1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Линии второго порядка, которые не распадаются на дее прямые и содержат бесконечное множество действительных точек. 11. Линии второго порядка, не имеющие пн одной действительной точки. 111. Линии второго порядка, распадающиеся на две различные действительныс прямые. 1Ч. Линни второго порядка, содержащие только одну действительную точку (две мнимые пересекающиеся прямые).
Ъ'. Линни второго порядка„вырождающиеся в сдвоенные прямые. Определение. Две линии второго порядка принадлежат к одному и тому жв проективному классу,, если суи1ествует проективное преобразование, переводяи(ее одну из этих линий в другую. Если жз не суи(ествует проективного преобразования, которое одну из линий переводит в другую, то эти линии второго порядка принадлежат к рояли«ным проективным классам. '5 20» пгогктизнля кллссие»»клпия линий 60» Докажем, что указанное разделение линий второго порядка на пять классов и лает просктнвную классификацч»о этих линий. Теорема.
На п»»оективной плоскости все линии второго порядка рож)еляются на пять проективных классов. Следу»ои(ие уравнения Х|+Хз Хз=О, х,+ х,+ х„= — О, х,— х,=О, з 2 х', + х,'=О, х',=О являются простей»ии.ии уравнениями линий второго порядка, принадлежаи»ил»и соответственно к этим пяти проективным классам, Доказательство. Как известно из высшей алгебры, квадратичную форму С»» С»з С»з с„с„сзз ~ чь О Сз» Сзз Сзз! х,=с„х, + с„х, + с„х„ Хз Сз»Х» СззХр» СззХз хз = сз»х з + сззхз + сззхз где и» равны +1, — 1 или О.
Геометр»»чсск»» зто и означает, что существует проективное преобразование, которое любую линшо второго порядка, заданную уравнением з з » а„х, + а,„х, + а„хз+ 2а, х х,, 2а„хх, + 2а„хх» = О, х,'+ х, '— х"," = О, з 2 х"', + х,+ хз=-О, х', — х, '=. О, х,'+ х', == О, х,'=О. »р = а„х", + а,„х, '+ аззх', -'; 2а„х,х, + 2аз,хзхз+ 2а„х,хз невырождениым линейным преобразованием можно привести к каноническому виду е„х, -,'- е,х, +е,х, переводит в одну из следующих пяти линий: (1 (1 1) (111) (!»Р) М (1) (11) (111) (1Ъ') (Ч) 602 Р а а а а ХР ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ l!Ниии (!) является вераспадающейся действительной линией второго порядка, имеющей бепконечное множество действительных точек (окольная линия).
Линия (1!) не содержит ни адней действительнои ~очки. Линия (111) распадается на две прямые! х,+х,=О, х,— х,=О. Линия (1Ч) распадается иа две мнимые прямые~ х,+дх,=О, хд — (хз =О, 11а этой линии имеется только одна действительная точка (Одб: 1) Линия (Ч) является двойной прямой. Таким образом, линии (1) — (Ч) являются представителями указанных пяти классов Укаэанные в начале параграфа признаки линий второго по. рядка по которым мы провслп их класснфикапи1о, таковы, что они различны и инвариантны по отношсни~о к проективным преоб. разоваииям Значит, никаким просктивным преобразованием линию, принадлежащу1о одному из этих классов, нельзя преобразовать в лиишо другого класса. С другой стороны, так как всякую линдио второго порядка можно проективно преобразовать в одну из линий (1) — (Ч), то две любые линии входящие в один класс, могут быть преобразованы одна в другую некоторым проективным преобразованием В самом деле.
возьмем, например, две овальные линии С, и С,. Существуе~ проективиое преобразование 6, которое линию С, преобразует в линию (!), и существует проективное преобразование ч) которое линию С, преобразует в линию (!), Проективное преобразование )1) дй линию С, преобразует в линию С,. Аналогично доказывается, что две любые линии, принадлежащие к одному и тому же из Остальных классов, также проективно эквивалентны, Овальньге линии, дейсплвительные и мнимые, называются невы- рождающимися или нераснададощимися.
Все остальные линии распадаю;тся на две прямые (действительные различные или л~нимые, или совпадаюи(ие) и называются вырождающимися или распадающимися. Для того чтобы линия второго порядка, заданная оби!им уравнением 'Р = аддх1+ аззха+ аззхз + 2адзх,х, + 2алзхзхз+ 2а„хзх, = О >ьв пгоективпо-лФФинпля кллссиФиклпия линия 603 распаг>ало>ь, необходил>о и достаточно чтобы дискрилчинант квадратичной форл>ы, входящий в левую часть уравнения втой линии, был равен нулю )а» а» о> Л = а„, аы оьь =О. ~ аь> аь> а„ В самом деле, в этом и только в этом случае ранг матрипь> (ам) квадратичной формь»1 равен 2 илн 1, а значит, эта форма разлагается в произведение двух линейных форм Впр:>чем, условие А=О сразя проверяется па простейших уравнениях (1П), ((Ч), (>г) распада>о>цихся линий.
При проективном преобразовании определитель Л получает множитель, равный квадрату определителя преобразования, и, значит, условия А=О в А~О (для линий (!) и (11) класса) инвариантны относительно проективного преобразования. 5 205. Проективно-аффинная классификапия линий второго порядка Пусть проективпая плоскость реализована в виде первой модели. ! Овальными линиями будут тогдз все эллипсы, все гиперболы, каждая из которых дополнена несобственными точками ее асимптот, и гсс параболы, каждая нз которых дополнена несобственной точкой ее диаметров.
2. Втор> й просктивный класс образуют все мнимые эллипсы. 3 Третий проективпь>й класс образуют пары пересекающихся прямых, пополнеппых пх нссобственнымн точками, а также пары параллельных прямых (каждая такая пара дополняется одной несобственной т> чкой, через которую опп проходят). 4 Четвертый проективпый класс образу>от пары мнимых пересекающихся прямых, а также пары мнимых параллельных прямых, дополненных их общей (действительной) несобственной точкой. 5 Пятый проективпый класс образу>от сдвоенные прямые, дополненные их несобственной точкой Проективно-аффинпой классификапией линий второго порядка называется разбиение пх па классы эквивалентности по отношению к проективным преобразованиям проектнвной плоскости, реализованной в виде первой модели, при которых несобственная прямая переходит в себя.
Имеется одиппадпать просктивно-аффинных классов линий второго порядка. А имсиио зто те классы, которые перечислены в ч 203, бч! Г в в вв ЛР ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГ КТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 5 208. Необходимое и достаточное условие того, что два однородных уравнения второй степени определяют одну и ту же линию второго порядка Теорема 1. Для того чтобь( два уравнения (р=а„х', + аззхз+ а,„х, '+ 2а„х,х, + 2а„.г,х,-(-2а„л,х, =0 (1) ф = Ь„х',-1- Ь„,хв+ Ь„х, '+ 2Ь,зх,х, + 2Ьзхзхз+ 2Ь„х,х, =0 (2) определяли одну и ту же линию второго порядка но комплексной проективной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы соответс(пву(о(2(ие козффи((центы этих уравнений били пропорциональны.
Доказательство Достаточность условия очевидна. Докан(ел( необходимость. Предположим сначала. что линии (1) н (2) распадаются на пару прямых В этом случае левые части уравнений (р=О и ф=О разлагаются в произведение двух линейных форм относительно х,, хз хз (р = и гол, (р = изоз. Так как уравнения и, =О, о, =0 н и, =О, о, =0 являются уравнениями одной н той же пары прямых, то коэффициенты уравнения иг =-0 пропорциональны коэффициентам уравнения и,=О (или о,=О), а коэффициенты уравнения ил=О пропорциональны коэффициентам уравнения о, = 0 (соответственно из = 0).
Значит, и коэффициенты ам произведения илол =(р пропорциональны соответстВУюп((зч коэффициентам Ьм пРойзведснин изо, = ф Пусть линии (1) и (2) нераспадающнеся. Рассмотрим пересечение их с прямой х,=О; для первой линии координаты точек пересечения определяются из системы 2 уз=а„х",+2а„х,хе+а„х,=О х,=О; для второй — из системы ф, = Ь„х', лг 2Ь „х,х, + Ьз,х', = О, х, = О. УраВНЕНИя (1(2=0 И ф,=О яВЛИ(ОТСя ураВНЕНИяМИ ОдНОй И той же нары прямых, так как в противном случае точки пересечения прямой х,=О с л ни ией, заданной уравнением (1) или (2), были бы различны. Значит, коэффициенты форм Чи и врл пропорол(опальпы а„=ЬЬТ(, а„= ЬЬ22, азз =-ЙЬ22. Рассматривая пересечение линии, заданной уравнением (!) нли (2), с прямой х,=О, докажем что пропорциональны коэффициенты форм 2 (Р, =а,(т(+ 2а,зХ,ХВ + а„Х„ фз — — Ьллх1+ 2Ьззхлхз + Ьззхзв еоб двт О гггопогпых уотч!!гнпп н >опон сгепвни но так как и„=>>Ь>! го а,а= >Ь„! и,б=>>Ьа! РассматРиваЯ пе(ессчсггие липин, заданнои уравненном (!) плп (2) с прямой т >=0, докажем, что а,а=-ЬЬаа гсорема 2.
Для того чтобо. два уравнен>и> ! >р =- а„х', + а„х,' + а,ах! + "а.х,х, + 2а„х,х, + 2а„х,х,.= О, (3) ту = Ьггх,'+ Ьааха+ Ьаах>+ 2Ь>ах!хе + 2!>бал,ха+ 2Ьагхахг = 0 (4) определяли на действипгельной н роек>пигпюй плоскости одну и ту эке дейсп>еительну>о линию второго порядка, иле>ощу>о бесконечное ,инохсесп>ео дейстеательныт точек, необходи.ио, чтоби соответствую- и>ие коэффициенты этих уравнений были >гро>горииональны. Доказнтельс! но. Если линии распадаюгцнеся, то доггазательство такое же, как и в теореме ! (необходимость) Предположим, что уравнения (3) и (4) определяют линию второго порядка: эллипс, или гиперболу, дополненную несобственными точками ее асимптот, илп параболу, зополненнуго нссобственной точкой ее диаметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
