1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Доказательство существования. Так как точки А, В, С, 0 не лежат в одной плоскости, то векторы 0А, 0В, 0С некомпланарпы. Точно также кекомпланарны и векторы 0'А', 0'В и 0'С'. Рассмотрим две системы координат: одну с началом и точке 0 и масштабными векторами 0А =е,, 0В=-е„0С=-е, и дру. гую с началом в точке 0' и масштабными векторами 0'А'=е„ 0'В'=в,, 0'С'=е,'. Пусть М вЂ” произвольная точка пространства н х, у, г — ее координаты в первой системе. Поставим в соответствие точке М такую точку М', которая во второй системе имеет те же координаты х, у, г, какие имеет точка М в первой системе. Это соответствие является аффинным преобразованием, так как оно взаимно однозначно и линейно.
Это преобразование переводит точки А, В, С, 0 соответственно в точки А', В', С', 0', так как точки первой четверки имеют в первой системе такие же координаты, какие точки второй четверки имеют во второй системе. Доказательство единственности. Предположим, что существует другое аффнниое преобразование, пеоеводящее точки А. В, С, 0 соответственно в точки А', В', С', 0 . В силу линейности преобразования любой точке М, имеющей в первой системе координаты х, у, г, долксна соответствовать точка М', которая имеет во второй сисгеме такие же координаты, какие точка М имеет ь первой системе. Следовательно, это преобразование совпадает с тем, которое было построено нри доказательстве существования. С л е де т в и е.
Лффпнное преобразование пространства, которое оставляет неподвижными четыре точки, не лежащие в одной плоскости, есть тождественное преобразование. 3 а меча и не. Аналогично доказывается, что аффинное отобрав.ение плоскости на плоскость или аффпнное преобразование плоскости определяется и притом однозначно соответствием двух неколлинеарпых троек точек. йффнннос отображение прямой на прямую илн аффннное преобразование прямой определяется и притом однозначно заданием двух пар соответственных точек. 5 !73, АФФПН71ЫЕ ПРЕОБРАЗОВ Л~771Я 3 КОО* ДИНА 7 ЛК 5 !78.
Аффинные преобразования в координатах Пусть ланы два аффинных преобраншапзя пространства ) и а относитслш7О общей декартовой системы координат: х =а„х+а„у+а,зг+а,, а, а„а,„' у'=аййх раййу+аззг+ай Ре) А= азйазз айз ~О (~) г' = аззх + аз 277+ аззг + а„ ад 1732 1723 х' = Ь, йх+ Ь„у+ Ь,зг+ Ь,, 671 612 61з у'=621Х+Ьззу+Ьззг+63, Ре( В= 6.„622 623 ФО. (Р) г =631х+Ьззу 7 Ьззг+63 Ьзп Ьзй Ьзз Преобр азова я не д переводит точку М (х, и, г) в точку М' (х' у', 3 ь определяемузо формулами (я), а преобразование 7" точку М' (х', у' г') переводит в точку М"(х", у", г") с координатами Ю х =а„х'таййу'+айзг -';а,, у' = аз,х'+ аз,у'+ а.„г'+ а,, 3 г"=аз,х'+а„у +а„г +а,.
Значит, мы получим преобразование )а в координатах, если в последние формулы вместо х', у', г' подставим нх 71ыразксн71я нз формул (я); сделав это, получим хй=(а„Ь„+а ЗЬ +Й,Ь„)х+(а„Ь, +а12622+Й13632)а+ + (Й1 1613 + Й1 2622 + Й1363 2) г + а1,6, + а 12Ь, + а 126з + '11 Ц = (Й216 + Й22Ь21+ Й23631) х+ (Й21Ь1й+ Й22Ь22 + айзЬ32) Д+ +(а„Ь,З+а„Ь„+а„ЬЗЗ) а+а21Ь1+а2263+айзЬз+аз г" = (Й,16„+ Й3262, -)- а„631) х + (а31612+ Й„3622+ а„6„) у+ + (а,„Ь„+ а,26„+ а„Ь„) г + а„Ь, + аззЬ2 + а 3363 + а,.
Отметим, что матрица С преобразования )д равна произведению матрицы А преобразования ( на матрицу В преобразования д: С= АВ. Отсюда Ре(С =Ре( А Ре(В, и так как Ре( А~ьб и Ре(ВФО, то и Ре(С 4=0. Мы еще раз доказали теорему о том, что произведение двух аффипных преобразований есть аффинное преобразование. Заменяя в соотношениях (~)х, д, г соответственно па х*, 77', г', а х', у', г' соответственно на х, и, г и разрешая затем полученные соотношения относительно х', у', г', получим формулы, дающие В1О Г 1а аа Х1Ю ЛИНГЙНЫЕ Н АФФИННЫЕ ПРЕОВРАЗОВАНИЯ в коордннатах преобразование 1' ', обратное )3 х'=а„х — , 'а„д--, 'а,аг+а„ у' = а„х + а„у+ адаг + а„ г =а„х+а„у+а,,г+а,.
Матрица В = (а;3) этого линейного преобразования есть матрица, обратная для матрицы А аффинного преобразования 1: В=А а потому Эе( В = — ~ О. 1 Эе~ А х, = а„хд+аддд1+а„г,, у, =а,,х;+ а„у;+а„г,, 1= 1, 2,3. г, =а„х;+а„д;+а„гп (3, Теперь находим х, д, г, х, д, га Х, Уа га аЪ'с' = Е,Е,Е3 Следовательно, формулами (1) дается аффинное преобразование. При аффинном преобразовании 1, заданном формулами (1), коор- динаты вектора а'=-(х', у', г'», являющегося образом вектора а=- =(х, у, г», выража1отся теми же соотношениями (г), в которых надо положить а, = а3 = а, = О, т. е.
координаты х', у', г' образа а' вектора а= (х, у, г» являются линейными одно роди ы ми функ- циями координат х, у, г; х' = а„х+ а„у+ а„г, а„а„адв у'=ад,х+а„у+а„г, где Л= аг, а, а23 ~О. (2) аддх+ а32Ч аадг а.„, а„а„ Докажем теперь следующую теорему.
Теорема. Рассмотрим в ориенгпированноы пространстве произ- вольную упорядоченную тройку векторов а, Ь, с. Пусть а', Ь', с'— образа этих векторов при аффинноы преобразовании (2). Тогда объел3ы а'Ь'с' и аде ориентированных параллелепипедов, построен- ных на этих тройках векгпоров, связаны соотношением 1а„а12 а,в аЪ'с'=ада Л, где Л= а„ае, а,, ~а,, а„а„ Доказательство. !1усть а=(х,, д,, гд», о=(хд, д,, г,». с = (х„у„г3», а' = (х „у„г, », ь' = (х„у,, г, », с' = (х„у„г, », Тогда з 1ук АФФипныс пвсоьпхзоазкия в коонднп 'тхх Бы Подставляя сюда вместо х;, у;, г,(1=1, 2, 3) их выражения нз формул (3) и используя формулу для произведения двух определителей третьего порядка, получим 1х, у, г, а„а„а„ Ф а Ь'с'= ~х., у., г., ~а„а,а ава е,е, е„ ~х, у„г,,а„а„а„) или а'д'с' = аас Л, (4) так как хг у1 з1 аде= х, у.
аа х~ у» зв е| е~ еа. Отметим еше ряд следствий: если Л > О, то аффиниое преоб- разование (1) сохраняет ориснтапии ориентированных параллеле- пипедов, а если Л ( О, то меняет их ориентации на противопо- ложные. Если )Л~ =1, то объемы всех параллслепипедов при таком аф- фнпном преобразовании сохраняются.
Чиожество Г, всех аффинных преобразований пространства, сохраняющих объемы, образует группу, являвшуюся подгруппой группы Г всех аффпнных преобразований, Если Л=.!, то сохраняются н объемы, и ориентации тетразд- ров; множество всех аффинных преобразований пространства, со- храпюоших объемы и ориентацию, также образуст группу Г„яв- ляющуюся подгруппой группы Г, аффиппых преобразований, сохрапяюших объемы. Если Рс1 А =- — 1, то объемы тстраэдров сохраняются, но ориен- тации их меняются па противоположные (множество таких преоб- разований пе образует группы), Если при аффинном преобразовании пространства имеется не- подвижная точка (т. с. точка О, образом которой является она сама), то такое аффиннос преобразование называется центроаффин- ным.
Если принять неподвижную точку центроаффинного преобра- Из доказанной теоремы следует, что при аффипном преобразовании пространства отношение объемов ориентированных тетраздров (певырожденных) пе мсняется. В самом деле, если р, г), г — три некомплапарных вектора, а р', д', г' — их образы при аффипиом преобразовании (2), то р'д'г' =- рак Л. Отсюда и из соотношения (4) (в силу того что Л~О) получим а'Ь'с' асс р'ч'г' рог ' 512 Глава хгк линснныс и АФФинныв пРеовРАЗОВАния зоващнн зз начало общей декартовой системы координат, то центроаффннное преобразование н координатах запишется так: 11 + а 12«з + ««13 у =аз«х+аезр+пззг, ««зтл+ ««ззр Г Оззх' Множество всех центроаффипных преобразований пространства образует групп) Г,, являющуюся подгруппой ~руины Г всех аффинных преобразований пространства.
Множество всех центроаффинных преобразований, сохраняющих объемы, образует группу Г,, являющуюся подгруппой группы Г, и подгруппой Гэ. Множество всех центроаффнпных преобразований, сохраняюп«йх объемы и ориентацию, является группой Г,,; эта группа является подгруппой групп Г, Г„Г,, Г,. Аналогичное положение имеет место и для аффипных преобра. зований плоскости, только вместо объемов орисптиро«ганпых параллелепипедов надо говорить о плон(адях ориентированных треугольников (или ориентированных параллелограммов). й 179. Примеры аффниных преобразований Пример 1.
Введем на плоскости декартову прямоугольную систему каордннат и поставим в соответствие точке М (1, р) точку М'(х, р') с ноорднна. тани л'=.т, у'=««(ъ (1) гда 1«> О. Матрица этого преобразования Отсюда Ое! А=а ~ О, следовательно, преобразование (1) — а«рфннное. Пусть Р (х, О) — проекния точки М (х, у) на ось Ох Образом Р' точки Р буде«она сама далее, РМ' =(О, Ед), РМ =(О, р), значит, РМ' =!«РМ (рис 229) Отсюда название этого преобразования, эффннное сжатие к оси Ох Это преобразование мы уже использовали выше (см з 103) н называли его равномерным сжатием плоскости к нри зой Ыа рнс 230 дан образ фнгтры нри сжатии 1 д.
я й= —, «)ля построения о, раза фигуры при сжатии заключаем фигуру 2' я прялюугольник н прямыми, параллельными его сторонам, делим юот прямо. угольник иа равные прямоугольники Затем строим образы вершин прямоугольника — это б) дут вершины параллелогратв«а, Лели«1 зто«пара члелограмм на равные пара'«лелограммы соответственно так«г«же числом,чак и для прямоугольника) прямых, параллельных его сторонам, и врисовываем по клеткам образ начального рисунка Пример 2 11рсобратование х'=х, у'=Ар, «г > О, заданное относительно обжей зекэРтовой системы координат, также является аффинным. Опо называется косым сжатием к оси Ох по направлению осн Орд й !7З ПРИМЕРЫ АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 513 если Р (х, О) — проекция произвольной точки М (х, у) пло кости па ось Ох па. раллельпо оси Оу, а 31' (х, йу) — о»раз точки М в рассматриваемо ! преобра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
