1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Подобные преобразования пространства (и плоскости) так же, как и аффинные преобразования, делятся на подобные преобразования первого и второго рода в зависимости от того, сохраняют ли они ориентацию, пли меняют ес на противоположную. Множество всех подобных преобразований пространства образует группу. Эта группа является подгруппой группы аффинпых преобразований пространства, а группа ортогоиальных преобразований — подгруппой группы подобных преобразований.
Множество Г всех подобных преобразований пространства, не меняющих ориентации, есть также группа, являющаяся подгруппой группы всех подобных преобразований. Множество движений пространства есть подгруппа группы Г. Теорема 1. Су/ществует и притом только одно подобное преобразование пространства как первого, так и второго рода, ко/нарве три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, переводит в три точки А', В', С', также не принадлежащие одной прямой, и такие, что В'С'=//ВС, С'А'=йСА, А'В'=йАВ. Эту теорему можно доказать аналогично соответствующей теореме для ортогональных преобразований. Отметим, в частности„формулировку для плоскости.
Теорема 2, Существует и притом только одно подобное преобразование плоскости как первого, так и второго рода, кап/орое две различные точки А и В переводи~и соответственно в две различные точки А' и В'. Козф4ичиенп/ этого подобного преобразования А'В' равен АВ ' 528 Р л а за Хгз ЛННВЙНЫВ Н ЗЕФНННЬ>В ПгаОВВЗЗОВЛННЯ ф 184 Собственные векторы линейного преобразования Назовез> собс>пвенным лектором линейного преобразования мнозсестоа всех векторов прастранс>пва вся'ий ненулевой век>пор е, образ которого при линейном преобразовании )' коллинеарен вектору е: (е=Ле Пусть линейное преобразование > задано относительно базиса е,,е,,е,: У х = а>зх+ а>зу+ а>зг у' = аз,х+ а„у+ а„г, з аз1 +азз ~+ аззг1 где х, у, г — координаты произвольного вектора а, а х', у', г'— координаты его образа (а Для того чтобы вектор е = (х, у, г) был собственным, необходимо и достаточно, цтобы Ге = (х', у', г') = Л(х, у, г) т, е.
чтобы х =Лх, у =Лу, г =Лг, или аз,х + а „у+ а„г = Лх, а„х+ а,зу+ а„г = Лу, а,х+ а„у+ а„г = Лг, откуда (аз,— Л)х+а„у+а„г=О, а,зх+(а„— Л) у+а„г= О, аз>х+ аззУ+ (азз Л) г = О. Относительно х, у, г эта система однородная, значит, для того чтобы она имела ненулевое решение х, у, г, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие а„— Л а21 а„ а>, а„— Л азз а>з а,з — — О, азз (б) или Л' — (,Л'+ ),Л вЂ” (, = О, (б) ()) Число Л назовем собственным значением, соответствующим собственному ьсктору е Очевидно, цто если вектор е собственный, то и всякий вектор йе(ЙФО), ему коллннеарный, будет также собственным с тем же собственнь>м значением так как из равенства Ге=Ле следует , (йе) =й'е=йЛе=Л(йе). (2) Э !ВФ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЕ! ЛИНЕЙНОГО ПРЕОГРЛЗОВЛНИЯ 529 где !1=а! +а„+аам (!) (8) а„а„а„ !а= аэ! аэ! аал .
(й) а„а„а,„ Уравнение (5) или (6) называется хара к те р и отн чес к им уравнен! ем линейного преобразования !"! оно третьей степени. поэтому если считать, что коэффициенты этого уравнения — дейстьительные числа, то оно имеет по крайней мере одпп действительный корень Л=Л,. Подставляя это значение Л=Л, в систему (4), пол)чим линейную однородную светел!у относительно х, р, е; те!< как определитель этой системы равен пул;о, то она имеет ненулевое решение х, д, г. Это ненулевое решение будет удовлетворять и соотношениям (3), т. е.
соотношениям х'=Л„х, д = Л!й, 2 = Л!а, или )е=Л„е. ~ад,— Л а!В (5') или (6') гдв ! =а„+агм ! )ах! ам ~ а,„а„ (8') и уравнение (5') может иметь мнимые корни (тогда собственных векторов нет). Однако,:'л: .ории л"рактернстичсского уравнения действительны, то и на плоскости имеется собственный вектор. Таким образом, в трех мерном пространстве Всякое линейное преобразование имеет по крайней мере один (с точностью до множителя, пе равного нулю) собственный вектор, и собственное значение, соответствующее этому собственному вектору, является корнем характеристического уравнения. На плоскости это не так: уравнение, аналогичное уравнению (5), имеет вид 530 Раааа Х1Г ЛИНСПНЫЕ И ЛФ1ИНИЬ1Я ПРЕОБРАЗОВАНИЯ уа„— л а=~ аз, агз агз 1) а„— ), азз )=А — АЕ а за азз (Š— единичная матрица).
Прп переходе к другому базису матрида А липейпо1 о преобразовапия 1' преобразуется в матрицу (Ьгз)=В=С 'АС, а матрица 6 линейного преобразования а преобразуется и матрицу С 16С=С '(А — АЕ)С=С 'АС вЂ” С %ЕС=С 'АС вЂ” ЬЕ= ,'܄— ) Ьз, Ьзз В )Е 1 Ь„Ь.„— ). Ь„ Ь21 Ьзз Ьзз (см. теорему в конце й 174). На основании тои >ке теоремы имеем а,— ) а,з а„ а21 а22 )' азЗ аз, аз, азз — ) ܄— Д Ь„Ь2 Ьм Ь,. — Л Ьзз ܄܄܄— Л Теорема, Значения выразкений (1= а„+ азз+ а ип а„а„) )а11 а„) )азз аз ) аз, а221 ~азг азз~ ~азз азз! ап о12 агз~ '.,= а„а„а,з а21 азз озз а следовательно, и корни й„й„йз характеристического уравнения а„— А а„а,з а21 аз2 азз не зависят от вь бора базиса е„е,, е, декартовой системы координат. в котором задано линейное преобразование г'.
Доя зза тельство. Пусть 1 ам а12 азз А=~ аз, а„а„ ', азз азз азз матрица линейного преобразования Г" В базисе е„е„ез Рассмотрим наряду с преобразованием / линейное преобразование (г с матрицей 185 сзмосОпРяжвннОБ лцнсннОГ НРГОвР(ЗОРАнне (тождество относительно А) Отсюда следует, что равны коэффициенты при ) в одинаковых степенях, т.
е. он + ага + азз = Ь11+ Ьзз+ Ьзз '+)' +) ) "'+' + азз аз..', )'а„Р1,1 )а„о„) )Ь„Ь28 'Ь„Ь,81 )Ь( Ь12) 2 118 ( 11 12 '18 а„а„аз, =1Ьм Ь.„Ь з аз1 азз азз )Ьм Ьм Ьзз ч 185. Самосопряженное линейное преобразование Р его собственные векторы Линейное преооразование )' мнозкества всех векторов прас(прансп(ва назь(вается сал(осопряькеннын )или симметрическим), если для двух любых векторов а и б выполнено соотношение а7Ь = Ь|а.
Теорема 1. Для того чтобы линейное преобразование бь(ло симлзетрическилз, необход(зло и достаточно, чтобь( Азатри()а етого преобразования 1 а11 а1 а12 А =( а„а„азз (,а„азз азз заданного оп(носительно ортонорл(ировонного базиса, была ссс ч.( Ртрической. Доказательство необходимости, Пусть,' — с1ммстрическое линейное преобразование. Введем в пространстве ортонормированный базис 1, 1, й. Тогда координаты х', у', г' образа вектора 1х, у, г) через координаты этого последнего будут выражаться соотношениями х' = а „х + аму+ а,зг, у'=а„х+аз,у+а зг, г' = аз,х + аззу + аззг Отс(ода находи51,'Х=Г11, О, О) =)азн азн а„), значит, 1(1= = )О, 1, 0) )азн аз, а„) =-а.„.
Лпалогичпо найдем 1)у=а„)1О так как 111=-1Ц то а„=а„. Лналогпчпо доказывается, зто а18 = аз1 и азз = азз Доказательство достаточности. Если а„=а.„, а„=— = а„и а.„= а „то для двух произвольных векторов и = 1хз, у, г,) бэв Г зз а ХИ'. ЛИИ!.ПИЫР И АФФИНИЫГ ПРЕОВРАЗОВАИИЯ и ь= (х2, У2, гз) имее11 а (з= (х„у„г,) (а„лз+ а!2уз + а,згз, а„х, 4 а,„уз+ а„г,, ам! 2 !-аззуз+ аззгз) х1(а11х1+ аыуз+ а1згз) + у1 (аюхз+ а22уз+ + аззгз) + г1(аззхз+ аз!уз+ '!ззгз) = хз (а11х1+ а21У1+ аззг1) + г уз (аззх1+ аззд1+ аззг,) + гз (аззх, + аззу1 + аззг1) = = х, (аз,х, + а„у, + ат,г1) + уз (а.„х, —,'- а„у, ч а„г1) + + г,(аз,х, + а,зу, + аз,г,) = хзх', + у,у, + г,г, = =(х.„у,, г,) (х, у',, г,) =Ь!'а, Теорема 2.
Если ) — симметрическое линейное преобразование, то все корни его характеристического уравнения действительны. г(ок а за т ел ьс т во. Введем в пространстве ортоиормнрованный базис з,,у, !з. Тогда матрица ! ~а„а12 азз'( А =( а21 азг азз 1 !,а21 азз азз. симметрического преобразования ) будет симметричной (ам — — а„,). Характеристическое уравнение имеет вид а11 Л а,„ оз! а„а,з а,з — Л а„ '!з ~ (2) (а„— Л,) х+а„у+а„г=-б, а„х+ (а„— Л,) у+а,г =О, а„,х+ аззУ+ (азз — Л1) г ' — О.
Так как определитель этой системы равен пул!о, то она имеет ненулевое реисинс х, у, г. Таким образом, имеются три числа х, у, г, не равиь!е пулю одновременно, ири которых будут вы. полнепы соотно:пения (3) или соотношения а„х+а„у+а„г=Л,Х, (4) аз,х + а,зу + а„г = Л,у, (5) а„х+ иззу+ аззг Лзг. (б) Умножая обе части равепства (4) на х, обе части равенства(5) на у и обе части равенства (6) на г и складывая, получим (в силу Предположим, что оно имеет мнимый корень Л, =а+ р1, где а и () — действительные числа и б - О. Рассмотрйм линейную однородпу!о систему ~ ~е~ скмосопгя~хгппог .:и'шпо: пш „ьп1 овх: ие 533 а1е = — аям агв = с81 аез ае') а„хх+а ду+ачегг-) а,,(ху+ ху)-)- + а,е(уг+уг)+с„(гх+гх) = =)., (хх+ уу+ гг) = Х,()х)'+ ! у!'+)г!').
Если в левой части этого равенства заменить все числа им сопряженнымн, то получим число, сопряженное тому, ко~орое было в левой части; с другой стороны, при замене х, у, г соответственно на х, у, г, а х, у, г соответственно на х, у, г левая часть не изменится (заметим, что аы — — аы), значит, левая часть есть действительное число; мь| пришли к противоречшо, так как ).,((х!'+! у!'+!г!') число мнимое. Теоремы, аналогичные теоремам ! и 2, имеют место и па плоскости н доказываются аналогично. В частности, отсюда следует, что любое линейное симметрическое преобразование плоскости имеет собственный вектор. Теорема 3. Всякое сигнметрическое линейное преобразование пространства имеегп три попарно перпендикулярных собственных вектора, Собственными значениями этих векторов являются корни характеристического уравнения соответствуюа(егз преооразования 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
