1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 99
Текст из файла (страница 99)
(1) 1ак как при переходе от одной системы координат к другой старые координаты через новые выража4отся линейными однородными соотношениями с определителем из коэффициентов, отличным от пуля, то это уравнение (1) преобразуется снова в однородное уравнение второй степени. Координаты х, у, г всех собственных точек поверхности (1) второго порядка удовлетворяют уравнению а„х'+ а.„уз-)- аззг'+ 2аг,ху+ 2а,зуг+ 2азггх+ + 2а„х+ 2а,зу+ 2а,г+ аз, = О, (2) т. е множество всех собственных точек поверхности второго пооядка в случае, если по крайней мере один из коэффициентов а11 азз' ! ЗЗ а12 а23 а31 нс равен нулю, есть множество всех точек какой-то поверхности второго порядка, припадлежашей к одному из 17 аффнпных классдв (эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус и т. д., см. 2 189).
Если а„=азз=азз=а12=азз=а21 — — О, но хотя бы один из коэффициентов а,4, а„, а„не равен пулю, то множество всех собственных точек поверхности (1) образует плоскость 2а„х+ 2а„у+ 2а„г+ а„= О. Если, наконец, в уравнении (1) все коэффициенты, кроме а равны нулю, то поверхность (1) вырождается в пару плоскостей, совпавших с несобственной плоскостью; в этом случае на ней нет ни одной собственной точки.
$4!Ь ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ГГОРЯДКА 617 Что касается несобственных точек, принадлежащих поверхности (1), то нх однородные координаты удовлетворяют уравнениям х, =- О, 4 4 4 а„х та<зх, + а44х4+ 2а<<х<х<+ 2а<,х<г, + 2а„х„х, = О. (3) В случае, если хотя бы один из коэффициентов уравнения (3) пе равен нулю, это уравнение определяет координаты х„х,, х, векторов, имеющих асимптотическое направление относительно поверхности второго порядка, заданной уравнением (1), нлн, что то же, конус аснмптотичсских направчеппй с вершиной в начале координат а<<хе+а<<у<-;:аазг< — 2а„ху+2игауг —,' йа,,гх=О (4) для поверхности (2). Уравнение (3) па несобственной плоскости х< — — О определяет в этом случае линию й второго порядка, Эта линия может быть одной пз следующих: 1"' мнимая опальная линия второго порядка; 2' действительная нераспадаюшаяся (овальная) ,тиния второго порядка; 3' две действительные различные прямые; 4' две мнимые прямые, пересекающиеся в действительной точке; 5' две совпада<ошие (действительные прямыс)< В первом случае уравнение (4) определяет мнимый конус, а значит, уравнение (2) может определять илн эллипсоид, или мни- мый эллипсоид, илн мнимый конус, Во втором случае уравнение (4) определяет действительный конус.
Тогда уравнение (2) может определять или однополостпый гиперболоид, илн двуполостпый гиперболоид, или конус второго порядка. Таким образом, точками этой несобственной линии й поверхность (2) второго порядка евклидова пространства допол- няется до поверхности второго порядка (1) в просктивном про. странстве.
В третьем случае уравнение (4) определяет две действительные пересекающиеся плоскости, пересека<ощие несобственную плоскость по двум различным прямым 1< и /з Ура<<не<<<Ге (2) в этом случае определяет нли гиперболический параболопд, плп п<перболпческ<<й цилиндр, или пару действительных плоскостей. Значнт, в случае 3' уравнение (1) является уравнением одной нз этих поверхностей, дополненных всеми точками прямых )Г н 14 В четвертом случае уравнение (4) определя«т две мнимые пло- скости, пересекающиеся по действительной прямой 1, значит, по- верхность (2) будет или эллиптическим параболоидом, нли эллип- тическим цилиндром, плп мнимым эллиптическим цилиндром, Гпти парой мнимых пересекающихся плоскостей; уравнение (1) является 6!6 Г л а а а ХГ ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ уравнением одной и этих поверхностей, дополненной одной несобственной точкой прямой Е Наконец, в пятом случае уравнение (4) является уравнением двух совпада!ощих плоскостей (действительных), пересекающих несобственную плоскость по двум совпадающим (несобственным) прямым ! У'равнение (2) в эт м случае является уравнением илн параболического цилиндра, или нарой действительных параллельных плоскостей, илн парой мнимых параллельных плоскостей, илн парой совпадающих плоскостсй; уравнение (1) является уравнением одной из этих поверхностей, дополненных всеми точками действительной несобственной прямой ! й 213.
Проективная классификация поверхностей второго порядка Определение. Две поверхности второго порядка в проекгпивном пространспюе принадлежат однол4у и п4ому же (гроективному классу, ес;и существует такое проективное преобразование, которое одну из поверхностей переводит в другую. Если же никаким проективныл! преобразованием одну из поверхностей второго порядка нельзя преобразовать в другую, то зти поверхности второго порядка принад. лежат различным проеюпивным классам. Теорема 1. Всякую поверхность второго порядка в проекп!ионом пространстве можно проективным преобразованием перевести в одну из следующих восьми поверхностей: х', + х,'+ х, '— х, '= О (1) х ~ + ха + хз + ха = О (11) х', + х',— х,— х, '=- О (111) х, +х,' — х, '=О (!Ч) х', +х, +х„. =О (тг) (ъ'!) х',-, 'х, '= О (Ч!!) х', =О (И1!) Доказательство. Как известно из высшей алгебры, квадратичную форму 2 а а ,а 4р = аТТх, + ааах, + аагха + аааха+ 2аэахгха+ 2аэьхххь+ + 2а„х,х, + 2а„х,х, + 2а,4хех4+ 2а„х„х, (1) невырожденнык! Лншейным однородным преобразованием можно принести к виду Ч: = г,х, + еэх,'+ьах, +44х„ с>в.
пгогктивнвя к>все~>викхция повг>*хностсп 619 >щ г,, ив св, с, прппима>от зпич ч пя -,'-1, — 1 илн О; при этом доказывается, что число коэффициентов среди и>, равных 1-1, число коэффициентов сп равных — 1, и число коэффициентов вп равных пблю, все>да одно и то >ко независимо от того линейного невырождгпного преобразования, которое форму (1) прив,>дит к каноническому виду (2) (закон и»ернии квадрати >пых форм)'".
Огсюда следует, что не существует линейного невырождепного однородного пре<>бразования, преобразующего >дну из поверхностей (1) — (>>1!1) в друтую. Итак, всякую поверхность второго порядка можно проективным преобразованием прес>бразовать в одну пз поверхностей (!) †(»'11!), данных в условии теоремы, но нс существует проективного преобразова>гпя, к ~т»рос любую из поверхностей (1) — (Ч1!1) переводит в другую. Следствие. Из доказанной теоремы следует, что все поверхности второго порядка в проективном пространстве делятся на восемь проективных классов Поверхность, заданная уравнением (!), входит в первый просктивный класс 1, и все поверхности этого класса получа1отся всеми проективпыл>и преобразованиями поверхности (1).
Поверхность, за,>ан>ия уравнением (П), входит во второй просктивный класс !1, и гсс поверхщ>сти второго порядка этого класса получаются вссми нросктщшымн преобразованиями поверхности (1!) и т. д до поверхности, заданной уравнением (>>!!!) Сформулируем теперь геометрические свойства поверхностей второго порядка, составля>ощих эти восемь классов, которые, вопервых, инвариантны по отношсии>о к пр~ ективпым преобразованиям и, во-вторых, характерна)чг>т поверхности этого класса в том смысле, что указанными сьойствамп обладаю~ поверхности только рассматриваемого класса. !.
Поверхность, заданная в однородных координатах уравне-, нием (1) относительно дскартовой прямоугольной системы координат, является сферой (единичная сфера), Сфера содержит бесконечное множество точек и пе имеет прямолинейных образующих (действительных). Так как эти свойства инвариантны относительно проективпых преобразований, то тсмн же свойствами обладают все поверхности второго порядка 1 нроектнвпого класса.
Они называются о в а л ь и ы м и поперхпостямн второго порядка, !!. Позер>пюсть, заданная уравнением (1!), не имеет пи одной (дсйствитсльной) п>чкп. Значит, этим свойством обладают все поверхности второго порядка, входящие во 11 проективный класс. Опи называются поэтому м н н м ы м и. 11!. Поверхность, заданная в однородных координатах уравнением (1!1), является однополостным гиперболоидом (дополненным * Си. Г. Е.
Ш и лов. Введение в тсорюо линейных пространств. М., Гостехиздат, 1956, гл. '>>1, $ 43, стр 125. б20 г:аа хк элсмюыы пгогктивноп гсомстгии несобственными гонками вссх образующих его асимптотического конуса). Через каждую точку этой поверхности (в том числе и через каждую несобственную ее точку) проходят две прямолинейные образующие разных серий, пересекающиеся в этой точке. Тем же свойством обладают поверхносги, полученные из поверхности (! ! !) всеми ироективиымн преобразованиями, т.
с. все поверхности второго порядка !11 проективного класса, Поверхности 1!! класса называются л и н е и ч а т ы и и н с в ырож де и и ы и и поверхностями второго порядка (или то роидальпыми, или кольцевидпы ми). !Ч, Поверхность, заданная уравнением (!Ч) в однородных координатах, является действ и тельной конической поверхностно второго порядка, Вершиной конуса является точка (О:О:О:1), а его направляющей, например, действительная овальная линия второго порядка, заданная на несобственной плоскости уравнениями х~, х~ — хз=О, х =О.
2 ~ 2 я Тем же свойством обладают, очевидно, все поверхности второго порядка, входящие в !Ч проективный класс. Ч Поверхность, заданная уравнением (Ч) в однородных координатах, выражается однородным уравнением, следовательно, является конической поверхностью. Однако па этой конической поверхности есть точько одна действительная точка (О:О:О:1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
