1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 101
Текст из файла (страница 101)
порциональны. Прсдпол !жим, что поверхность, заданная уравненном (1) илн (2), псраспадающаяся. Рассмотрим сечение поверхности плоскостью х,=О; уравнения линии сечения: 2, 2 1 2 а„х', — 'а,„х',-1-атчхв-,'-2а„х,х,-1-2ачах,хе+ 2а„х,х, =О. х, =О, (3) или Ь„х', -1- Ь , х', -,' Ь„х', -1- 2Ь,зх,ха + 2Ь„х,хв + 2Ьв,хьх, = О, х, = О. (4) Так как поверхности (1) и (2) совпадают, то уравнения (3) и (4) выражают одну и ту же линию на плоскости х,=О и, значит, па основании теоремы 1 Э 206 коэффициенты уравнений (3) и (4) пропорциональны Рассматривая еще сечения данных поверхностей плоскостями хз = О, х, = О, х, = О, докажсм что Рсе коэффициенты уравнений (1) и (2) пропорциональны Теорема 2.
Для того чтобы уравнения (1) и (2), заданные в однородных координатах точек деиствительного проекпп!оного пространства, являлись уравнениями одной и той же действительной поверхноспьи второго порядка, име1си(ей бесконечное множество действа!не.!ьных точек, не принадлежаи!их одной прямой, необходимо, чгпобы сооп1ветству1ои(ие ковффиииенть1 втих уравнений бь1ли прапор!!иона.1ьны. До к а з а т с л ь с т в о. Теорема, очевидно, верна, если (! ) и (2)— уравнспия одной и той же повсрхпости второго порядка, распадающейся па две плоскости Предположим, что уравнения (1) и (2) являются уравнениями действительной пераспадающсйся поверхности второго порядка, нмеющсй бесконечное множество дсйствительных точек, пс принадлежащих одной прямой.
Зто значит, что поверхность можст быть одной из следующих: эллипсоид, двуполостпый и!псрболоид, эллиптический параболопд, однополостпый гиперболоид, гиперболический параболоид, действительный конус второго порядка и один из цилиндров: эллиптический, гиперболический пли параболический. Во всех случаях мо1кпо перейтп к такой специальной системе координат, что уравнения (1) и (2) в однородных координатах имеют одинаковый ппд с точностью до числового множителя левой части (отлнчного, копсчпо, от пуля).
Так, например,' если уравнения (!) и (2) являются уравнениями однополостпого гиперболоида (дополненного нссобствепнымп точками его образующих), то существует система координат О'х'у'г', Г Л О О О ХТ ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГ КТПВИОЙ ГЕОМЕТР$!И Л О ~акая, что в однородных координатах х„х,, х„х4, введенных в этои системе, уравнения (1) и (2) одпополостного гиперболоида имеют вид а (х, + х, — х — х4 ) = 0 и Ь (хл + х, — ХΠ— х, ) = О. (5) Соответствующие коэффициенты этих уравнений пропорцио.
пальпы, значит, пропорциональны и соответству2ошне коэффициенты уравнений (1) и (2), так как эти уравнения получаются из урав. пений (5) при одном и том же преобразовании координат х„ х,, хз х„ при котором форма х, +х, — х, — х, перейдет и одну и ту же квадратичную форму. Остальные случаи принципиально ничем пе отличаюгся от произвольно выбранного (однополостный гиперболоид). Надо воспользоваться результатом 6 163. 2 216.
Касательная плоскость к поверхности второго порядка Точка МО(х',;х,':х,'Ох,") называется и еосо ба й точкой поверхности второго порядка, заданной общим уравнением ,2 ,2 ! 2 2 а,тх, + а,зх, -Г а „.хз + а„х, -1- 2а„х,х, + 2ат,х„х, -,'- 2а„,х х, + + 2аз хзх + 2а24хзх4+ 2а Ох х, = О, если хотя бы одно из чисел Ол О О О Ол,о О О а„х, +а, х,+а,ех,+а„х„а,дх,+а„х,+а.„х,+а24х,, О О О О Ош О Ол О аОТХ, -Га,ОХО+а„ХО+а„х„о4,х, —,а„х, +а„ах, Га„х4 отлично от пуля, Невырождаюшиеся поверхности не имеют особых точек. Особой точкой конуса является его вершина Особыми точками распада- ющейся поверхности являются все точки линии пересечения тех плоскостей, па которые распадается поверхность Касательной прямой к поверхности второго порядка в данной ни ней неособой точке называется прямая, проходящая через зту точку и пересекающая поверхность в двойной точке, либо целиком принадлежищая этой поверхности.
Все прямые, проходящие через неособую точку поверхности и касаюГциеся ее, лежат в одной плос- кости. Эта плоскость называется касательной к данной поверхности в данной ни ней точке Если поверхность видана уравнением а„х, +а„х, + а„х, + а,4х2 + 2ад,хх, + 2а„.х х, + + 2а„х,х, + 2а„.х,х, + 2а24х,х, + 2а,х,х4 = О, а неособая точка, лежащая на ней, имеет координаты х',:х,':х,":х"„ то уравнение касательной плоскости к поверхности в данной точке З ом.
пе всгчсиив повсгхносгп кхсхтвльноп н.юскостаио ьиэ имеет вид о ,о о аз, (иых) + иоохо 1 аыхо + а ахогло+ о а о а1 + (а~!хо +аоох + аа. х + иоох ) хо+ оо о, а о1 + (агах, + а„х, + а„х, + и„х,', хо+ а о а оз +(ао,хо ти„х, +а„х, +а„х,) х, =О. Локазательство этой теоремы аналогично доказательству тео- ремы й 207. $217. Пересечение поверхности второго порядка касательной плоскостью Пусть Π— псособая точка действительной поверхности второго порядка. Ограничимся рассмотрением действительных овальных поверхностей (1 проектнвпый класс), певырождаюшихся липсйчатых поверхностей (!1! проективный класс) и дсйствитсльпых конусов второго порядка (1Ч проективный класс).
Поверхности 1 и !П проективпых классов пе имеют особых точек, поверхности 1Ч проективного класса имеют только одну особую точку (варварина конуса). Предположим сначала, что точка Π†собственн. Примем ее за начало обшей декартовой системы координат, а за плоскость хОу примем плоскость, касательную к поверхности в точке О. Пусть в выбранной системе координат уравнение поверхности в однородных координатах примет вид о о а о 1 оо а„х, + а.„х, + а,ох, + ао,х,, 2а„х,х, + . а,,х,хо+ + 2ао ах,хо + 2а„х,хо + 2а„х,х, + 2ао,х,х,'= О. Так как уравнение плоскости, касательной к поверхности в точке (О:0:0;1), таково: а„х, + а„х, + а„хо + а„х, = 0 и оно должно быть эквивалентно уравнению х, = 0 (уравнение плоскости хОу), аоо=а„=а„=О, а„ФО, и уравнение (1) принимает вид Ча = а,тхо а+ аз охоо + аоохо + 2и„х,хо -1- 2а, хохо+ 2а„х,хо + -1- 2а,,х,х, = О.
вчп г.~ааа «ю э.<гмситы ппогктпппоп гаомгтгип У'равнения линии, по которой ее псрссекаст касательная к этой поверхноси< плоскость х,=О в начале кооргцшат, имеют вид а„х, -~ 2п„х,«, +аа.л..; ==-О, х,.= О. l В плоскости «Оу первое пз уравнений (2) является уравнением пары прямых. Это двс мнимые пересекающиеся (в точке О касания) прямые, если б=("< "'- >О; < а2< а2> точка О в этом случае называется эллиптической точкой поверхности Если б<0, то линией пересечения явля<отса две различные действительные прямые; точка О в этом случае называется гиперболической. Если, паконец 6=-0, то линия пересечения повсрхпости с касательной плоскостью является сдвоенной прямой, точка О поверхности в этом случае иазывается параболической.
Докажем, что действительные овальные поверхности состоят из эллиптичес. ких точек, действительные лппейчатыс певырождаюшиеся поверхности состоят из гиперболических точек, а дсйствительпыс конусы втор«о порядка — пз параболических точек. Вычислим определитель К< квадратичной формы <р: а„а,, а„О !а«а„а<„0, (а«а„ — а<1 а<а ааз а„а п<м <пы аз< 0 0 а„О Отметим, что знак К, ис меняется при преобразовании системы координат, так как прп таком прсобразовапии К, умножается ца квадрат определителя из коэффициентов преобразования, т е. па поло>китсльпос число. Для дсйствптсльных овальных поверхностей второго порядка ,К<<0 (в этом можно убедиться, вычислив Кз из уравнения х,: х,'+ х„'— х, =- 0). Для липсйчатых пепырожда<ошихся поверхпостей второго порядка (х, —;х,— х„— «„=0) К4>0, а для дейст.
витсльпых конусов второго порядка (л,"+х,'— х,'=0) К, = 0.Отсюда и из равеиства (3) заключаем, что если К,<0, то 6= 0; если К,>0, то б<0, и если К, = О, то б:= О. Значит, касательная плоскость к деиствительной овальной поверхности втор<но порядка пересекает сс по двум мнимым прямым, пересекающимся в точке касания. Касательная плоскость к псвырождепной липейчатой поверхности второго порядка пересекает ее по двум пересскаю<цимся прямым (прямолинейным образующим разных сер <й) Наконец, касательная плоскость к действительному конусу (вершииа пскл<очается!) пе- о з>з. полк>с и полягнля плос косм вз! ресекает его по сдвоеннои действителып>й прямой (гп> образующей конуса, проходящей! чсрез точку касания).
Если 0 — несобственная точка, то существует проектню>ос преобразование Й, которое переводит сс в собственную точи) 0'. При проективном преобразовании о>( рассматриваемая поверхность П перейдет в поверхность П' того >ке проективного класса Касательная плоскость в точке 0' к поверхности П' пересекает се соответственно по двум мнимым, действительным различным пли совпадающим прямым в зависимости от того, принадлежит ли поверхность П соответственно к 1, !П пли !Ч проектнчным классам.
При преобразовании ч! ' поверхность П' псрсйдет в поверхность П, а плоскость и', касательная к поверхности П' в и чке О', перейдет и плоскость и, касательную к поверхности П в точке О (попятив касательной плоскости проективпо инвариантно), поэтому характср пересечения поверхности П с касательной плоскостью в несобственной точке О таков >ке, как в случае, когда точка 0 собственная. Например, несобственная плоскость касается эллиптического параболоида в его едипствснпой несобственной точке; касательная плоскость в несобственной точке однополостного гиперболоида пересекает его по двум различным (параллельным!) прямолинейным образующим, проходящим через эту несобствснну>о точку, и т. д. $218.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
