1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 92
Текст из файла (страница 92)
с. снова является гиперболической гомологией Гли с той же осью и центром. Отсюда следует, что маогкесгво всех гиперболических гомологнй с данной осью и цеп~ро1 образует подгруппу группы всех проективных преобразований плоскости. Если й == — 1, то гнпербочнчсгкая гочологяя х =-х,, х =хю х =-хх — ух, т 6(я Г л а э а хг н!лг!!е!зты пповкт!!Вной Гяометпии н зизчит, иад собственными гочкачи производится преобразование р о аст в з с осью !. Сели ось гомологин — несобственная прямая, то над собственными точками производится преобразование гомотстни (рис 271). На второй модели гипер- Рис 268 болнчсска гоыология порождается аффннным сжатием трехмерного пространства к плоскости (кось гомологинэ) по направлению некоторой прямой («центр вомологииз) (рис.
272). М М Р Р Рис. 270 Рис 269 Примеч 4. ! араболической гомологней называется проектнвиое преобразование просктивпой плоскости, при котором имеется такая прямая (называемая о:юо гочологни), что все се точки остаются иеподвижпымн при этом преобразовании, а па этой прямой есть точка 5 (центр гоиологии), обладающая счедующим сво(!с сваг!стноьп если М вЂ” любая точка проективной плоскости, а М' — ее образ, то точки б точки о И и И' принадлежат одной прямой.
Реализуем проективпую г (ча примеры геоекгипных ппеопглвочхнии 07 У плоскость л виде первой модели Примеч огь ~ аналогии зз ось ('х лффнппоч сястел1ы координат, а центр гомологни Я вЂ” за начале копры(наг и введем однородные координаты, соответствуюгкие этой аффинной системе. Как было дока. тано в предыду1пем примере, проективпое преобразование оставляюп(се па месте зсе точки прямой Ох, записывается так~ к, ~отта,+ага«а, « =а, хы х =аз,х + а„х„ ОбРаэ НЕСОбетесинай ГОЧКИ (0(1:0) ОСИ ОР бУДЕт (а„:а„;аз,), и Гак КаК гочки (О:0(1),(0(1(0) и (а,г:оа,газ,) аояжпы лежать на одйой йрямой то ! 0 и О 1 (=О, м' Рис 771 Рис. 272 т.
е. атз — — О, и, значит, "г =аыхг «~ =азаке «л =аыхе+аггхи Образом точки (1(!.'!) является гочка (а„;а„: (а„,+а„)), которая лежит на одной прямой с точками (О:0:1), (1:1:1). Поэтому ! 0 0 1 .(-о, ат, а,т аз, +а„, т. е. аз,=ат„и, значит, х, =а(гхи хе=а„хз, х =ав х,-(-агдх. Полагая аы —— 1, але=Х, будем иметь — х =х, х =Хх +х Теперь нетрудно проверить, что любая точка (хг.'хз:«з) я ее образ лежат на одной прямой с точкой (О:0:1), так как ! 0 0 1 х х хз ~=0. хг ха )ха+ха ( Соответствие собственных точек рассматриваемой параболической гомологии таково: х о х'= —, у'=— = ),у+1 ).у+1 ' 53) Г а а ° а ХГ.
ЭЛЕЛ1Е!1ТН 11РОГК111ВНОЙ ГЕОМЕТРИ11 Произнедениз двух параболн шскпх гомо.1сгий ПлП„сеть параболическая гомология Пл+ Множество всех парабо нчссгнт гомологнй с данной ось о е центром образует группу Параболичесная гомоне~ н ~ вполне опрехепяе1ся заданием оси 1, центра б и пары соответственных точек б( и й(' (котлппеар М 1 ных с 5) По гмим данным можно гостпопть образ Р' любой точки Р (рис. 273). ((а рис) пкс 274 нос г роеп образ рисунка и надписи к вену прн парабо М ПИЧЕСКОй ГОЛИЛО1ИП Р Во второй модели гараболю1ескан гочологии порождаетсв афф1шпь л1 сдвш.ом пространства отпо Р сительно некоторон плоскости связки (аось 1омо лопгиа) по папранлепп о ярямоь связки, лежашей 8 в этой плоскости (еиентр 1олгологпи») (рис 275), Пели проективпая плоскосчь резлизовапа в вн Рис.
273 де первой модели и ось топологии — собственная прямая, а пе1ыр — гесобствспнап точка (лшкашзя нз этой прямой), то параболическая гомология осуще ствляет над собстаеннымн точками аффпнное преобразование, явлгпощееся сдан гом относительно осн гомоло1нл (рис. 276.) Рпс 271 Рис. 277 Рис ауо Рис. 275 1ят пОпятне О плое1стивном плОстлангтве цслн нссобстневныин являются и центр, и ось парабоаинескоя гоиологнн, то над собстнснныыи топками она осуществляет преобразование переноса грис.
277). ф 197. Понятие о проективном пространстве Подобно тому как множество точек обыкновенной плоскости присоединенном несобственных элементов превращается в просктивнуго плоскость (точнее в се первую модель), можно построить МОдСЛЬ трЕХМЕрНОГО ПрОСКгыгВПОГО ПрОСтраНСтВа ИСХОдя ПЗ трСХ- мерного обыкновенного евклидова пространства, Г!росктнниая прямая проективного пространства получается, как и в случае плоскости, пз обыкновенной прямой присоединением к множеству сс точек нового элемента, который по-прежнему будем называть несобственной или бесконечно удаленной точкой йроектнвной прямой. Условимся в следующем.
если две прямые параллельны, то соответствующие им проектпвные прямые имеют одну и ту же несобственную точку. Если же две различные прямые пе параллельны, то соответствующие им проектнвные прямые имеют различные несобствщшыс гочки. Проективпой плоскостью проективпого пространства, соответствующей данной обыкновенной плоскости евклидова пространства, назовем множество точек, получаемое присосдш1снисм к множеству точек обыкновенной плоскости всех тех несобственных точек, которые присоедипя1отся к прямым, лежащим па этой плоскости. Несобственной или бесконечно удалсншой прямой проективпой плоскости назьпастся множество всех несобственных точек, присоединенных к множеству точек той обыкновенной плоскости, которой соответствует рассматриваемая проективная плоскость.
Наконец, множество всех несобственных точек назовем несобственной или бесконечно удаленной плоскостью. Точки, проективпые прямые и проектпвные плоскости, которые не явля1отся нссобствепшямп, будем называть соответственно собственными точками, собственными прямыми и собственными плоскостями, Множество, состоящее из вссх обыкновенных и несобственных точек, называется проективиым пространством. Условимся в слгдующей терминологии: 1) будем говорить, что точка (собственная или несобственная) лежит па проектпвной прямой или что проективная прямая проходит через рассматриваемую точку, если эта точка принадлежит множеству точек, составляющему эту проективную прямую; 2) будем говорить, что проективпая прямая (собственная или несобственная) лежит на проективноп плоскости (собственной или несобственной) или что проективная плоскость проходит через проек- 582 Р а а аа ХР ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИПНОЙ ГЕОМЕТРИИ тивную прямую, если множество точек проективной прямой входит в множество точек рассматриваемой проективиой плоскости; 3) будем говорить, что точка (собственная или несобственная) лежит на просктивпой плоскости (собственной или несобственной), если эта точка является элементом того множества, которое составляет рассматриваемую плоскость; 4) вместо того чтобы говорить, что точка лежит па прямой (или прямая проходит через точку), точка лежит па плоскости (или плоскость проходит через тачку), прямая лежит на плоскости (или плоскость проходит через прямую), говорят: точка и прямая ипцндентны, точка и плоскость инцидептны, прямая и плоскость инпидентпы.
Мы построили модель проективного пространства. Птметим иекоторыс свойства проективиого пространства исходя из этой модели * 1 Всяким дв)м различным точкам иицидентна прямая и притом только одна. 11. Всякие две различнь|е плоскости инцидептны прямой и притом только одной. 111. Если точки А и В иипидептны плоскости П, то прямая АВ е* инцидентна этой плоское~и. И, Если плоскости а и Ь инцидентны точке М, то прямая аЬ "аа 'инцидентпа этой точке 7. Три точки, не инцидентные одной прямой, инцидентны и притом только одной плоскости.
'т11. Три плоскости, не инцидентные одной прямой инцидентны и притом только одной точке. Читателю рекомендуется провести подробные доказательства этих свойств. Мы потому особо выделили свойства 1 †'ьг! проективного пространства, что при аксиоматнческом построении проективной геометрии именно этп свойства включаются в аксиомы, определяюидис понятие проективпого пространства, В качестве дополнительных предложений рекомендуем доказать следуюгцие свойства проективного пространства. Ъ'!1.
Всякие две различные прямые, инцидептные одной плоскости, инцидептны и притол1 только одной точке. 'у'111. Всякие две различные прямые, инцидеитные одной точке, инцидентны и притом только одной плоскости. 1 Х. Точка и неинцидентиая ей прямая инцидентны и притом только одной плоскости ' Приводимые пиксе свойства ! — '1г1 играют осповеу1о роль при аксиоматичсскои построеипи проективиого пространства " А — прямая, иецидептпак точкам А и В. **" аь-припая, ииппдептиав плоскоствч о и Ь. гэк ПРи! цнп двойственности ввз Х, Плоскость и неинцидентная ей прямая ипцидентны н притом только одной точке. В проективном пространстве, как и па проективной плоскости, нет параллельных прямых: две любые прямые, лежап,ие ~ одной плоскости, всегда перссскаюгся (Ч1!).
В просктнвпом пространстве нет н параллельных плоскостей: всякие две плоскости проективного пространства псрссекаются по прямой линии (1!). Наконец, любая прямая не лежашая в проективной плоскости всегда пересекает последнюю (Х). Всем этим проективное пространство .ушестзенно отличается от евклидова.' ф 198. Принцип двойственности Перепишем предложения ! — Х ь виде слсдукпцей таблицы; Сопоставляя предложения 1 — П, !11 — (Ч, Ч вЂ” Ч) Ч)! — Ч1!1, 1 Х вЂ” Х, видим, что каждое из них получается из другого заменой в нем слова «точка», словом «плоскость» н, наоборот, слово «плоскость» словом «точка», слово «прямая» остается без изменения. Лва предложения о точках, прямых и плоскостях, сформулированные т< лько в терминах инцндентцостн, называются двойственными если одно нз них получается нз другого заменой слова «точка» словом «плоскостык слова «плоскость» словом «точка» с сохранением слова «прямая» Всяким двум различным точкам инцндентна прямап и притом золько одна !1! Если точки А и В инци.
дентны плоскости !1, то прямая АВ ннцидентна этой плоскости Ч, Три точки, нс шшидентные одной прямой, ннцндснтпы и притом только одной плоскости Ч)1. Всякие две различные прямые, инцидентные «»аной плоское~и нннилентны и притом только одной точке 1Х. Точка и нсннцидентная ей прямая инцндентны н притом только одной плоскости (1, Всякие две различные плоскости нпцидентны прямой и притом только одной !Н Если плоскосги а и Ь инцидентны точке М, то прямая аЬ ннцндентна этой точке Ч! . Т рн плоскости, не и нцидентные одной прямой, инцидентны и притом только одной точке Ч1П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
