у + св) = О. (»») Действительно, уравнение (»») при любых Х н р, ис равных нулю олноврсменно, залает прямую, которая прохо. днт черсз точку пересечения двух данных, так как сс коорлинаты, очевидно, уловлстворяют уравнению (»»). Далее, какова бы ни была точка (х1, у,), отличная от точки пересечения ланных прямых, прямая (»») при Х=-а,х,+Ь,у, +с„— Я =а х,+Ь,у,+с, проходит через точку (х„у,).
Следовательно, прямыми (»») исчерпываются все прямыс, которые прохолят через точку пересечения данных. Упражнения 1. Составить уравнения прямых, нарвллельныя ах+Ьу+с = О, нвходяшнхся от пее на расстояния б, 2. Составить уравнение прямой; параллельной (перпепдниув лярпой) ах+ Ьу+с О, проходящей через точку пересечения прямых) а,х+Ь1у+с1 О, аах+Ь у+с» О. 3, Прн каком условии точка (хъ, у1), (х~, уа) симметрично рас- положены относительно прямой ах+Ьу+е =01 и РяовРлзонАЯНГ коотдпидт 4. Составить 1равненне прямой, проходящей через точку (х,, уа) ч равиоотстоящей от точек (х„уя), (ха, у,).
5. Похавать, что три прямые: а,х-) Ь~у.~ с, =О, аах+Ь,у (-г =О, аах+ Ь„у+ гт =-О гме1от общую точку тогда и только тогда, когда а, Ь, с, а, Ьч га аа Ьа а. 11оказать, что три точки (х„ у,), (ха, уч), (ха, уа) тогда я только тогда лежат иа примой, когда уг "а уа ка ут 1 ф 7. Преобразование координат Пусть па плоскости ивсдсиы лас системы координат ху и х'у' (рис. 19). Установим связь между координатами произвольной точки относительно этик систем координат, У Пусть а х )-Ь,у ~-с1=0, а,х.~-Ь у -( с, == 0 — уравнения в нормальной форне осей у' н х' в спстсме координат ху, Уравнение прямой в нормальной форме определено однозначно с точностью до перемены знака у всек коэффициентов уравнения.
1)овтому, не ограничивая общности, можно считать, Рис. 19. что для некоторой точки Л,(х„ у ) первого квадранта системы координат х'у' а,ха+ Ь,уа+ с > О, ааха+ аауе-' са .> 0 (в противном случае знаки коэффициентов можно заменить на противоположные). птямля )гл. и Мы утверждаем, что координаты произвольной точки х', у' относительно системы координат х'у' выражаются через координаты х, у той же точки в системе коордикпт ху по формулам х'=агх~Ьгу !-с„ у' =- а,х !- Ь.у .г - с,, Локажсгг, например, исрвуго формулу. Абсолготггая всличииа левой н правой гасгей формулы одинакова, твк как ирсдставляст собой расстояние точки от оси у', В каждой из иолуилоскостсй, определяемых осью у', левая и пранагг части формулы сохраняют зггак и меникгт его ири переходе от одной полуилоскости в другую, А так как длк точки Ао знаки совпадагот, то оии совпадают ллк лгобой точки плоскости.
Вторая формула доказывается ашглгггиггго, Твк как а,х !-Ь,у» с,=-О, а,х !-Ьау !-с —.О представляют собой уравнения н нормальной форме двух иериспликулярпых прямых, то коэффициенты иг, Ьг, а, Ьз формул (») связаны соотношеггггнмгг: а",: Ь," —.-1, иг ЬЗ вЂ” — ~, (»») ° еаа+ ЬгЬв —— О. Принимая во внимание первые две формулы (»»), а„Ь„ а, Ь можно представить тап; а,.-- соз а, Ь, = згп а, а —.- соз а„Ь вЂ” — з!и а . Тогда нз третьего соотногиеипя (»») получаем сова сова,-(-в!па з!па,= соз(а — а,) =О, Я откУда следУет, что аг = а !- — + 2ггггт.
И фоРмУлы пРсобразования координат (») можно записать в одной из следующих двух форм: х' = х соз а+у згп а+ с„ у' = — хв!па+у соза+сз, 6 !) пе(:Оьглз((я*(!иГ ко((едиилт или х' — - х сок с( -, у в'.и с( + с (, у'=-хв(ис( — у сохи (-се, 11ервая из иих охватывает все слу1(аи, когда система коор:инсат х'у' может быть иолу (еиз движением из системы коордииа г ху. Вторая система () оракул охватывает случаи, когда система координат х'у' (исдучастси из сист смы ху движением и зеркальным отражением.
13сличинн с( сз и сз и ()и)р1(улах ирс((брззовании ((0013- дииат из(с(от просто!! геометрический смысл; и — с точностью до кратного 2!т — угол, образуемый ось(о х' с осью х, а с и с — координаты начала системы координат ху в систеа(с координат х'у'. Уираж((ения 1. Сос1»вить фея(ули переход» от системы координат ху к си-; стеме координат х'д, если оси координат х' н д' аида(отея уравие.
(!и!(з(и ах (-Ьу-(-с,=-й, — Ьх+ ау .! -сз:= О, 2. Составить уравнение кривой х' — уа - —. а', приняв з» новые оси коордии»т прямые; »+у=О, » †у, 3. С((с(еч(а координат х'у' голучеиа ираисеиием около пекото: рой точки (»(ь да) из системы координат ху, По формуле»! преобразования координат (е) найти х, и у,, 4.
Показа1ь, что преобразование плоскости хд в ссбя, ири котором точке (х, у) соиосткиляетси точка (х', у') согласно формулам х'=»со»с( — у Ы.((»+с,, у' =- » а(п с( 4 у сив ъ+ с». есть движение. (Это преобразование непрерывно зависит от нар»- метров а, с,, с„обраисае-,ся в тождественное ири с(=с,=-с,= и и секр»виет расстояция между точи»ми.) 5. Показать, что преобразование плоскости»у в ск5я с помощью формул к'=» сов с(-~у ь!пи--с„ у'=» а(и(х — усов с(+с! сводится к дииж(чи(ю и зеркальному отражению, (гл. и пгямли 6. Полагая г х+!р, показать, что всякое дзижсиис и плоскости хр осугдествляется линейным преобразованием комплексного переменного г'=-.ыг+с, где и н с — комплексные числа, причем ) а( 1. 7.
Найти уравнение кривой, которую оиисыиает точка С механизма, изображенного на рис. 20, Треугольник АВС жесткий, точка А скользит по оси х, а точка В движется по окружности рядйуса )? с центром и начале координат. Решен не. В момент, когда точка В совпадает с В„, точки А, В, С имеют координаты (4 О), (1?, О), (а, Ь). Положим г =-а-(-И, 8 ироизнольиый момент комплексная координата точки С г ~ иго+ с.
Так как точка В все время остается иа окружности хх-)-рх=~?г, а точка А иа осн х, то )вР+с)=Р, 1ш(ы4+с)=-0. (а ()т — ге)-(-г)=l?, 1т (ы (4 — ге) +г) =О. Отсюда Или ) й — г )г+ ш (Р— г,д г+ <е Ж вЂ” ~~) г -(- ) г,'"- Аг, ы И вЂ” гс) — ш (б — гз)+* — г=О. Рис. 21. Рнс. 20. 8. Найти уравнение кривой, которую описывает точка С механизма, изображенного нз рис, 21.
Треугольник АВС жесткий, его вершины А и В движутся по окружпостядь (Чертой отмечаются комплексно сопряженные числа.) Решая вти уравнения относительно и и а и замечая, что еш -1. находим уравнение, которому удовлетворяет г. Подставляя затем х-1 (д зместо г, получаем уравнение искомой кривой. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ ф 1. Полярные координаты Проведем нз пронзвольной точим О на плоскости полу- прямую я н зададим некоторос напр»аленке отсчета углов около точкн О. Каждой точке Л плоскостн можно сопост». вить два числа: р н 6: р †расстоян точкн Л до О, 6 †уг, образуемый иолупрямой ОЛ с полупрямой >г (рнс, 22), Рис. 22.
Рис. 2Э. Чнсла р н т>' называются полярными коордикатами точкн Л. Точка О называется полюсом, а полупрямая а— полярной осью, Подобно тому, как н в случае декартовых координат, можно говорить об уравнении кривой в полярных коордннатах, Именно, уравненне >р Ь, %>=0 называется уравнением кривой в полярных коордиматах, если полярные координаты каждой точки крнвой ему удовлетворяют, И обратно, любая пара чисел р, 6, удовлетворя>ощая атому уравненню, и редставляет собой полярные координаты одной нз точек кривой, Составим для прнмера уравнение в полярных коордннатах окружностн„проходящей через полюс, с центром на 42 [гл.
!и коиичискиг сгл!еиии полярной оси и радиусом Я, Из ирма!угольного треугольника ОЛЛ„получаем ОЛ = ОЛ, сов б (рис, 23). Отс!ола ураиисиис окружности р =М совб. Ввслсм иа плоскости рб систему декиртовых коорлииат .су, приняв иол!ос О за начало дскар! оиой системы коорли!!а1, иоляриу!о ось — эа иоложительиу!о полуось х, а иагравлсиие положительной иолуосиу выберем так, ч".обы оиа образова;!а с полярной ось!о ири выбран- ном направлении отсчета угло» угол 2 Между полярными и дскар!овыми киорлицатамп точки очевидным образом устаиавливаетси следу!оп!ая простая связь: Ф Ф х=р совб, у=рв!иб (и) Р (рис.
24). Это позволяет, зная уравнение кривой и полярных коордиРис. 24. патах, получить се уравнение в декартовых коорлииатах и наоборот. Составив!, например, уравнение ироиаиольи!!й прямой в полярных координатах. Уравнение прямой в декартовых к!!ордииатах ах.!- Ьу + с = О, р (а сов б+Ьв(п б)+с=О. Полагая далее Ь вЂ” = — =в!па, ~/ дх„~ Ья с и == - -=сова, а~,-' Ьх получим уравнение прямой в форме р сов (а — б) = ра. Вводя и это уравнение вместо х и у, р и б согласно формулам (!), получим $2] копичкскик скчеиия Унражненнн $. Показать, что уравнение любой окружности в полярных координатах можно записать н форме р» + 2ар соа (сс '-, О); Ь вЂ”.- О.
Определить координаты ае центра р». Ф» н радиус й. 2. Выразить расстояние между точками через иолнрные координаты атнх точек. 3, Какой гсол:стрнчесипй смысл имеют сс и р» в уравнении прямой н полярных координатах р соз (а- О)--р . 4, Соствнвть урннпепне н полярных коордппнгвх геометрического места оспоепннй иерген;и»куляров, опущенных пз точки Л окружности па ее касательные (кордиаида, рпс. 2О).
Припять за полюс топну А, н за полярную ось в продолжение радиуса ОА. Отп. р:-Л(1 — соа 6). б. Составить уравнение ле,ннш кати еу 4 Ьернуев. Тьк называется ~еомегрнческос место точек, произведение расстояний которых от двух данных точек ~:, и г» (фокусое) постоянно и равно — -(РлгД, Припять за плюс середину е отрсзнв, соединяющего фокусы, н ла полярную ось — полунрямую, проходнщу~о Рнс. 2б, через один нз фокусон, Отн. р=а т 2 сон 29, где а--полонина расстояния между фокусамн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
