1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Вектор с координатами йх,, йх„, где е †люб число, пе равное нулю, также ненулевой, коллйпепрен вектору а и собственным прямым, на которых лежит несобственная точка М. Назовем любую тройку чисел из класса троек лх,, Фх,, О одиороднымн координатами несобственной точки М и будем писать М (хт'.хз '. О) Итак, однородные координаты несобственной точки М вЂ” это любая тройка чисел из класса пропорциональных между собой троек х,;х,,:О, где х„ х. — координаты какого-нибудь ненулевого вектора, коллпнеарного собственным прямым на которых лежит точка М, 5 гзх.
ОднОРОдиыь косРдинлты тОчки и пРямОЙ Так, например, несобственная точка оси Ох: (1:0:0), так как е„=(1, 0) ~гОх. Несобственная точка Оси Оу:(О:1:О), так как е.,=-(0, 1)г~Оу. Отметим еше, что начало координат плгеет однородные координаты 0:0:1, а сдиничпач точка Š— однородные координаты 1:1:1 Теорема. Вслкалг прялал на правктиансй плоскасгпи выраана тя Однородны«г уравнением первой степ.ни и,х,+и,х, +и,ха==О и Обратно, всякое гггакое уравнение ясяяется ураснеггиеи ггскоторвй прямой на и роективной плоскссти.
Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть гс — обыкновенная плоскость, а П вЂ”- соответствующая ей проективная плоскость. Введелг иа плоскости п общую декарточу систему координат и возьмем па плоскости П любую собствеинуго прямую Л. Пусть и«Х,'-их)'+и„=-0 — уравнение той обыкновенной прямой л плоскости и, присоединением к которой несобственной точки получена прямая Л. Если х„х„хх — однородные координаты любой собственной точки М прямой Л, то х« хх Х =- — '', и, значит, и, — +и« вЂ” +и«=-0, х„ хх хз «3 или и,х, + и,х, + и,х, = О.
Аналогичгго доказывается, что если точка (х,;х,:хх) (собственная или несобственная) ие лежит па прямой Л, то и,х,+ и,«,+и,х, ФО. Если Л вЂ” несобственная прямая, то ее уравнение имеет вид х,=О. Обратно, всякое однородное уравнение и,х, + и,ха + и,х, = 0 первой степени относительно х„х,, хх является уравнением собственной прямой, если хотя бы одно йз чисел а, или иа ие рашю нулю, и несобственной, если и, = и, = О, и, р О. и,х,+и,х +и,х, =-О Если же М вЂ” несобственная точка прямой Л и х„, х,, 0 — ее однородные координаты, то вектор (х,, х,) коллииеареи прг мой ),, значит, и,х, + иххх = О, или Глава ХМ ЭЛЕМЕНТЫ ПРОСКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 562 Любые три числа из класса и,:и,:ив троек чисел, пропорциональных коэффициентам в уравнений проективной прямой, называются координатами этой прямой. Проективную прямую вместе с ее координатами будем обозначать (и,:ив.ив) Лве прямые совпадают тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
2. Вторая модель проект ивной плоскости Покажем теперь, как можно ввести координаты точек и прямых для второй модели просктивной плоскости. Введем в пространстве общую декартову систему координат Охуг, принимая за начало координат центр О связки, а за оси координат три прямые Ох, Ой, Ог связки, не лежащие в одной плоскости (рис. 288). Возьмем произвольную «точку», т. е. произ- Рис. 259 Рис.
255 вольную прямую т связки; выберем на этой прямой ят произвольную точку М, це совпадающую с центром О связки. Пусть х, у, г — координаты точки М в системе Охдг. Три числа х, и, г называются проект ив ными координатами выбранной точки М. Если взять на прямой пв другую точку М'(х', у, г ), не совпадающую с О, то х:у:г=х'вд':г' н, обратно, если х:у:г=х':у':г', то точка М'(х', у', г') лежит на прямой ОМ. Поэтому любые три числа, пропорциональные числам х, у, г, также являются проективными координатами выбранной точки М.
Таким образом, каждой аточке» проективной плоскости соответствует класс пропорциональ- Ф ыа одно~ одныа кооядинлгы точки и цвямоп ных троек ее координат. Так как уравнение всякой плоскости, проходящей через начало координат, имеет вид их+ оу+ гог = О и, обратно, всякое такое уравнение является уравнением плоскости связки, то и для этой модели проективной плоскости верна теорема: всякая «прямая» цроективной плоскости выражается линейяым однородным уравнением их+оу+«ог=О, где нли иФО, нли о~=О, нлн го~О и, обратно, любое такое уравнение выражает «прямую».
Любые три числа из класса и:о:«о троек чисел, пропорциональных коэффициентам в уравнении «прямой», называются координатами этой «прямой» (во второй модели). Две «прямые» совпадают тогда и только тогда, когда нх координаты пропорциональны. 3. Связь проекти нных координат точки во второй модели с однородными координатами точки в первой модели Проведем через точку Е,(О, О, 1) плоскость л, параллельную плоскости хОу.
Введем на плоскости и систему координат, принимая за начало координат точку Е„за оси координат прямые Е,Х и Е»)', соответственно параллельные прямым Ох и Оу и оди. наково с ними направленные; масштабные отрезки на осях Е,Х и Е»У выберем соответственно равными масштабным отрезкам осей Ох и Оу (рнс. 259). Обозначим через П проективную плоскость, которая соответствует плоскости я. Тогда проективные координаты х, у, г «точкн» я» будут и однородными координатами точки М (на плоскости П), соответствующей прямой и«, В самом деле, пусть «точке» и соответствует собственная точка М плоскости П, т.
е. прямая л«пересекает плоскость я в точке М. Тогда точка М в системе координат Е»ХУ имеет координаты Х, У. Но так как единичный вектор оси Е,Х равен единичному вектору оси Ох, а единичный вектор осн Е»У равен единичному вектору оси Оу, то Х=х, )"=у. Значит, первые две координаты тройки чисел х, у, 1, являющиеся проективными координатами «точки» гп,— это декартовы координаты точки М, т. е. проективные координаты х, у, г «точки» т являются однородными координатами соответствующей ей собственной точки М плоскости П. Если «точке» т соответствует несобственная точка плоскости П, т.
е. если прямая и параллельна плоскости л, то г=О, а х и у— координаты вектора, коллинеарного прямой гл и лежащего в плоскости и. Таким образом, и в этом случае проектнв~ые координаты «точки» и есть однородные координаты соответствующей несобственной точки плоскости П. оо! ! ч а ! е х! и:гсвг!.г! ! ь! г!!'сект!!в!!ой ! соме!Гни б !03.
Уравнение прямой на проективной плоскости ', проходящей через две точки; пучок прямых 1ерсз две различныс точки (а,:а,:аз) и (Ь,:Ь,:Ьз) проходит и притом только одна прямая, уравнение которой можно записать в виде Х! Хз Хз а, аз аз! =О. В самом деле, написанное уравнение является однородным уравнением первой степени относительно х„х„х, (данные точки предполагаются разлнчнымн, следовательно, их координаты не пропорциональны и, значит, среди коэффициентов прн х„х,, хз в написанном уравнении по крайней мере один не равен нулю). Координаты этой прямой: аз аз .(Из ат,)а! Из) Если А(а,:а.„:а,) и В(Ь,гЬ.,:Ь,) — две различные точки проективной плоскости, то прн любых а и (), це равных нулю одновременно, точка М с координатами х!.= оса! + ',',Ьт, х! =-с ае ОЬв хз = Яаз + ()Ьз лежит па прямой ЛВ и, обратно, координаты любой точки прямой АВ могут быть представлены в таком виде.
В самом деле, прямая ЛВ выражается однородным уравнением первой степени относительно х,, хз, х,; а,, аз а, н Ь„Ь,, Ьз — два линейно независимых решения этого уравнения; значит, все решения будут липсйньжги комбинацнямв этих двух. Аналогично устапавливаготся и слсдугощне два предложения; днс разлкчиые прямые и,х,+и,х,+и,хи=О, а„х,+о,х,+о,х,=О пересекаются в точке прямая Я(итхт+изхз+изх„)+р(п х +озхз+о~х)=О, где а и р нс равны нулю одцоьременно, входит в пучок прямых, определяемых двумя дишьыш, и, обратно, уравнение любой прямой этого пучка можно записать в таком виде.
' В в!ом пврвгрвфс имеется в виду л!обзя из двух моделей проективной плоскости Н слу !зе первой !к!дели хг!х,стз — однородные координаты точки, в слу щс второй — нроектнвные координзчы, В 194 Геупп,~ п!оскьпвиых пгяоьелзовьпип Ь' 194. Группа проективных преобразований проективной плоскости. Группа аффинных преобразований как подгруппа группы проективных преобразований Проективным отображением проективной плоскоапи П на проективную плоскость И' называется взаилгно однозначное отображени. нлоскосгпи И на плоскость 1Г, при котором три любые точки плоскости П, пранас)лежаи(ие одной прямой, переходят в три точки плоскоспги И', также принадлежаи(ие одной прямои.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
