1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Доказательство. Как было показано выше, любое линейное преобразование пространства, в частности и данное симметрическое, имеет собственный вектор 1 (будем считать его единичным): Докажем, что симметрическое линейное преобразование 1 каж. дый вектор, перпендикулярный вектору 1, переводит в вектор, перпендикулярный вектору г. В самом деле, сели а ( г, то 1а= О. Но тогда в силу симметрии линейного преобразования 1 1/а = а)1= аХ,1=),,а1 = О. Значит, линейное преобразование 1 преобразует множество гсех векторов, комплапарных плоскости, перпендикулярной вектору 1, в себя, а так как преобразование ) симметрическое, то в этой плоскости есть собственный вектор (будем считать его единичным): ),7= )"е./. Вектор )г(!))!= !), перпендикулярный векторам г и т', также будет собственным, так как из условий 1й=О, .)й=О Е34 Г а а а а Х1Ю ЛИНЕЙНЫЕ И ЛФФНННЫЕ ПРЕОБРАЗОВЛНИя следует 4! Ю =- И)1 == И1 1 = — О,,ф!а = АГ)'= В а)'= О.
Значит, вектор )!а ортогонален векторам 1 и ~ так же, как и вектор А. Следовательно, векторы А и 4!е коллипсариы и поточу !А= 1. й. Введем в пространстве ортонормированный базис 4,,т', й, состоящий из собственных векторов, рассматриваемого преобразования 1, тогда координаты х', у', е) образа вектора (х, у, г) через координаты этого последнего выражаются формулами х =)~1х~ ц =бац, а матрицей преобразования )' в такой системе будет матрица (." 3 Характеристическое уравнение этой матрипь! будет иметь вид: Х вЂ” Х О О 0 )а — Х 0=0 О 0 Х,— Х и его корни А=11, Х=-) „Х=Х . В силу инвариантности корней Х1, Хм Х, характеристического уравнения отпоситсльно преобразования базиса числа )1, Ха Х, явля!ется корнями характеристического урависния, соответствующего линейному симметрическому преобразованию 1 в л ю бом базисе (даже и не ортонормироваином).
3 а меч а и не 1. 1) Если )1~ Х, ) аФ).„) а ~л„то линейное симметрическое преобразование 1 имеет единственную тройку (с точностью до постоянных множителей, отличных от нуля) собственных векторов, так как любой вектор (х, у, г) перейдет в вектор (агх, ),у, Х,г), нсколлннсарный вектору (х, 14, г), если хотя бы дес из координат вектора (х, р, г) не равны пулю.
2) Если )1=1,~Ха, то собственными векторамн являются вектор й, соответствующий собственному значению Х-.=)а, и все векторы к нему перпендикулярные. В самом деле, векторы (х, у, г) и (х1х, х,у, ),г) в слу Рае Х1=- ).,чь) а коллииеарны тогда Н только тогда, когда илн я ==О, илн х=-р1=0. Если 1,1=-)., =Л, то любой (ненулсвой) вектор является собственным. т !зз. самосев! яжгннос . иннпяог ппног!мзоплнни баб Заме чан не 2.
Если относительно декартовой и р я и ау гольнойй системы координат Охрг задано общее уравнение а„х'+ аззУз+ аззг'+ 2 атзхп+ 2 аззрг+ 2 а„гх+ 2 г!тл + 2 азц+ +2а,г+а=О поверхности второго порядка, то этому уравнению в данной системе координат можно поставить в соответствие симметрическое линейное преобразование множества всех векторов пространства, определяемое соотношениями г Р х =атлх+ атер+а,зг, р =аз!к+азер+аззг, г'=азы+азз!и+азад, Будем рассматривать векторы !'=(х, у, г) и )! =(х', (,', г') как радиусы-вскторы точек М(х, у, г) и М'(х', у', г'). В таком случае квадратичная форма, входящая в левую часть уравнения поверхности, является скалярным произведением векторов и и )и: а,„х'+а„у'-»-а, г'+2 алеху+ 2 а„уг+2 а„гх=к)г'. Повернем оси координат Охуг вокруг точки О так, чтобы новые оси Ох', Оу' и Ог' погпли по направлениям трех единичных н попарно ортогоиальных собственных векторов )', 7, й' преобразования !'.
Тогда г)г=(хг +!г/ +гй)! (х! +Цл +гй)= = (х'1'+ у'/'+ г'й') (х ')1"+ у'Ц'+ г')й') = (х'!'.»- У'У' -»- г'й') (х'Лт)' -1- Уьй У'+ г'Лзй') = Л,х" + Л,У" + Л,г'. Мы видим теперь, что в й 152 при преобразовании системы координат новой оси Ог' сначала придавалось направление собственного вектора линейного преобразования ), соответствующее данному уравнению, а затем поворотом вокруг оси Ог' осям Ох' и Оу' придавались также направления собственных векторов ьтого преобразования.
В й 164, 165 и !66 мы по существу имели дело с собственными векторами линейного преобразования, которое ставится в соответствие заданному уравнению поверхности. Все сказаш<ое относится к уравнению линии второго пори„ка, задашюй общим уравнением относительно декартовой прямоугольной системы координат. В действительном и-яерном евклидовом пространстве об!пу!о теорию поверхностей второго порядка следует строить по такому плану: сначала изложить теорию линейаых преобразований множества векторов этого про.
странства, сформулировать определение собственного вектора н доказать, что самосопряженпое линейное преобразование имеет и попарно ортогональнык (и единичных) собственных векторов уз, 'квадратичная форма Л входящая в левую часть общего уравнения поверхности в системе (О,уз), примет вид )гх + Лзх + ° + Узхц где Лл — корни характеристическогоуравнения и т,д. (см. сноску на стр. 428).
536 Р в а в а Х«У. ЛННЕЙНЫЕ Н Аз»Р««п>«ЫЕ ПРРОГ>РАЗОВАИНЯ 5 186. 11редставление аффинпого преобразовании в виде произведения ортогонального преобразования и трех сжатий к попарно перпенднкулярнывз плоскостям Теорема 1. Каково бы ни бь«ло аффинное пр«образовпнпе про- странства, еуи1еетвуют три попарно перпендикуля>,ных вектора, образы которых также попарно перпенбикулярны, Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно рассмотреть случай цсптро- аффинпого преобразования, так как всякое аффинпос преобразование можно представить в виде произведения переноса па цснтроаф- финное преобразование, а при переносе всякий вектор переходит в равный ему вектор.
Итак, рассмотрим какое-нибудь цснтроаффинпое преобразова- ние 1, Введем в пространстве декартову прямоугольную систему координат Охуг, принимая за начало координат О неподвижную точку этого преобразования. Тогда в координатах рассматривае- мое преобразование будет иметь впд х =а„х+а,зу+а„г, > у =а,„х+ а,зу+аззг, г' = аз,х+ аз!у+ аззг, причем этими же формуламп определяются координаты х', у, г' обРаза 1х'е«У',г'~ вектоРа 1х, У, 31.
Обозначим через А матрицу преобразования (1)> а>! пм а«з А =, ам азз азз~> аз> «>3 2 «333 а через А' — матрицу, полученную транспонированием матрицы А! а« ! аз Раз> А' = а,а за„ аззаззазз Составим произведение А'А = с а,', + а,', + а,', а>>а!3+а„паз+аз«азз а„а«з+аззазз+аззазз>1 аз>а>э+аз>ага+а азз а«3, + а,', + а,', а; а>з 1.аззазз+аззазз 1 а>за>3+аззазз+аззаз« ««>заза+азз«>33+«>зз'>зз «'>3 + ««зз + азв >> Будем обозначать образ любого вектора и при аффинном преобразовании через Ае, где А в матрица этого аффинного преобразования. Отметим, что для любых двух векторов 83=1хд, У,, г>1 и е, =1хз, У„г31 з 166, ОСНОВНАЯ ТВОРГМА 537 скалярные произведения е,Ае, и е,А'е, равны между собой: есАез=(хс, У,, гсЦа„хз+а~з(7~+асзгз, а~схз+азгсрз+аззгз а„х, +а зу,+а„г ) =х,(а„х, +а„у, +а„г,)+у, (а„х,+аз,у, + + а„гз) + г, (а„х, + а„уз + а„г,) = х, (а„х, + а„и, + а„г,) + + у, (а„х, + а„у, + а,зг,) + гз(а, зх, + а.„у, + а„г,) = = (хз, уз, гз,) (асзхз+аззуз+аззгз, асзхс+ иззу +аззгз, аззхз + аззус + аззгс) = ЕзА 'Е,.
Так как матрица А'А симметрическая, то соответствующее ей центроаффпнпое преобразование (имеющее ту же неподвижную точку О, что и преобразование А) также симметрическое н, значит, имеет трп попарно перпендикулярных собственных вектора е,, е,, е,, т. е. А'Ае,= Лзе„А'Аез = 7 зе„А'Аез = 7 звз.
Обозначим образы векторов е,, есо е, при аффннном преобразовании А через е„е„е.,: Ае, = е„Аез — — е„Ае, = е,. Имеем е,е, = е,Ае, = е,А'е, = е,А'Ае,.—.— ез),,ез = О с и аналогично е.е,=О, езе,=О, т, е. векторы е„е„е, попарно перпендикулярны (все зги векторы, очевидно, ненулевые в силу взаимной однозначности рассматриваемого центроаффннного преобразования). Теорема 2. Всякое аффинное преобразование сс можно представить в виде произведения ортогонального преобразования ьс и трех аффинных сжатий й„й„йз к трем попарно перпендикулярным плоскостям: 7 = ьзнзйзйз.
доказательство. Пусть е,, е„е,— три попарно перпен. дикулярных вектора, которые при аффинпом преобразовании снова переходят в перпендикулярные векторы 7Е1 = Е„)ЕЗ = Е„(ЕЗ = Еси Отложим векторы ез, е, е, от какой-нибудь точки О, ОЕ, = е„ОЕ, = е„ОЕ, = е,. Пусть О' — образ точки О при аффинном преобразовании Отложим векторы е„е„е, от точки О': О'Е, =е,, О'Е, =е,, О'Е„=е,. 333 Гза °, Хти ЛННЕИНЫЕ И ЛФЮЫННЫИ ПиаснпаЗОВЛН)ЛЯ )'очки Е„ Е„ Е, — образы точек Ед, Е„ Е, при аффиппом преобразовании 1'. Рассмотрим сжатия йт, й, йз к плоскостям ОЕ,Е,, ОЕ,Е,, ОЕ,Е,, при которьг векторы ОЕ, ОЕ„ОЕ перейдут в векторы ОЕ,, ОЕ,, ОЕ,, имеюп)ие длины. соответственно равные длинам векторов О'Е, =е,, О'Е, = ез и О'Е, = ез Существует ортогональное преобразование ю, которое точки О, Е, Е,, Е,„ переводит соответственна и точки О', Е„ Е„ Е, .
Произведение со))тйзгсз является аффинным преобразованием и оно так же, как и аффинное преобразование 7, переводит точки О, Еы Е„Е, соответственно в точки О', Его Е„Е,. Следоватсльно 8 )77, теорема 4), 7 = ай А)гю $ ) 87. Применение аффинных преобразований к исследованию свойств линий второго порядка Аффипные преобрззовапия могут быть использованы при исследовании геометрических свойстп линий второго порядка, причем это исследование можно в ряде случаев проводить янтетвчески Пример 1.
1!рвмепим тсоркю аффипных преобразований и исследованию некоторых свойств эллипса для этого заметим, что всякий вллипс можно рассматривать как образ окружности при аффвннам преобразовании. В 1' Так как окружность С имеет пснтр симчстрни, и только одни, то и эллипс К имеет пептр симметрии )явВв ляюгдийся образом центра окружности С), и притом только один 2' Так как середины параллель- 0 пых хорд окружности лежат на одной сна прямой, а прн зффинноч преобразова- нии параллельные хорды окружности 4 С перейдут в параллельные хорды эл- липса К и середины хорд окружножэ сти — в середины хорд эллипса.
то и середины пара.тлельных хорд эллипса лежат на одной прямой 3' Ес.чи через иептр эллипса К провести произвольную прямую и', то найдется другая прямая и', проходя. Рис 252 шая через пентр эллипсэ К, ~акая, что каждая из прямых о и ар делит пополам хорды эллипса, параллельные другой прямой Это свойство эллипса имеет место в силу того, что оно имеет место для двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности, а в силу основных свойств афф~нного преобразования )сохранение параллельности, середины отрезка и т д.) Пример 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
