1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 95
Текст из файла (страница 95)
279). Пряиыс ОА ОВ, ОС и 00 перейдут в прямые а', Ь, с', г1', из которых первые две про хотят через точку О и парал аГ лсльпы сторонам параллс.ю Ь' грамма, а прямые с и г( явс' ляются его диагоналями Так как (а'Ь'с'д') = --1 (докажите~), то четверка прямых а', Ь', с', ~1' гармоническая. Значит, и четверка прямых ОА ОВ, ОС, 00 также гармоническая, а потому (АВС0) = — 1. 3 а м еч а н и е. Данное выше определение сложного отношения упорядоченной четверки точек, принадлежащих одной прямой, и упорядоченной чстверки прямых, принадлежащих одному пучку, без нзмспсппй переносятся па проективное пространство.
Отметим лишь одно обстоятельство. если А (х,:х,:х,:х,) и В (у,:д,:у,:д,) — две различные то н1и просктивпого пространства, заданные однородными координатами, то точки С((ах, +()у,):(ах,-~;Ьу,):(ах т~дз):(ах,-) ~д,)) 0 (» + ру ): »"' + ру ). (Лх, + ру,):(Лх, + ру4)) лежат па прямой АВ и (в случае аФО раб) (АВС0) =Л— ". В самом деле, пусть прямая АВ не параллельна оси Ог; тогда проекции А'(х,:х,.О:х,) н В'(у,:д,:():у,) точек А и В на плоскость хОу параллельно оси Ог различны; точки С'((ах, +()у,):(ах,-»()у,):О:(ах, +рд,)) 0' ((Лх, + ру,): (Лх, + ру,): О: (Лх, + ру,)), являющиеся проекциями точек С и 0 па плоскость хОу параллельно оси Ог, лежат на прямой АВ, и на основании теоремы 1 ж.
хнгхгмоничаског. отиошспиг.. глгмонизм (А В С0) =!й . аи Но (А'В'С'0') =(ЛВС0), значит, и !АВС0) = — "' ми ' Если прямая ЛВ иараллелши оси Ог, то, проектируя точки Л, В, С, 0 па ось Ог плоскостям и параллельными плоскости хОд, получим в проекции гочки А (О:О:хз'.х~) В (О:О:дз.'д4), С ((О:О;(лхз+[зда):(сгх4+Ьд4)) 0' ((О: О: (Хх, + рдз): (хх, + Рд „)), и проводя ту же выкладку, что и в теореме 1, иолу шм (А'В'С'0')= —; и здесь ясно, что (АВС0)=(А'В'С'0'), так что ии ' опять (АВС0) = — . х(! чи ' Из доказанного следует, что если точки А (х,:х,:х,:х,) и В(д,:д,:д,:д4) различны, то точка С((их,+Рд,):(ах, + [здя):(ах +()д,):(ах„+ ()д4)), где а=ФО и [)фО, лежит на прямой АВ.
При этом точка 0 ((ях, — Дд,):(ах, — ~д,):(ах, — [)да):(ах~ — рд4)) гармонически сопряжена с точкой С относительно точек А и В, т. е. (АВС0) = — 1. 3 ам е ч а и и е к й !91 — 202. Аналогично тому, как это было сделано в главе Х. можно ввести понятие комплексной проективиой плоскости (н комплексного проективпого пространства). Точкой комплексной проективной плоскости назовем класс М(х,:х,:х„) всех пропорциональных упорядоченных троек комплексных чисел, из которых по крайней мере одно отлично от нуля. Точно так же определяется прямая т комплексной проективной плоскости, котору~о в отличие от точки обозначим пи [и,:и.:и,[. Будем говорить, что точка М лежит на прямой т, или что прямая гл проходит через точку М, если выполнено соотношение итх~ г ияхя иахз О Это уравнение при фиксированных и„и„и, называется уравнением прямой [и,:и,:и,,[, а при фиксированных х,, х,, х,— уравнением точки (х,:х,:х,).
Аналогичное обобщение дается и для понятия комплексного проективного пространства: точка (х,:х,;х,:х,), плоскость [и,: и.,: иа: и,[, условие их иицидеитности итх, + и,ха+ иах, + иххх = О и т. д. бвв Е а а аа ХР ЭЛЕМЕНХЫ пРОЕктиВНОЙ ГЕОМЕ ГРИИ Дналитические определения просктивного пре~ бразовання пло. скости и пространства (лннейные, взаимно однозначные) переносятся и иа случай комплексной проективной плоскости и комплсксноп> проекдивпого пространства Ре: ультаты Ь !93 — 195, 200, 201 имеют место и для комплексной проективной плоскости, и для комплексного проекдивного пространства.
Однако некоторые теоремы становятся теперь определениями (например, деоредда 1 9 195). Понятие линии н поверхн сти второго порядка, касатель. пой к ней, понятие ангармоннческого отношения четырех точек, принадлежащих одной прямой понятие полюса и поляры относительно линии и поверхности второго порядка переносятся и на комплексную проективную плоскость, и комплексное проективное пространство, причем здесь следует сохранить лишь аналитические определения и выводы; основные уравнения прн этом сохранятся (уравнение касательной, поляры н т д ), Однак~ ха рактер проективной классификации уже изменится, так как, например, на комплексной проективной плоскости линия х',+х,'+х,*=О при проективном преобразовании х, =х',, х,=х'„ х,=(ха переходит в линию х,'+х,' — х,"=0 и т д Аналогичное обстоятельство имеет мес~о и в комплексном проективном пространстве Мы пе будем касаться тех вопросов (например, вопросов проективной и проективно аффннной классификации линий и поверхностей второго порядка) решение которых на комплексной проективиой плоскости и в комплексном проективном пространстве принципиально отлично от нх решения в действительном проектнвном пространстве.
$ 203. Линии второго порядка на проективной плоскости. Классификация линий второго порядка по характеру пересечения с несобственной прямой Линией второго порчдка на проективной плоскости называется геометрическое место точек проектионой плоскости, однородньде координаты которых удовлетворяют однородному уравнению второй степени а„х,'+ адах,'+ а„ха+ 2а„х,х,-+ 2а„х,ха+ 2а„х,хд О. Так как при переходе к другой системе старые координаты точки выражаются через новые координаты той же точки линейными однородными соотношениями с определителем из коэффициентов, отличным от нуля, то уравнение (1) преобразуется снова в однородное уравнение второй степени Координаты собственных точек линии (1) удовлетворяют уравнению ад х'+2а„ху+ а„уа+ 2а„х+ 2а„у-1- а„= О, (2) < зад линии втового Г!ог ядах которое получается из уравнения (1] делением всех его членов «а х'.
< Множество всех собственных точек липни второго порядка на проективной плоскости в случае, если х< тя бы один из коэффи пиентов амь ами а„пе равен нулю, есть множество всех точек одной из линий второго порядка, изученных в главе Х( (эллппс, гипербола, парабола, две пересека<ощиеся прямые и т. д.). Если а„= а<, =ах, = О, но хотя гы одно нз чисел а,.„или а, не равно аул<о, то множество собственных точек линии (!) состойт из точек прямой 2а,„х+ 2а,ар+а=О. Накопеп, если в уравнении (1) все коэффипиепты, кроме аеа равны пулю. то на линии (1) нет пи одной гобстве<пюй г<шки; линия (1) в этом случае состоит п< пары прямых совпадаюших с несобственной прямой Что касается несобственных тгчек, принадлежаших линии ьторож порядка, заданной уравнением (1), т< для них х,,=О, а ко.
ординаты х, и х, этих точек определяются из уравнения а„х', + 2а„х,х, + а„х< = О, которое мы получим из уравнения (1) положив в нем ха=О. Но этому же уравнепи<о удовлетворяют координаты векторов, имеюших асимптотическое направление относительно линии (2) (мы сейчас предполагаем, что хотя бы одно нз чисел а,„амв а<м не равно нул<о) Следовательно несобственные точки линии второго порядка являются н то же время и песобственнымн точкамп тех прямых, которые имеют асимптотическое направление по отношению к данной линии (2) В частности, если совокушгость собствепнь<х точек липин (1) второго порядка есть гипербола, то не<об. ственные гочки этой линии являются несобственными точками се асимптот, а сами аспмптоты каса<отса линии в этих несобственных точках Тип линии (1) определяется по типу линии (2) Таким образом, линию (!) мы будем называть линией эллиптического гиперб< лического ьли параболического типа, если множество всех ее собственных точек является соответственно линией эллиптического, гиперболическ го нлп параболического типа, т е.
если уравнение (2) эллиптического гиперболического или параболнчегк«го типа. Линии эллиптического типа, т. е. эллипс мнимый эллипс дге мннмь<е перссекаюшпсся прямь<с, не имеют несобственных точе<(; липин гиперболического типа, т е гипербола, две пересекаю<пиеса прямые пересекаются с несобственной прямой в двух различных точках Линии параболического типа, т с. парабола, пара параллель.
ных прямых (действительных и мнимых), сдвоенная прямая, имеют 600 Г а а а а Хю ЭЛЕМЕНТЫ ПЕОЕКГИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ только одп) несобственную точку и в случае параболы линия ка. сается в этой точке несобственной прямой 8 207). Таким образом, на просктнвной плоскости, полученной нз ев. клидовой плоскости пополненном несобственными элементами, линия второго порядка является одной нз следующих линий. 1) Эллипс; у этан линии нет действительных несобственных точек, 2) Гипсрбола, дополненная двумя несобственнымн точками сс асимптот. 3) Парабола, дополненная несобственной точкой ее диаметров (имеющнх асимптотическое направление), 4) Две пересекающиеся в собственной точке прямые дополненные их несобственными точкамп 5) Мнимый эллипс. 6) Две мнимые прямые, пересекающиеся в собственной точке.
7) Две параллельные прямые, дополненные нх несобственной точкой. 8) Две мнимые параллельные прямые, дополненные общей действительной несобственной точкой. 9) Две совпадающие прямые, дополненные их несобственной точкой. 10) Две прямые, из которых одна собственная, а другая несобственная. 11) Дважды взятая несобственная прямая. $ 204. Проективная классификация линий второго порядка. Распадающиеся и нераспадающиеся линии Разобьем множество всех линий вгорого порядка, лежащих на проективной плоскости, на следующие пять классов 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
