1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 79
Текст из файла (страница 79)
При аффиннпм отображении а плоскости и на пил скость и' середина О произвольногп отрезка АВ переходит в середину 0' оп1резка Л'В' (А' и В' — образы тачек Л и В при отображении а). Д о к а з а т с л ь с т в о. Возьмем на плоскости ч произвольную точку С, не лежащую на прямой АВ, соединим ее с точками А и В и проведем через точку Л прямую, параллельную ВС, а через точку  — прямую, параллельную АС; точку пересечения проведенных прямых Обозначим через О. Прямые С0 и АВ пересекаются в точке О, являющейся серединой отрезка АВ. После аффинного отображения и точки А, В, С, 0 перейдут в точки А', В' С', 0', такие, что А'0'рС'В' и А'С'~',В'0', причем прямые А'В' и С'0' пересекаются в точке 0', являющейся образом точки О. В силу того' что А'0'~',С'В' и А'С'1!В'0' точка 0' является серединой отрезка А'В'.
Теорема 4. Если разделить отрезок А В на и равных частей АО,=О,О,= ...=О„,В, А'0,=0,0.,=... = О,,В', где А', О,, 0„..., О„„В' — образы точек Л, О,, О, ..., 0„, В при аффинном отображении и плоскости н на плоскоспгь и' Эта теорема является следствием предыдущей. Из этой теоремы следует, что если точка С делит направленный отрезок АВ в р а ц и о н а л ь н о м отношении ), то образ С' точки С при аффинном отображении а плоскости и на плоскость н' делит отрезок А'В' в том жс отношении ). Основная трудность, которую нам еще предстоит преодолеть,— это доказательство того, что простое отношение (АВС) трех точек, принадлежащих одной прямой плоскости и, инвариантно при аффинном отображении плоскости и на плоскость и' и в том случае, когда (АВС) — иррациональное число.
Теорема 5 (Дарбу), Рассллотрил~ аффинное отображгние а плоскости и на плоскость и'. Пусть Л — произвольный отрезок, лежаи(ий на плоскости л, а С вЂ” кокса-нибудь точка прямой АВ, внешняя для отрезка АВ. Тогда образ С' точки С при отображении а является внешней точкой для отрезка А'В', где А' и В' — образы точек Л и В при отображении сс. Доказательство. Проведем через точки А и В две параллельные прямыс р и д и построим два неравных отрезка Р,Р„ и 0 Оч, лежащих соответственно на прямых р и г), таких, что Ы4 точка А является серединой отрезка Р,Р,, а точка  — серединой отрезка 1,1Яз. Прямые РЯ, и РЯ, пересекаются в точке М, лежащей па прямой АВ; прямые РЯ, и РД, также пересекаются в точке К, лежащей па прямой АВ.
Обозначим через С середину отрезка МЛ1 и докажем, что: 1) точка С лежит вне отрезка АВ; 2) изменяя отрезки Р,Р, и ЯЯ,, можно придать точке С любое положение иа прямой АВ вне отрезка АВ. 1. Введем па прямой АВ систему координат и пусть точки А и В во введенной системе имеют координаты х, и х,. Так как АМ =Л, Р,Р, О О~ ЛВ МВ то координаты х, и хч точек М и М определяются соотношениями х, — Лх,, хг.1- Л,х, 1 — Л ' '"' 1+Л а координата точки С 1, хг — Л~х х= — (х +хх) = — ' к 1 Ла Отсюда следует, что точка С делит направленный отрезок АВ в отношении — Л' и потому лежит вне отрезка АВ. 2. Так как Л= —, а выбор клип и направлений отрезков Р,Р, О~Ои Р,Р, и Яф, произволен, то Л может принимать все действительные значения кроме О и -~1 (так как мы считаем отрезки Р,Р, и ЯЯ, невырожденнымп и предполагаем, что Р,Р,Ф („1Д,).
Отсюда следует, что число — Лз принимает все отрицательные значения кроме — 1, а это и означает, что точка С может занимать на прямой АВ любое положение вие о~резка ЛВ. Произведем теперь аффпнное отображение а плоскости ч па плоскость и'. Пусть А', В' Р„ Р„ Я„ Я„ М', 1т", С' — образы точек А, В, Р,, Р„Я„11,, М, Гт', С. В силу предыдущих теорем Р,Р, 11 Я,(,, и точки А' и В' соответственно середины отрезков Р,Р, и 11,.К; точка М' пересечсння прямых Р,К и РЯ, лежит на прямой Л'В'1 точка Ж' пересечения прямых Р,9, и РД, также лежит на прямой А'В'. Наконец, точка С' середина отрезка А'В' и внешняя точка для отрезка А'В' (это доказывается точно так же.
как выше было доказано, что точка С лежит вне отрезка АВ). Из доказанной теоремы следует, что при аффиппом отображении и плоскости и па плоскость и' любая внутренняя точка С отрезка АВ, лежащего на плоскости и, отображается во внутреннюю точку С' отрезка А'В'. е ыб. Гсомвчппческхя |воеия ллФииных ПРЕОБРлзовлний 5О5 В самом деле, в противном случае аффинпое отображение сс ' плоскости и' па плоскость и, обратное для а, отображало бы внешнюю точку С' отрезка А'В' во внутреншою точку С отрезка АВ, что противоречит теореме Дарбу. Теорема 6.
При асрфинном отображении и плоскости и на плоскость и' сохраняется простое отношение трех точек, принадлежаи(ик однао прямой. До к аз а тельство, Возьмем па плоскости ч три произвольные попарно различные точки А, В и С и обозначим простое отношение (АВС) через Л: (АВС) = — = АС СВ Рассмотрим аффинное отображение а плоскости и на плоскость и'. Пусть А', В', С' — образы точек А, В н С при этом отображении, Обозначим простое отношение (Л'В'С') через Л': (А'В'С') =- = Л', А'С' С'В' требуется доказать„что Л = Л'. Предположим, что точка С вЂ” внутренняя точка отрезка АВ (так что Л > О), тогда в силу следствия из теоремы Дарбу точка С' — внутренняя точка отрезка Л'В' (так что и Л' > О).
Предположим, что Л > Л'. Разделим направленный отрезок А'В' в отношении Л: А'0' — =Л. О'В' Разделим отрезок А'В' на и равных частей п выберем п столь большим, чтобы одна нз точек деления О' попала между точками С' и О'. Так как (при Л > Л') точка 0' лежит между точками С' и В', то и точка О' лежит между С' и В', а следовательно, прообраз О точки О' лежит между точками С и В. Теперь находим А'О' АО А'О' А'О' О'В' ОВ О'В' О'В' АС АΠ— =-Л к.— СВ ОВ АВ А'В' ВС В'С' п мы пришли к противоречию. Если точка С лежит вне отрезка АВ, например точка В лежит между точками А н С, то боб Г «а ««ХШ. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫГ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ и прибавляя к обеим частям этого равенства по 1, получим АС Л 'С' СБ С'В' Аналогично доказывается ипвариаптность простого отношения при аффиииом отображении в случае когда точка А лежит между точками В и С.
Итак, доказано, что аффинное отображение линейное. $ 177. Свойства аффинных преобразований и отобоажений Теорема 1*. Произведение двух аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование. Воказзтельство. Пусть г и и — дви аффинных преобразования. Рассззотрнзу три произвольные точки А, В и С, принадлежап(ис одной прямой, и пусть А', В С' — образы точек А В, С при аффинпом преобразовании (, а А", В", С" — образы точек А', В', С' при аффинпом преобразовании о.
Так как точки А, В, С принадлежат одной прямой, то существует такое число А, что АС=)сАВ но тогда в силу линейности отображения ) А'С' =ХА'В, значит (в силу того, что й также линейное преобразование) А«С" = ).А«В". Таким образом, произведение д~ есть линейное преобразование. К тому же оно и взаимно однозначно (ибо произведение двух любы х взаимно однозначных преобразований есть взаимно однозначное преобразование), следовательно, ц)' — аффннное преобразование. Теорема 2. Преобразование (' ', обратное к аффинноуиу преобразованию, также является аффиннььн. В о к а з а т е л ь с т н о. Пусть А', В', С' — три произвольные точки, принадлежащие одной прямой н связанные соотношением А'С'=ХА В'; докажем, что тем же соотношением будут связаны из прообразы при аффпином преобразовании я. В самом деле, пусть А и  — прообразы точек А' и В'.
Построим точку С, такую, что АС=)АВ. 1(усть С* — образ точки С ири аффинном преобразовании ( Тогда А С'=ХА'В'. Значит, А'С'= А'С*, т. е. точка С' совпадает с точкой С', поэтому С— прообраз С. Кроме того, ясно, что г ' взаимно однозначное пре- " В георемал ! и 2 имеются з виду зффинпме преобразования простран. с« аз, плоскост и илп прямой, причем в даляне(пнем под аффиниьш преобраэо. вапием будем понимать точечное линейное и взаимно однозначное преобразо. ванне пространства, плоскости или прямой (й 175].
В 177 СВОЙС1ВХ АФФИННЫХ ИГСОГРАЗОВАНИЙ 507 образование (так как преобразование, обратное любому взаимно однозначному прсобразованшо, снова взаимно однозначно). С л е д с т в и е. Из теорем 1 и 2 следует, что множество всех аффинных преобразований пространства образует группу. Точно так же доказывается, что множество всех аффинных пре- образований плоскости образует группу так же, как и множество всех аффинных преобразований прямой образует группу. Теорема 3. При аффиннол1 преобразовании пространства 1) две параллельные плоскости переходят в две параллельные плоскости; 2) две пересекающиеся плоскости и и и переходят в две пере- секающиеся плоскости и, и и,; образом прямой (и, и,), по кото- рой пересекаютсч плоскости пт и п,, является прямая (п„п,) пересечения плоскостей и; и и,; при этом отобраэкение прямой (и,, и,) на прямуо (и,, и.,) — аффинное; 3) две параллельные прямые переходят в две параллельные прямые; 4) две пересекающиеся прямые р и 17 переходят в две пересекаю- щиеся прямые р' и 1)', причем образо.н точки 7И пересечения пря- мых р и а является точка М' пересечения прямых р' и д', 5) две скрещивающиеся прямые переходят в две скрещивающиеся прямые; 6) если прямая р параллельна плоскости и, то и прямая р', являющаяся образом прямой р, параллельна плоскости и', в кото- рую переходит плоскость и при данном аффиннол1 преобразовании; 7) если прямая р и плоскость и пересекаются, то пересекаю771ся прямая р и плоскость и', являющиеся их образами, причем точка пересечения М является образом точки М пересечения прямой р и плоскости и.
Доказательство. 1. Если бы образы двух параллельных плоскостей имели хотя бы одну общую точку 714', то ее прообраз М должен лежать на каждой из данных параллельных плоско- стей, что невозможно, 2. Если плоскости и, и и, пересекаются, и, и и,— соответст- венно образы плоскостей и, и и, то образ л1обой точки прямой (п„п,) должен лежать и на плоскости п„и на плоскости и„ т. е. на линии (п„п,) их пересечения. Таким образом, прямая (и,, и,) отображается в прямую (п„п,). Так как преобразование, обратное аффинному, снова аффинное, то и обратно, прямая (и„ и,) аффинно отображается в прямую (п1, и,).
Поэтому прямая (и,, пь) отображается на прямую (и,, и,). Линейность и взаимная однозначность этого отображения (т. е. аффинность) следуют из того, что ~ — аффинное преобразование. 3. Две параллельныс прямые р и о всегда лежат в одной пло- скости и. Их образы р' и с' при аффинном преобразовании ! бу- бпз глава кпн линвппые и лььпнныв пгсогглзовзння дуг лежать на плоскости и', являющейся образом плоскосги и при аффннном преобразовании 7.
Поямые р' и д' параллельны, так как если бы онн имели общую точку М', то ее прообраз М должен лежать и на прямой р, и па прямой у, что невозможно Положения п, 4, б, 6, 7 доказываются аналогично, Теорема 4. Существуея и притон только одно аффиннов пре. образование пространства, которое любые четыре точки А, В, С, О, не лежащие в одной плоскости, переводит в произвольные четыре точки А', В', С', 0', также не лелсащие в одной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
