1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 81
Текст из файла (страница 81)
вавакин, то РМ' =й РМ. Косое сжатие называется иногда родством (рис 231). На рис, 232 дана фигура н ее образ при косо . сжатии к оси Ох Пример 3. Линейное преобразование, заданное относительно прямоугольной (или обшей декартовой) сис. темы координат соотношения»!и С~ х'=х+йу, у'=у, А Р О, У называется сдвига,! относительно осн Ох Сдвиг есть цсптроаффинпое преобразование с детерминантам !"1= так как образом точки О(0, О) является сача э»а точка При сдвиге сохраняются плошади и ориентация (()е( А =1) Если М (х, у] — произвольная точка плоскости, а М' (х+Ау, у) — ее образ при сдвиге, то ММ'== = (йу, 0~, т. е.
каждая точка М есдвигается» по паправлени!а оси Ох на расстояние, пропорцно. нальное ее ординатс(отсюда сле- ! ! ! ! ! ! ! ! ! Рис. 229 Рис. 230 дует, что то!ки, лежащие по разные стороны от оси Ох, ~двигаются в противоположных направлениях) (рнс. 233). На рисунке 234 показан образ фигуры при 'У сдвиге. Пример 4. Преобразование гоьютетпп с центром гомотетии в начале: оординат и козффициентам гомотстии, равным М выражается соотиошеянямн: х' = йх, и' = йу (ряс. 235). Так как 1й 01 Пе! А =1 ) =Ггз > О, -!О й~ Рис. 231 та гомотетия — центроаффинное преобразование, сохраняющее ориентацию.
17 П, С. Модевов 51Ч Г хааа Л1Ш ЛИНЕЙНЫЕ П ЛФФНННЫЕ НРЕОБРЛЗОВЛНИЯ На рксупкг 236 дана фигура и ес образ при гомотетии с коэффиписнтом А=2. Пример б. Рассл!отри!! линейное преобразовзпие плоскости, заданное относительно обшей декартовой системы координат соотношениями 1 х'= — х, !7'=У!У, Л ~ О. й РОВ,СТВО ЛеэЮ4)глб'У.Жбр Рис 232 Это преобразование в иентроаффпиное, так как данные соотношения линейные однородные и детерминант При этом преобразовании сохраня!отея плошади и ориентапия.
Опо представляет собой произведение двух косых сжатий: одно к оси Ох по напрапленню оси Оу с коэффиписнточ й, др)гос к оси Оу по направлению оси Ох 1 с коэффипиентом л' 1ак как х'у' ху, то прп расслтатрипаемочпреоб!разовапии каждая гипербола ху С (С че 0) отображается ка себя (рис 237 и 238); прообраз ~7тх, — 7! у т * л) то кп 1л. в! сри этот превера.огз! ип также !сжит на той >ке гнперботе ту= Сг на которой лежит точка 1л, у) Любая шчка оси Ох псрслодит и !очку оси Ох! лкбая точка оси Оу переходит в точку той же оск, Это преобразование па- ! !7! Н!ИИГП!! АФФИННЫХ ИПГОИГЫАЗОНАНИЙ зывается гпперсозическим позора!ом, и !и .!орснпевыы преобразованием Опо рассматривается в теорян относительно'ти. На рис 239 дан оправ фигуры при гиперболическом повороте. Пример 6.
Рассмотрим семейство пара- М т бол у=ахз+с, где и — фиксированное отрицательное «исло, а с — параметр (рис. 2чб) Пусть М (х, у) — произвольная точка плоскости. Перенесем точку М в нааравлепии вектора а, перпендикулярного оси параболы, на одно и то же расстояние И для всех точек У плоскости. Пусть точка М перейдет при Р .
233 Рис. этом пероеносе в точку Р. Проведем через точку прямую, параллельную оси параболы, и пусть эта прямая пересечет гу из парабол семейства у=ах'+с, на которой лежит точка М, в точке М'. Поставим точке М в соответствие точку М'. Докажем, что это соответствие есть аффипнос преобразование. В самом деле, пусть точкаМ(х, у) лежит на пара- Рнс. 234 боле у=ага+с. Точка Лт'(х', у') лежит на той же параболе, поэтому у'=ах" +с. Но по определению рассматриваемого преобразовании имеем х'=х+И, поэтому у' = а (х+ И)'+ а = а ха+ 2аИ х + аИ'+ с, и так как ах'+с=у, то у' = 2ай х+ у.(- аИ' Итак, д) х'=к+И, у'=райх ) и+ада Отсюда Рис. 233 ,2иИ 1( бИ Р я а та ХЯР. ЛИНЕЙНЫЕ И ЛФФННН!ггЕ НРЕОВРЛЗОВЯННН Значит, построенное аффинпос преобразование сохраняет плошади и ор ~снтапию; оно называется параболическим поворотом.
При параболическом повороте каждая парабола семейства парабол у=ока+а Рнс. 233 г га1з'1 010 =Я~О. переходит в себя. Пзраболнческому повороту можно дать следугоЩЕЕ МЕХаии. ческое истолкование. Пусть из различнык точек вертикали з различные моменты времени, но с одной и той >ке начальной скоростью выбрасываются матсриальпыс точки, Тогда все они будут описывать парзболы с общей осью (ссля рассчатривать движение в пусто ге) За произвольный про- У иежуток времени в горизонтальном направлении все точки пройдут одно и то же расстояние и каждая точка останется на своей М (,з1 траектории, т. е.
сила тяжести пзд движущимися точнами про. изведет параболический поворот. Таким образом, например, площадь треугольника АНС, об. М разовапного свободно летящими точками, пе будет меняться с те- д чением времени (если, конечно, точки были выброщеныизточекодной вертикали с одинаковыми начальными скоростями (рнс. 241)). На рисунке 242 даи образ фигуры 61 при параболическом повороте. Пример 7. Фо(гмулагги Рис.
237 х'=х, у'=у, г =дг (д > 01 определяется линейное преобразование пространства. Оно аффинное, так как 5)3 пав гч х~' липийиыи и вч 'ьмппыи ппиопплзов1ыпв Если М (х, у, г) — пропзвольпая точка, М'(х', у', г') — ее образ прв слое преобразовании, а Р (х, у, О) — параллельная проекция точки М (х, у, г) в пло- Рис. 240 Рис. 241 Рис. 242 скость лОу паралле; ьио оси Ог, то РМ ' =й РМ . Это преобразовапие вазывастся аффивяым сжатием прострапства к плоскости хОу по направлен~по осп Ог (рис. 243), На рис. 244 яапа фигура и ее образ при аффиииом сжатии к пло. скости хОу по паправлеиикз оси Ог.
ч !тч примеРН АФФиннык пРГОЬРАВОВАний Пример 8. Формулазщ х =к+из, д И, 7 (й - О) определяется аеитрозффиппое преобразование, тзк как формулы линейные, однородные и 1 0 й 010 =! >О. 001 Рис, 243 Рис. 24о Рис. 248 Это аффинное преобразование называется сдвигом пространства относительно плоскости хОР по на. правлению оси Ох (рис 245) При сдвиге сохраияютсн объемы и ориентация. Если М вЂ произвольн точка пространства, а М' — ее об.
раз, то ММ'=1Д7, О, 01, т. е. все Ряс 244 точки пространства сдвигаются по направлению оси Ох на величину, пронорпиопальиую аппликзте; точки, лежащие по разные стороны от плоскостй хОу, сдвигаются в противоположные сторокы. На рисунке 246 дана фигура н ее образ при сдвиге относительно плоскости хОу по направлению оси Ох. 52О г» ь со хп' линг опыг и лы ыннплг ггао~'ьзовлния 5 $80.
Ортогональные преобразования и движения Ор погональным преобразованием пространства называется преобразование мноясества всех лпонек пространства, обладающее следующил1 свойством: если А и  — две произвольные точки, а А' и В' — их образы, то АВ = А'В'. Иначе говоря, ортогональным преобразованием пространства нозьюается преобразование, при котором сохраняются длины отре.~ков, Аналогичное определение дается для ортогонального преобразования плоскости н для ортогонального отображения плоскости на плоскость.
Теорема 1. Ортогональное преобразование есть линейное преобрпзова ние, Доказательство. Рассмотрим три попарно различные точки А, В, С, принадлежащие одной прямой, Пусть точка В лежит между точками А и С: тогда АВ+ВС=АС. Пусть А', В', С'— образы точек Л, В, С при ортогональном преобразовании св, Тогда А'В'=АВ, В'С'=ВС, А'С'=АС, значит, А 'В '+ В'С' = А 'С', следовательно, точки А', В', С' попарно различны, принадлежат одной прямой п точка В' лежит между А' н С'. Отсюда следует, что если АС=ВАВ, то и А'С'=ХА'В', И для плоскости, и для пространства имеют место следующие утверждения, выгекающие непосредственно из определения ортого- нального преобразования: произведение двух ортогональных пре- образований есть ортогональное преобразование; преобразование, обратное ортогональному, снова ортогональное.
Иначе говоря, мноскество всех ортогональных преобразований пространствп образугп1 группу. Эта группа является подгруппой группы аффинных преобразо- ваний пространства. Аналогичные положения имеют место и для плоскости. Ортогональные преобразования пространства, сохраняющие ори- ентзнню, называются д в и ж е н и я и н, или ортогональными пре- образованиями первого рода. Множество всех движений пространства также образует группу; ата группа есть под~руина группы всех ортогональных преобра- зований пространства. Аналогичные положения имеют место и для плоскости. Ортогональные преобразования пространства, меняющие орнен- тапию, иногда называют движения ми второго рода.
Сово- купность движений второго рода группы не образует ~аналогично и для плоскости). 8 180. ОРтогонлльныв ПРГОЯРлзозлния н двигкгния Теорема 2, Суи(есгпвует и притолл только одно ортогональное преобразование пространства первого рода, которое три неколлпнеарные точка Л, В, С переводит соответсьпвенно в три неколлинеарные точки Л', В', С', такие, что В'С' = ВС, С'А' =СЛ, А'В' = АВ. л(о к а з а т е л ь с т во. Локажем существование и единственность ортогонального преобразования, не мепяюнгего ориентации и переводящего точки А, В, С соответственно в точки Л', В', С'.
Возьмем в пространстве две точки 0 н 0', такнс, чтобы тетраэдры АВСО и А'В'С'0' были равны и имели одинаковую ориентапию. Существует и притом только одно аффипное преобразование, которое точки А, В, С, 0 переводит соответственно в тачки А', В', С', 0'. При этом если М и У вЂ” две пронзвольныс точки пространства, то, разлагая векторы ОМ н 0)У по векторам ОА=а, ОВ=Ь, ОС=с, будем иметь ОМ = х,а+ у,Ь+ г,с, ОУ = хеа+ уеЬ+ гэс, 0'М' = х,а'+ у,Ь' + г,с', 0'М'=х а'+уеЬ'+ г„с', где М' н У' — образы точек М и У при этом аффинпом преобразовании, а а'=0'А', Ь'=0'В', с'=0'С'. Отсюда находим МУ' = (ОМ -ОМ)' = (х, — х„)еа'+ (у, — у,)Ч '+ (г, — г8)'се + + 2 (х — х „) (у, — у,) аЬ + 2 (у,— у,) (г,— г,) Ьс + 2 (г,— г,) (х,— х г)са, М'Лн' = ~0' Ч' — 0'М')' = (х, — х,)'а" + (у, — у„)'Ь" + (г,— г,)'с' + + 2(х,— х )(уэ — ус)а'Ь'+ 2(у,— ух)(гь — г 1)Ь'с' -(- 2(г,— г„)(х., — хт)с'а'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
